Questions tagged «sigma-algebra»

我们进行了一个随机实验，以不同的结果形成样本空间 Ω,Ω,\Omega,我们感兴趣地观察了某些模式（称为事件 F.F.\mathscr{F}. 西格玛代数（或西格玛场）由可以分配概率度量PP\mathbb{P}的事件组成。满足某些属性，包括包含空集∅∅\varnothing和整个样本空间，以及描述与维恩图的并集和相交的代数。 概率被定义为之间的函数σσ\sigma代数和区间[0,1][0,1][0,1]。总的来说，三元组(Ω,F,P)（Ω，F，P）(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})形成了一个概率空间。 有人可以用简单的英语解释如果我们没有σσ\sigma代数的情况，为什么概率大厦会崩溃？它们只是被那个不可能的书法“ F”楔入中间。我相信它们是必要的；我看到一个事件与结果不同，但是如果没有σσ\sigma代数，会发生什么错误呢？ 问题是：在哪种类型的概率问题中，包括σσ\sigma代数的概率空间的定义成为必要吗？ 达特茅斯大学网站上的此在线文档提供了简单易懂的英语说明。这个想法是旋转指针在单位周长的圆周上逆时针旋转： 我们首先构造一个微调器，它由一个单位圆周的圆和一个指针组成，如图所示。我们在圆上选择一个点并将其标记为000，然后在圆上的每个其他点标记xXx，从000到该点的距离为逆时针方向。实验包括旋转指针并记录指针尖端处的点的标签。我们让随机变量XXX表示该结果的值。样品空间显然是间隔[0,1)[0，1个）[0,1)。我们想构建一个概率模型，其中每个结果均可能发生。daccess-ods.un.org daccess-ods.un.org如果我们像进行有限数量的可能结果那样进行实验，则必须将概率000分配给每个结果，因为否则，所有可能结果的概率之和将不会等于1。（实际上，对无数个实数求和是一件棘手的事情；特别是，为了使这种和具有任何意义，最多最多可以有许多个求和数可以不同于000）但是，如果所有分配的概率都是000，那么总和应该是 000，而不是11个1。 因此，如果我们为每个点分配任何概率，并且给定一个（无数个）无穷个点，那么它们的总和将>1>1个> 1。

122 probability  intuition  measure-theory  sigma-algebra 

通常，在我的统计（自学）过程中，我遇到过术语“由随机变量生成的代数”。我不了解Wikipedia上的定义，但最重要的是，我不了解它的直觉。为什么/何时需要由随机变量生成的代数？它们是什么意思？我知道以下几点：σσ\sigmaσ -σ−\sigma- 一 -代数上的一组是的子集的非空集其中包含，是根据补充和下可数工会关闭。σ Ω Ω Ωσ\sigmaΩ\OmegaΩ\OmegaΩ\Omega 我们引入代数在无限的样本空间上建立概率空间。特别是，如果是无穷无穷的，我们知道可能存在不可测量的子集（无法为它们定义概率的集合）。因此，我们不能仅使用的幂集作为事件集。我们需要一个较小的集合，该集合仍然足够大，以便我们可以定义有趣事件的概率，并且可以讨论随机变量序列的收敛。σ Ω Ω P（Ω ）˚Fσ\sigmaΩ\OmegaΩ\Omega P(Ω)\mathcal{P}(\Omega)F\mathcal{F} 简而言之，我认为我对代数有一个相当直观的理解。我想对随机变量生成的代数有一个类似的理解：定义，我们为什么需要它们，直觉，一个示例...σ - σ -σ−\sigma-σ−\sigma-

22 probability  random-variable  sigma-algebra 

让是一个概率空间，给定一个随机变量和 -代数我们可以构造一个新的随机变量，这是条件期望值。(Ω,F,μ)(Ω,F,μ)(\Omega,\mathscr{F},\mu)ξ:Ω→Rξ:Ω→R\xi:\Omega \to \mathbb{R}σσ\sigmaG⊆FG⊆F\mathscr{G}\subseteq \mathscr{F}E[ξ|G]E[ξ|G]E[\xi|\mathscr{G}] 考虑的直觉到底是什么？我了解以下几点的直觉：E[ξ|G]E[ξ|G]E[\xi|\mathscr{G}] （i） 其中是一个事件（概率为正）。E[ξ|A]E[ξ|A]E[\xi|A]AAA （ii） 其中是离散随机变量。E[ξ|η]E[ξ|η]E[\xi|\eta]ηη\eta 但是我无法可视化。我了解它的数学原理，并且了解它的定义方式是概括我们可以看到的更简单的情况。但是，尽管如此，我认为这种思维方式没有用。它对我来说仍然是一个神秘的对象。E[ξ|G]E[ξ|G]E[\xi|\mathscr{G}] 例如，让为的事件。形成 -algebra，由生成。那么等于如果等于如果。换句话说，如果，而如果。AAAμ(A)>0μ(A)>0\mu(A)>0σσ\sigmaG={∅,A,Ac,Ω}G={∅,A,Ac,Ω}\mathscr{G} = \{ \emptyset, A, A^c, \Omega\}AAAE[ξ|G](ω)E[ξ|G](ω)E[\xi|\mathscr{G}](\omega)1μ(A)∫Aξ1μ(A)∫Aξ\frac{1}{\mu(A)} \int_A \xiω∈Aω∈A\omega \in A1μ(Ac)∫Acξ1μ(Ac)∫Acξ\frac{1}{\mu(A^c)} \int_{A^c} \xiω∉Aω∉A\omega \not \in AE[ξ|G](ω)=E[ξ|A]E[ξ|G](ω)=E[ξ|A]E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = E[\xi|A]ω∈Aω∈A\omega\in AE[ξ|G](ω)=E[ξ|Ac]E[ξ|G](ω)=E[ξ|Ac]E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = E[\xi|A^c]ω∈Acω∈Ac\omega \in A^c 令人困惑的部分是，所以为什么我们不只写？我们为什么要更换通过根据是否不，但不允许替换通过？è [ ξ | G ] （ω ）= E [ ξ | Ω ] = …

20 probability  conditional-probability  conditional-expectation  conditioning  sigma-algebra