问题（稍作修改）如下，如果您从未遇到过此问题，则可以在Sheldon Ross的“ 概率论第一课 ” 的第 2章示例6a中进行检查：

假设我们拥有一个无限大的骨灰盒和一个标记为1号，2号，3号等的无数球。考虑执行以下实验：在1分钟至下午12点，将编号为1到10的球放入骨灰盒中，并随机取出一个球。（假设撤回没有时间。）在1/2分钟至下午12点，将编号为11到20的球放入骨灰盒，并随机取出另一个球。在1/4分钟到下午12点，将编号为21到30的球放入骨灰盒中，并随机取出另一个球……依此类推。感兴趣的问题是，下午12点骨灰盒里有几个球？

提出的这个问题基本上迫使每个人都弄错了-通常直觉是说在12 PM会有无数个球。Ross提供的答案是，一个one可能是空的在12 PM

在教授概率论时，这个问题就是其中的一个，很难对其进行直观的解释。

一方面，您可以尝试这样解释：“想想我在12 PM时任何球在骨灰盒上的可能性，在无限次随机抽签期间，最终将其删除。因为这对于所有球都成立，所以没有他们中的最后一个可以存在。”

但是，学生会正确地与您争论：“但是我每次要放10个球，然后移去1个球。最后不可能有零个球”。

我们能给他们解决这些矛盾直觉的最好解释是什么？

我也对这个论点持开放态度，这个问题是不恰当的，如果我们更好地表述它，“悖论”就消失了，或者对这个悖论是“纯粹是数学的”论点也持开放态度（但请尝试对此加以精确化）。

Ross 在其教科书中的示例6a中描述了此“悖论”的三个版本。在每个版本中，将10个球添加到骨灰盒中，并在该过程的每个步骤中删除1个球。

1. 在第一个版本中，在第个步骤中删除了第个球。午夜之后还剩下无数个球，因为所有数字不以零结尾的球都还在那里。$10n$$n$

2. 在第二种形式中，在第个步骤中删除第个球。午夜之后剩下零个球，因为每个球最终都将在相应的步骤中被移除。$n$$n$

3. 在第三个版本中，随机地均匀地去除球。Ross计算出每个球在步骤被移走的概率，并发现它随着收敛到（请注意，这并不明显！实际上必须执行计算）。这意味着，根据布尔的不等式，最后拥有零个球的概率也为。1 Ñ →交通∞ $n$$1$$n\to\infty$$1$

您是在说最后的结论并不直观，也很难解释。这个线程中的许多混乱答案和评论都很好地支持了这一点。但是，第二个版本的结论完全不合常理！它与概率或统计绝对无关。我认为在接受第二版之后，第三版就没有什么特别令人惊讶的地方了。

因此，尽管“概率性”讨论必须是关于第三版的[请参见@ paw88789，@ Paul和@ekvall的非常有见地的答案]，但是“哲学性”的讨论应该集中在第二个版本上，该版本要容易得多并且在精神到希尔伯特的酒店。

---

第二个版本称为罗斯-利特伍德悖论。我链接到Wikipedia页面，但是那里的讨论令人困惑，我不建议您阅读它。相反，请看一下几年前的Math Mathflow线程。到目前为止，它已关闭，但包含几个非常有启发性的答案。我认为最关键的答案的简短摘要如下。

我们可以在步骤之后定义存在于骨灰盒中的球的集合。我们有，等有一个数学上定义良好的的概念的集合的序列的限制，人们可以严格证明该序列的限制存在，并且为空集。确实，极限球可以是什么球？只有那些永不删除的。但是每个球最终都会被清除。因此限制为空。我们可以将写入。 Ñ 小号1 = { 2 ，... 10 } 小号2 = { 3 ，... 20 } ∅ š Ñ →交通$S_n$$n$$S_1=\{2,\ldots 10\}$$S_2=\{3,\ldots 20\}$$\varnothing$$S_n \to \varnothing$

同时，数字集合中的球数（也称为该集合的基数）等于。序列显然是发散的，这意味着基数收敛到的基数，也称为aleph-zero。因此我们可以将。小号Ñ 10 ñ - ñ = 9 Ñ 9 Ñ Ñ ℵ 0 | S n | →交通ℵ $|S_n|$$S_n$$10n-n=9n$$9n$$\mathbb N$ $\aleph_0$$|S_n|\to \aleph_0$

现在的“悖论”是，这两个语句似乎相互矛盾：

$$\begin{align} S_n &\to \varnothing \\ |S_n| &\to \aleph_0 \ne 0 \end{align}$$

但是，当然没有真正的悖论，也没有矛盾。没有人说获取基数是对集合的“连续”操作，因此我们不能与以下限制交换它：换句话说，根据所有整数的事实，我们不能得出结论（第一个序数的值）等于。相反，必须直接计算，结果为零。| S n | = 9 Ñ Ñ ∈ Ñ | 小号ω | ∞ | 小号ω

$$\lim |S_n| \ne |\lim S_n|.$$ $|S_n|=9n$$n\in \mathbb N$$|S_\omega|$$\infty$$|S_\omega|$

