随机变量生成的代数是什么意思？

通常，在我的统计（自学）过程中，我遇到过术语“由随机变量生成的代数”。我不了解Wikipedia上的定义，但最重要的是，我不了解它的直觉。为什么/何时需要由随机变量生成的代数？它们是什么意思？我知道以下几点：$\sigma$$\sigma-$

• 一 -代数上的一组是的子集的非空集其中包含，是根据补充和下可数工会关闭。σ Ω Ω $\sigma$$\Omega$$\Omega$$\Omega$
• 我们引入代数在无限的样本空间上建立概率空间。特别是，如果是无穷无穷的，我们知道可能存在不可测量的子集（无法为它们定义概率的集合）。因此，我们不能仅使用的幂集作为事件集。我们需要一个较小的集合，该集合仍然足够大，以便我们可以定义有趣事件的概率，并且可以讨论随机变量序列的收敛。σ Ω Ω P（Ω ）$\sigma$$\Omega$$\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$$\mathcal{F}$

简而言之，我认为我对代数有一个相当直观的理解。我想对随机变量生成的代数有一个类似的理解：定义，我们为什么需要它们，直觉，一个示例...σ - σ $\sigma-$$\sigma-$

考虑随机变量$X$。我们知道$X$只是从$\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$到$\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$的可测量函数，其中$\mathcal{B}(\mathbb{R})$是实线的Borel集。根据可测量性的定义，我们知道

但是实际上，Borel集的原像可能不是全部$\mathcal{A}$，而是它们可能构成其更粗糙的子集。要看到这一点，让我们定义

利用原像的特性，很难证明$\mathcal{\Sigma}$是西格玛代数。它还紧跟在$\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$，因此，$\mathcal{\Sigma}$是子σ-代数。此外，根据定义，很容易看出映射$X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$是可测量的。 实际上，$\mathcal{\Sigma}$是使$X$成为随机变量的最小的sigma代数，因为该类型的所有其他sigma代数至少会包含$\mathcal{\Sigma}$。出于处理随机变量$X$像的原因，我们将$\mathcal{\Sigma}$称为由随机变量$X$引起的sigma-代数。

下面是一个极端的例子：考虑一个恒定随机变量$X$，即，$X(\omega) \equiv \alpha$。然后$X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$等于或者$\Omega$或$\varnothing$取决于是否$\alpha \in B$。这样生成的sigma代数是微不足道的，因此，它肯定包含在$\mathcal{A}$。

Hope this helps.