总的来说，负二项式的分布是什么

如果 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 都是负二项式，那么分布是什么 $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 给定

$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = N\quad$？

$N$ 是固定的。

如果 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 然后以总泊松为条件， $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$是多项式。我不确定负二项式是否成立，因为它是泊松混合函数。

如果您想知道，这不是作业问题。

对不起，我很晚才回答，但这也困扰着我，我找到了答案。分布的确是Dirichlet-多项式，并且个体为负。只要二项式分布的Fano因子（方差与均值之比）相同，就不必完全相同。

长答案：

如果将NB参数设置为：

$p(X = x | \lambda, \theta) = NB(x | \lambda, \theta) = {{\theta^{-1} \lambda + x - 1} \choose {x}} \left ( \frac{1}{1 + \theta^{-1}} \right)^x \left ( \frac{\theta^{-1}}{1 + \theta^{-1}} \right)^{\theta^{-1} \lambda}$

然后和并$E(X) = \lambda$$Var(X) = \lambda (1 + \theta)$

$\forall i: X_i \sim NB(\lambda_i, \theta)$表示

$\sum X_i \sim NB(\sum \lambda_i, \theta)$

然后考虑给定总和的概率：

$\frac{\prod NB(x_i | \lambda_i, \theta)}{NB(\sum x_i | \sum \lambda_i, \theta)} = \frac{\left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} \prod {{\theta^{-1} \lambda_i + x_i - 1} \choose {x_i}}} { \left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} {{\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i - 1} \choose {\sum x_i}}} = \\ = \frac{\Gamma(\sum x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i) }{\Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i) } \prod \frac{ \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i + x_i)}{\Gamma(x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i)} \\ =DM(x_1, ..., x_n| \theta^{-1}\lambda_1, ... , \theta^{-1} \lambda_n)$

其中是Dirichlet多项式似然。这仅是由于以下事实造成的：除多项式系数外，左侧分数中的许多项都被抵消了，只剩下恰好与DM可能性相同的伽马函数项。$DM$

还应注意，该模型的参数无法识别，因为增加，同时所有导致了完全相同的可能性。$\theta$$\lambda_i$

我对此的最佳参考是Guimarães＆Lindrooth（2007）的第2到3.1节：在分组条件对数模型中控制过度分散：Dirichlet多项式回归的计算简单应用 -不幸的是，这是付费的，但我无法做到查找非付费参考。