因此，我认为我们真正从中得出的结论是，接受基数是一项不连续的操作... [@HarryAltman]

因此，我认为这种悖论只是人类倾向于假定“简单”操作是连续的。[@NateEldredge]

---

使用函数而不是集合更容易理解。考虑集合的特征（aka指标）函数，该函数定义为在区间等于1，在其他地方等于0。前十个函数看起来像这样（比较@Hurkyl的答案中的ASCII艺术）：S n [ n ，10 n $f_n(x)$$S_n$$[n, 10n]$

$\quad\quad\quad$

每个人都会同意，对于每个点，我们都有。根据定义，这意味着函数收敛到函数。同样，每个人都会同意这一点。但是，请注意，这些函数的积分越来越大，积分的顺序也有所不同。换一种说法， LIM ˚F Ñ（一）= $a\in\mathbb R$$\lim f_n(a) = 0$克（X ）= 0 ＆Integral; ∞ 0 ˚F （X ）d X = 9 $f_n(x)$$g(x)=0$$\int_0^\infty f(x)dx = 9n$

$$\lim\int f_n(x)dx \ne \int \lim f_n(x) dx.$$

这是一个完全标准且熟悉的分析结果。但这是我们悖论的精确表述！

将该问题形式化的一个好方法是将水罐的状态描述为不是一个集合（的子集），因为它们很难限制，而是将其描述为特征函数。第一个“悖论”是逐点限制与统一限制不同。[@ TheoJohnson-Freyd]$\mathbb N$

关键点是“ 午夜 ”整个无限序列已经通过，即我们进行了“超限跳跃”，并到达超限状态。积分“ 午夜中午”的值必须是的积分值，而不是相反。LIM ˚F $f_\omega = \lim f_n(x)$$\lim f_n$

---

请注意，尽管该主题受到了强烈支持，但该主题中的某些答案还是有误导性的。

特别地，@cmaster计算的确是无限的，但这不是悖论要求的。自相矛盾的问题是，在整个无限的步骤序列之后会发生什么？这是一个超限构造，因此我们需要计算，如上所述，该值等于零。ballCount （小号ω$\lim_{n\to\infty} \operatorname{ballCount}(S_n)$$\operatorname{ballCount}(S_\omega)$

Hurkyl（在回答中）和Dilip Sarwate（在评论中）给出了此难题的两个常见的确定性变体。在这两种变体中，在步骤，将球至添加到桩中（）。 10 ķ - 9 10 ķ ķ = 1 ，2 ，。。$k$$10k-9$$10k$$k=1,2,...$

在Hurkyl的变体中，球被删除。在该变体中，可以确定地认为，由于在步骤去除了球，所以没有剩余的球。Ñ $k$$n$$n$

在Dilip Sarwate的变体中，球在步骤处被移除，因此在此变体中，所有不是倍数的球都将保留。在此变体中，the的末端无限多个球。ķ $10k$$k$$10$

以这两个变体为例，我们看到在执行此过程时可能会发生许多不同的事情。例如，通过执行Hurkyl的过程，但跳过某些球的去除，您可以安排最后保留任何有限的球集。事实上，对于任何一组与数无限的补充（在（正）自然数），你可以有剩余集在过程结束球。$B$

我们可以考虑问题的随机变化（在原始文章中给出），方法是选择函数，条件是（i）是一对一且（ii）对于所有。 ˚F ˚F （ķ ）≤ 10 ķ ķ ∈ $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$$f$$f(k)\le 10k$$k\in \mathbb{N}$

在谢尔顿·罗斯（Sheldon Ross）书中给出的论点（在帖子中引用）表明，几乎所有（在概率意义上）此类函数实际上都存在于函数（猜想）上。

我认为这有点类似于从上的均匀分布中选择一个数字并询问该数字在Cantor集合中的概率是什么的情况（我使用的是Cantor集合，而不是说有理数，因为Cantor集是不可数的）。即使在Cantor集中可以选择许多（无数）数字，概率也为。在除球问题中，剩下的所有球序列都在扮演Cantor集。[ 0 ，1 ] $x$$[0,1]$$0$

---

编辑：本·米尔伍德正确地指出，有一些有限的球集不能成为剩余的集。例如，不能是剩余的集合。在您最多可以保留前球的。90 ％10 Ñ Ñ = 1 ，2 ，3 ，。。$1,2,...,10$$90\%$$10n$$n=1,2,3,...$

