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代数的条件期望的直觉
让是一个概率空间，给定一个随机变量和 -代数我们可以构造一个新的随机变量，这是条件期望值。(Ω,F,μ)(Ω,F,μ)(\Omega,\mathscr{F},\mu)ξ:Ω→Rξ:Ω→R\xi:\Omega \to \mathbb{R}σσ\sigmaG⊆FG⊆F\mathscr{G}\subseteq \mathscr{F}E[ξ|G]E[ξ|G]E[\xi|\mathscr{G}] 考虑的直觉到底是什么？我了解以下几点的直觉：E[ξ|G]E[ξ|G]E[\xi|\mathscr{G}] （i） 其中是一个事件（概率为正）。E[ξ|A]E[ξ|A]E[\xi|A]AAA （ii） 其中是离散随机变量。E[ξ|η]E[ξ|η]E[\xi|\eta]ηη\eta 但是我无法可视化。我了解它的数学原理，并且了解它的定义方式是概括我们可以看到的更简单的情况。但是，尽管如此，我认为这种思维方式没有用。它对我来说仍然是一个神秘的对象。E[ξ|G]E[ξ|G]E[\xi|\mathscr{G}] 例如，让为的事件。形成 -algebra，由生成。那么等于如果等于如果。换句话说，如果，而如果。AAAμ(A)>0μ(A)>0\mu(A)>0σσ\sigmaG={∅,A,Ac,Ω}G={∅,A,Ac,Ω}\mathscr{G} = \{ \emptyset, A, A^c, \Omega\}AAAE[ξ|G](ω)E[ξ|G](ω)E[\xi|\mathscr{G}](\omega)1μ(A)∫Aξ1μ(A)∫Aξ\frac{1}{\mu(A)} \int_A \xiω∈Aω∈A\omega \in A1μ(Ac)∫Acξ1μ(Ac)∫Acξ\frac{1}{\mu(A^c)} \int_{A^c} \xiω∉Aω∉A\omega \not \in AE[ξ|G](ω)=E[ξ|A]E[ξ|G](ω)=E[ξ|A]E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = E[\xi|A]ω∈Aω∈A\omega\in AE[ξ|G](ω)=E[ξ|Ac]E[ξ|G](ω)=E[ξ|Ac]E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = E[\xi|A^c]ω∈Acω∈Ac\omega \in A^c 令人困惑的部分是，所以为什么我们不只写？我们为什么要更换通过根据是否不，但不允许替换通过？è [ ξ | G ] （ω ）= E [ ξ | Ω ] = …