Enumaris的答案完全正确，适用于差异极限问题。但是，实际上可以以明确的方式回答这个问题。因此，我的答案将准确地向您展示零球解决方案出了哪些问题，以及为什么直观的解决方案才是正确的解决方案。

---

的确，对于任何球，它在末端处在the中的概率为零。确切地说，只有极限为零：。P （Ñ ）P （Ñ ）= LIM Ñ →交通∞ P （Ñ ，Ñ ）= $n$$P(n)$$P(n) = \lim_{N\to\infty} P(n, N) = 0$

现在，您尝试计算总和 破损的计算直接跳到该部分，称其极限为零，因此总和仅包含零项，因此总和本身为零： P（n，N） lim N → ∞球数（N

$$\lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N).$$ $P(n,N)$ $$\begin{align} \lim_{N\to\infty}\operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ \text{broken step here }\longrightarrow &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} \lim_{N\to\infty} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} 0 \\ &= \lim_{N\to\infty} 10 N\times 0 \\ &= 0 \end{align}$$

但是，这非法将分为两个独立的部分。如果和的范围取决于的参数，则不能简单地将移入和。您必须整体解决。廉廉$\lim$$\lim$$\lim$$\lim$

因此，解决此的唯一有效方法是首先针对任何有限使用的事实求和。 Σ Ñ ≤ 10 Ñ Ñ = 1个 P （Ñ ，Ñ ）= 9 Ñ Ñ LIM Ñ →交通∞ ballCount （Ñ $\lim$$\sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) = 9N$$N$

$$\begin{align} \lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} 9N \\ &= \infty \end{align}$$

直观的解决方案正是这样做的，它是从根本上打破了“聪明”的解决方案。

该论点集中于无限集和序列以单位求和方式表现的趋势。这并不比希尔伯特酒店更令人惊讶。在这种情况下，您确实会拿出无限数量的球，但是您将放入无限数量的球。反过来考虑希尔伯特酒店。您可以从酒店中删除无限数量的客人，但仍然剩下无限数量的客人。

这在物理上是否可以实现完全是另一个问题。

因此，我认为它不一定是错误的形式，而是放在错误的书中。这种计数问题属于一组理论课程，而不是概率课程。

我认为这有助于消除问题中多余的时间因素。

这个悖论的更基本的变体是始终删除编号最小的球。为了便于绘制，我还将在每个步骤中仅添加两个球。

该过程描述了如何填充无限的二维网格：

.*........
..**......
...***....  ....
....****..
.....*****

 :  :  :
 :  :  :

每行是从前一行形成的，方法是在右侧添加两个星号，然后删除最左侧。

然后要问的问题是：

有多少列以重复的星号而不是重复的点结尾？

我认为，错误地将此结果等同于“每行中的星号数量限制”的想法远没有那么令人信服。

这个答案旨在做四件事：

1. 回顾罗斯对问题的数学表述，展示其如何从问题描述中直接而明确地遵循。

2. 捍卫罗斯的悖论解决方案在数学上合理且与我们对物理世界的理解有关的立场，无论它是否可以100％在物理上实现。

3. 讨论某些扎根于物理直觉的谬误论据，并表明在中午时常陈述的无限球“物理”解不仅与数学矛盾，而且与物理学矛盾。

4. 描述问题的物理实现方式，这可能会使Ross的解决方案更加直观。从这里开始，了解卡洛斯的原始问题。

1.如何用数学方式描述问题

我们将解开Ross论证的初始“无限过程建模”步骤（第46页）。这是我们将重点论证的声明：

将定义为第n次撤出后第1号球仍在the中的事件...第1号球在ball 12时处于the中的事件只是事件。⋂ ∞ Ñ = 1 Ë $E_n$$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$

在解开Ross的陈述之前，让我们考虑一下，经过无数次操作之后，甚至有可能在中午了解the的内容。我们怎么可能知道what里有什么？好吧，让我们考虑一个特定的球；您可以想象或或任何您想要的。如果在中午之前的某个阶段将球取出，那么肯定不会在中午出现在骨灰盒中。相反，如果给定的球在过程的每个阶段都在骨灰盒中，直到中午（添加之后），那么它在中午就在骨灰盒中。让我们正式写出这些语句：b = 1 1000 $b$$b=1$$1000$$b$

当且仅当球在每个阶段都在骨灰盒中，球在中午才在骨灰盒中在中午之前，其中是阶段球被添加到the。Ñ ∈ { Ñ b，Ñ b + 1 ，Ñ b + 2 ，。。。} n $b$$n \in \{n_b, n_b + 1, n_b + 2, ...\}$$n_b$

现在让我们解开Ross的陈述-用简单的英语意味着什么？让我们对urn流程进行一次认识并说出来：$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$ $x$

• $x \in E_1$表示过程1的第1个球在骨灰盒中。
• $x \in E_1 \bigcap E_2$表示在过程的第1和第2步之后，球1处于骨灰盒中。
• $x \in E_1 \bigcap E_2 \bigcap E_3$表示在过程的第1、2和3阶段之后，球1处于骨灰盒中。
• 对于任何，表示在第阶段到第阶段之后，球处于the中。X ＆Element; ⋂ Ñ ķ = 1个 Ë ķ 1 $k \in \{1, 2, 3, ...\}$$x \in \bigcap_{k=1}^n E_k$$1$$n$

那么显然，表示，在实现此骨灰盒过程的时，球1在第1、2阶段之后处于骨灰盒中3 等：正午之前的所有有限阶段。无限交点只是另一种写法，因此精确地包含了第1个球在the中的过程的实现。中午之前的阶段。一个事件只是一个过程的定义的实现集，因此最后一句话恰好等于说是指中午前所有阶段球1都在the中的事件，对于这个随机过程。 X ķ ⋂ ∞ Ñ = 1 Ë Ñ ⋂ ∞ Ñ = 1 Ë Ñ ⋂ ∞ Ñ = 1 Ë $x \in \bigcap_{k \in \{1, 2, 3...\}} E_k$$x$$k$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

现在，最重要的是：通过上面的“ if and only if”语句，这与说第1球中午在the里完全一样！因此是中午时球1进入骨灰盒的事件，就像罗斯最初所说的那样。优质教育$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

在上面的推导中，我们说的话对于确定性和概率版本均同样有效，因为确定性建模是概率建模的特例，其中样本空间只有一个元素。除了“事件”和“实现”（这只是“集合”和“元素”的术语）之外，甚至没有使用度量理论或概率概念。

2.矛盾的解决方案在数学上是合理的，并且与物理学有关

在此设置点之后，确定性和概率变体会有所不同。在确定性变体中（变形虫后篇的版本2），我们知道球1是在第一步中取出的，所以，并且无限交点当然也是空的。同样，其他任何球在阶段取出，中午不出现。因此，骨灰盒在中午不能包含任何编号的球，因此必须为空。b b $E_1 = \emptyset$$b$$b$$b$

在概率变量中，只是在较软的“预期”意义上发生了相同的现象。当我们接近中午时，存在任何给定球的可能性降至零，并且在正午的限制时间，几乎肯定没有球出现。由于每个球都以零概率出现，并且无限多个零的和仍为零，因此在中午几乎肯定没有骨灰盒中的球。Ross完全严格地显示了所有这些内容。如@ekvall的答案所示，可以用研究生水平的测量理论知识来填充细节。

如果您接受表示为无限序列的数学对象的标准参数，例如，则此处的参数应完全可接受，因为它依赖于完全相同的原理。剩下的唯一问题是数学解决方案是适用于现实世界，还是仅适用于柏拉图式数学世界。这个问题很复杂，将在第4节中进一步讨论。$0.999... = 1$

就是说，没有理由以为无限的un问题是非物理的，也没有理由将其视为无关紧要的，即使它是非物理的。通过研究无限的结构和过程，例如无限的导线和渗流晶格，已经获得了许多物理见解。并非所有这些系统都必须在物理上可实现，但是它们的理论影响着其余的物理学。微积分本身在某些方面是“非物理的”，因为我们不知道是否有可能物理地实现通常是其研究主题的任意小的距离和时间。这并不能阻止我们将微积分在理论和应用科学中得到不可思议的良好利用。

3.基于“物理直觉”的解的非物理性

对于仍然认为罗斯的数学是错误的或在确定性变量上物理不正确的人，真正的物理解决方案是无限多个球：无论您认为中午发生什么，都不可能否认中午之前的情况：每个编号的球添加到骨灰盒中的物品最终将被移除。因此，如果您认为中午the中仍然有无限多个球，您必须承认，中午之前没有一个球可以添加。因此，这些球一定来自其他地方：您断言，与原始问题过程无关的无数个球正好在正午突然出现，以挽救基数连续性不受侵犯的问题。正如“空集”解决方案看起来不自然一样，这种选择在客观上也证明是不自然的。只是为了满足人类对无限的直觉，无法立即收集无限的对象集合。

这里常见的谬误似乎是，我们可以只看时间接近中午时的球数，并假设发散趋势在中午产生无限多个球，而不必考虑确切地取出和取出哪个球。甚至有人试图用“冷漠原则”来证明这一点，该原则指出答案不应该取决于是否标记了球。

确实，答案并不取决于球是否贴有标签，但这是罗斯解决方案的一个论据，而不是反对的。从古典物理学的角度来看，无论您是否认为球是已标记的，都有效地标记了这些球。它们具有与标签等效的不同的永久性标识，并且无论数字是否真实地写在球上，都必须进行真正的物理分析。标签本身不会直接影响解决方案的产生方式，但是需要使用标签来准确描述球如何移动。一些程序将球永远遗留在骨灰盒中，另一些程序可证明会删除添加的每个球，并且甚至需要标签来描述这些程序之间的差异。试图忽略标签不是“物理的”，而是忽略了足够精确地理解物理问题来解决它的想法。（对于复杂的变体而言，在每个阶段都要重新排列标签，情况也是如此。重要的是the中有哪些球，而不是有人放置或替换的replaced上的标签。这可以通过完全忽略复杂的重新标记方案并简单地使用一个不变的标签方案，这是罗斯最初的问题之一。）

如果“球”是量子机械粒子，则唯一的可分辨性将无法成立的事实。在这种情况下，冷漠原则会严重失败。量子物理学告诉我们，不可区分的粒子的行为与可区分的粒子完全不同。这对我们的宇宙结构产生了难以置信的根本后果，例如保利排斥原理，这也许是化学中最重要的单一原理。迄今为止，还没有人试图分析这种悖论的量子形式。

4.物理上描述解决方案

我们已经看到模糊的“物理”直觉会使我们误入歧途。相反，事实证明，对问题进行更精确的物理描述有助于我们理解为什么数学解决方案实际上是最具有物理意义的解决方案。

考虑一个受经典力学定律支配的无限牛顿宇宙。这个宇宙包含两个物体：一个无限的架子和一个无限的Ur，它们从宇宙的起源开始，并彼此平行，相隔一英尺，直到永远。搁板位于英尺的线上，而骨灰盒位于英尺的线上。沿着书架无限地放置许多相同的球，它们之间的间隔均匀为一英尺，第一个是距原点一英尺（因此，球在英尺的线上）。-实际上就像架子一样，但是更加华丽，封闭并且通常带有Urnish-是空的。y = 1 n x = $y = 0$$y = 1$$n$$x = n$

一个过道将货架和Ur连接在底部，在过道的顶部，在Origin处，是一个Endeavor机器人，该机器人具有无限的电源。从11 AM开始，奋进号激活并开始在过道中来回缩放，并根据Ross-Littlewood的编程说明在instructions和架子之间转移球：

• 当程序命令将球插入the时，从原点起的英尺球将从架子转移到the。$n$$n$
• 当程序命令将球从from中取出时，距离原点的英尺将球从the转移到架子上。$n$$n$

在任何一种情况下，转移都是笔直进行的，因此球距原点英尺。该过程按照Ross-Littlewood问题中的规定进行：$n$

• 上午11:00，奋进号将1-10的球从架子转移到to，然后将其中一个balls球移回架子。
• 上午11:30，奋进号将11-20的球从架子转移到Ur，然后将其中一个then球移回架子。
• 上午11:45，奋进号将21-30的球从架子上移到Ur，然后将其中一个balls移回架子。
• 等等...

随着过程的继续，每个新步骤都需要更长的上下走道行程，并且只需要一半的行程时间。因此，奋进号必须在中午关闭时以指数方式上下移动通道。但是它始终与程序保持一致，因为它具有无限的电源，并且可以根据需要快速移动。最终，中午到了。

在这个更生动想象的悖论版本中会发生什么？从上方观看，朝中午的方向真的很壮观。在the内，一波球似乎从原点向外传播。Wave的大小和速度随着中午的临近而无限增长。如果我们在每个步骤之后立即拍照，那么球形的布局会是什么样？在确定性的情况下，它们看起来就像变形虫的答案中的阶跃函数。球的位置将精确地遵循他绘制的曲线。$(x, y)$在概率情况下，它看起来大致相似，但是在原点附近散乱。

中午到来时，我们会盘点发生的一切。在确定性版本中，每个球只从架上转移到transferred上一次，然后在以后的步骤中移回，两次转移都在中午之前进行。中午时分，宇宙必须回到原始的上午11点状态。浪潮不再。每个球都恰好回到了起点。什么也没有变。是空的。在概率版本中，会发生同样的事情，只是现在的结果几乎是肯定的，而不是肯定的。

无论哪种情况，“身体上的异议”和对无穷大的抱怨似乎都消失了。当然the在中午是空的。我们怎么能想到否则呢？

唯一剩下的谜是奋进的命运。随着正午的临近，它从原点的位移和速度变得任意大，因此在正午时分，在我们无限的牛顿宇宙中找不到“奋进号”。奋斗精神的丧失是在此过程中发生的唯一违反物理的行为。

在这一点上，人们可能会反对“奋进号”在物理上是不可能的，因为它的速度无限增长，并最终违反了相对论性的极限，即光速。但是，我们可以稍微更改方案以解决此问题。代替单个机器人，我们可以有无限多个机器人，每个机器人负责一个球。我们可以根据Ross的指示事先对它们进行编程，以确保完美的协调和时机。

这种变化是100％物理的吗？可能不是，因为机器人必须以任意精确的时间运行。当我们接近中午时，要求的精度最终将低于普朗克时间，并产生量子力学问题。但是最终，无限的导线和无限的渗流晶格也可能不是那么物理。这并不会阻止我们研究无限的系统和过程，并确定如果阻塞物理约束被暂停会发生什么情况。

4a。为什么计数单调性被违反

许多罗斯怀疑论者质疑，随着中午临近，骨灰盒中球的数量有可能无限增加，然后在中午为零。归根结底，我们必须相信对自己的直觉进行严格的分析，这通常是错误的，但是存在悖论的变体，可以阐明这个谜团。

假设我们有个球，而不是无限多个球，标记为1、2、3，最大为，并且向动球者规则添加了以下内容：10 $10N$$10N$

• 如果说明要求您移动不存在的球，请忽略该说明。

注意，如果我们添加此指令，原始问题不会改变，因为该指令永远不会被无限多个球激活。因此，我们可以认为原来的问题和这个新的问题家族属于同一家族，具有相同的规则。检查有限的族，尤其是对于非常大的，可以帮助我们理解“ N = ”的情况。ñ $N$$N$$\infty$

在此变体中，球与以前一样每步累积9，但仅直到该过程的步骤这样，要添加的球的编号将不再与实际的球相对应，我们只能按照删除球的说明进行操作，并且该过程将在增加步之后停止，总共步。如果很大，则仅清除阶段会在正午时非常接近时进行，这时任务执行得非常快，并且骨灰very很快被清空。9 N 10 N $N$$9N$$10N$$N$

现在假设我们对每个值进行实验的这种变化，并绘制随时间变化的球数，其中范围是上午11点后0到1小时（即上午11点到中午）。通常，会上升一段时间，然后在或之前下降到零。随着接近无穷大，图形上升得越来越高，下降得越来越快。到中午时，总是空的：。在极限图中，，对于曲线接近无穷大，但f N（t $N$$f_N(t)$˚F Ñ（吨）吨= 1 ñ ˚F Ñ（1 ）= 0 ˚F （吨）= LIM Ñ →交通∞ ˚F Ñ（吨）吨< 1 ˚F （1 ）= 0 Ñ →交通$t$$f_N(t)$$t=1$$N$$f_N(1) = 0$$f(t) = \lim_{N \rightarrow \infty} f_N(t)$$t < 1$$f(1) = 0$。这恰好是罗斯证明中得出的结果：球数在中午之前发散到无穷大，但在中午时为零。换句话说，罗斯的解决方案相对于N保持了连续性：由于与无穷大球盒中的球数相匹配，所以球数的点状极限。$N \rightarrow \infty$

我不认为这是Ross解决方案的主要论据，但对于那些对为什么球数永远增加而不是中午崩溃到零的人来说，这可能会有所帮助。虽然很奇怪，但它是问题的有限形式的限制行为，例如，因此在无限情况下不作为“突然的冲击”出现。$N \rightarrow \infty$

最后的反思

为什么这个问题被证明是如此之多呢？我的推测是，我们的身体直觉比我们想象的要模糊得多，并且我们经常基于不精确和不完整的心理概念得出结论。例如，如果我要求您考虑也是圆形的正方形，您可能会想像是方形的和圆形的，但这并不能同时满足这两种情况-这是不可能的。人脑可以轻松地将模糊，矛盾的概念融合在一起，形成单一的心理画面。如果像Infinite这样的概念不太熟悉，我们可以说服自己，这些模糊的思维混搭实际上就是Real Thing的概念。

这正是the问题中发生的事情。我们并不是一次真正地想到整个事情。我们会思考其中的点点滴滴，例如随着时间的流逝会有多少个球。我们抛弃了所谓无关紧要的技术，例如随着时间的推移每个不起眼的小球会发生什么，或者“ ur”到底能容纳无限多个球的精确程度。我们忽略了精确地列出所有细节，而没有意识到结果是不一致，不兼容的心理模型的混搭。

数学旨在将我们从这种情况中拯救出来。面对陌生和异国情调，它会训练我们并使自己坚强。它要求我们对“必须”为真的事情三思而行……对吗？它提醒我们，无论事情变得多么奇怪，一个和一个仍然是两个，一个球要么在骨灰盒中，要么不在，并且陈述是对还是错。如果我们坚持不懈，这些原则最终将使我们的大多数问题变得清晰。

那些将数学分析服从于“物理”或“常识”直觉的人，后果自负。挥舞直觉仅仅是物理学的开始。从历史上看，所有成功的物理学分支最终都建立在严格的数学基础上，这些数学可以消除错误的物理直觉，增强正确的物理直觉，并能够对理想系统进行严格的研究，例如无限的载流导线，它可以阐明物体的行为。更复杂，混乱的现实世界。罗斯·利特伍德（Ross-Littlewood）是身体上的问题，通常被解释为经典力学之一，并且经典力学具有完全成熟和严格的数学基础。我们应该依靠数学建模和分析来了解古典物理学的世界，而不是相反。

几位发帖人一直担心，罗斯中的计算可能并不严格。这个答案通过证明存在一个概率空间来解决这个问题，在该概率空间中，罗斯考虑的所有结果集的确是可度量的，然后重复罗斯计算的重要部分。

寻找合适的概率空间

要得出Ross的结论，几乎可以肯定，严格地说，在下午12点骨灰盒中没有球，我们需要存在一个概率空间，其中事件“在12点骨灰盒中没有球” PM”可以正式构建并显示为可测量的。为此，我们将在这些讲义中使用定理33 [Ionescu-Tulcea] ，稍作改写，并使用@NateEldredge在对该问题的评论中建议的构造。$(\Omega, \mathcal F, P)$

定理。（Ionescu-Tulcea扩展定理）考虑一系列可测量的空间。假设对于每个，存在概率内核从至（将设为对其第一个参数（即概率度量）不敏感的内核）。然后存在一个随机变量序列，在相应的，使得对于每的联合分布Ñ κ Ñ（Ξ 1，X 1）× ⋯ × （Ξ ñ - 1，X Ñ - 1）（Ξ Ñ，X Ñ）κ 1 X Ñ，ñ = 1 ，2 ，... Ξ ñ$(\Xi_n, \mathcal X_n), n = 1, 2, \dots$$n$$\kappa_n$$(\Xi_1, \mathcal X_1) \times \dots \times(\Xi_{n-1}, \mathcal X_{n-1})$$(\Xi_n, \mathcal X_n)$$\kappa_1$$X_n, n = 1, 2, \dots$$\Xi_n$$n$κ 1，... ，κ $(X_1, \dots, X_n)$是内核。$\kappa_1, \dots, \kappa_n$

我们让表示在第次退出时移除的球的标签。显然，（无限）过程（如果存在）告诉我们模仿Ross的论点所需了解的所有信息。例如，知道某个整数与知道退出后的the中的球数相同：它们恰好是带有标签，减去移除的球。更一般而言，可以根据过程来描述事件，该事件描述在任何给定撤回之后after中有多少个球。 Ñ X = （X 1，X 2，... ）X 1，... ，X 米米≥ 0 米{ 1 ，2 ，... ，10 米} { X 1，... ，X 米 } $X_n$$n$$X = (X_1, X_2, \dots)$$X_1, \dots, X_m$$m \geq 0$$m$$\{1, 2, \dots, 10m\}$$\{X_1, \dots, X_m\}$$X$

为了符合Ross的实验，我们需要对于每个， 的分布在。我们还需要的分布在上均匀。为了证明确实存在具有这些有限维分布的无限过程，我们检查了Ionescu-Tulcea扩展定理的条件。对于任何整数，令并定义可测量空间，其中X Ñ | X ñ - 1，... ，X 1 { 1 ，2 ，... ，10 Ñ } ∖ X 1，... ，X ñ - 1 X 1 { 1 ，... ，10 } X = （X 1，X 2，… ）n I n = { $n\geq 2$$X_n \mid X_{n-1}, \dots, X_{1}$$\{1, 2, \dots, 10n\} \setminus {X_1, \dots, X_{n-1}}$$X_1$$\{1,\dots, 10\}$$X = (X_1, X_2, \dots)$$n$（Ξ Ñ，X Ñ）= （我10 Ñ，2 我10 Ñ）2 乙乙κ 1（Ξ 1，X 1）1 / 10 Ξ 1 ñ ≥ 2 （X 1，... ，X ñ - 1）＆Element; Ξ 1 × $\mathcal I_n = \{1, 2, \dots, n\}$$(\Xi_n, \mathcal X_n) = (\mathcal I_{10n}, 2^{\mathcal I_{10n}})$$2^B$表示集合的幂集。将上的度量定义为对所有元素施加质量的。对于任何和定义是在所有点上均等质量的概率内核，在所有其他点上即零，整数$B$$\kappa_1$$(\Xi_1, \mathcal X_1)$$1/10$$\Xi_1$$n \geq 2$ κ Ñ（X 1，... ，X Ñ - 1，⋅ ）Ξ Ñ ∖ { X 1，... ，X ñ - 1 } X 我＆Element; Ξ Ñ，我= 1 ，... ，ñ - 1 X （Ω ，F，P $(x_1, \dots, x_{n-1}) \in \Xi_1 \times \dots \times \Xi_{n-1}$$\kappa_n(x_1, \dots, x_{n-1}, \cdot)$$\Xi_n \setminus \{x_1, \dots, x_{n-1}\}$$x_i \in \Xi_n, i = 1, \dots, n - 1$。通过构造，概率核与罗斯指定的均匀去除概率一致。因此，无穷过程和概率空间的存在由定理给出，这为我们正式执行Ross的论证提供了一种方法。$X$$(\Omega, \mathcal F, P)$

令表示结果集，以使球在退出后处于骨灰盒中。就我们的随机过程而言，这意味着，对于所有和，使得我们定义，即在直到第个（包括个）的任何平局中都没有移除球。对于我们可以清楚地定义因为球尚未添加到转弯处。对于每一个和，一组我Ñ X 我Ñ 我≤ 10 Ñ Ê 我Ñ = ∩ Ñ Ĵ = 1 { ω ：X Ĵ（ω ）≠ 我} 我Ñ 我> 10 Ñ Ê 我Ñ = ∅ 我Ĵ 我{ ω ：X j（ω ）≠ i } X j E $E_{in}$$i$$n$$X$$i$$n$$i \leq 10n$$E_{in} = \cap_{j = 1}^n\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$$i$$n$$i > 10n$$E_{in} = \emptyset$$i$$j$$i$$\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$是可测量的，因为是随机变量（可测量）。因此，可作为可测量集合的有限交集来测量。$X_j$$E_{in}$

我们对一组结果感兴趣，以便在下午12点骨灰盒中没有球。也就是说，对于每个整数，组结果都没有球在12 PM 骨灰盒中对于每个，令为结果集（），以使球在下午12点处于骨灰盒中。我们可以使用来正式构造，如下所示。即是在下午12时瓮相当于它在它加入到瓮后制成每停药后瓮之中，所以我我Ë 我 ω ＆Element; Ω 我ë 我ë 我Ñ我Ê 我 = ∩ Ñ ：我≤ 10 Ñ Ë 我Ñ Ë 我$i = 1, 2\dots$$i$$i$$E_i$$\omega \in \Omega$$i$$E_i$$E_{in}$$i$$E_i = \cap_{n:i\leq 10n}E_{in}$。现在，对于每个，结果集可作为可测量集的可数交集进行测量。$E_i$$i$

下午12点骨灰盒中至少有一个球的结局是至少发生一个的结局，即。结果集可作为可衡量集合的可数联合来衡量。现在，是在12 PM骨灰盒中没有球的情况，确实可以作为可测量组的补充进行测量。我们得出结论，所有期望的结果集都是可测量的，我们可以像罗斯一样继续计算它们的概率。 Ë = ∪ ∞ 我= 1 Ë 我 Ë Ω ∖ $E_i$$E = \cup_{i = 1}^\infty E_i$$E$$\Omega \setminus E$

计算概率$P(\Omega \setminus E)$

我们首先注意到，由于事​​件是可数的，因此通过可数次可加的测度，$E_i, i = 1, 2, \dots$

P （E i）= a i i P （E ）= 0 ∑ N i = 1 a i = 0 N a i = 0

$$P(E) \leq \sum_{i = 1}^\infty P(E_i) = \lim_{N\to \infty}\sum_{i = 1}^N P(E_i).$$ 为了便于说明，让我们表示所有的实数。显然，为了证明，对于所有，都足以证明。这等效于显示每个，我们现在要这样做。$P(E_i) = a_i$$i$$P(E) = 0$$\sum_{i = 1}^N a_i = 0$$N$$a_i = 0$$i$

为此，请注意，对于所有球已添加到骨灰盒，即， 。这是因为如果球在步骤处在骨灰盒中，那么它在步骤处也在骨灰盒中。换句话说，集合对所有形成递减序列，使得。为了便于说明，让。Ross证明等于并指出对于所有其他我10 Ñ ≥ 我ë 我Ñ ⊇ ë 我（Ñ + 1 ）我ñ + 1个ñ Ë 我Ñ Ñ 10 Ñ ≥ 我一个我Ñ = P （Ë 我Ñ）一个1 ñ → 0 Ñ → ∞ 我一个i n = ∏ n k = i [ 9 $n$$i$$10n \geq i$$E_{in} \supseteq E_{i(n + 1)}$$i$$n + 1$$n$$E_{in}$$n$$10n \geq i$$a_{in} = P(E_{in})$$a_{1n} \to 0$$n \to \infty$$i$，我将其视为真实。证明包括表明，对于所有，和基本但冗长的计算，在此不再赘述。有了这个结果，事实是事件集，对于每个i都是可数的，因此度量的连续性可以得出LIM ñ →交通∞一个我Ñ = 0 我Ë 我Ñ 10 Ñ > $a_{in} = \prod_{k = i}^n[9k / (9k + 1)]$$\lim_{n \to \infty}a_{in} = 0$$i$$E_{in}$$10n > i$

$$a_i = P(\cap_{n: 10n > i}E_{in}) = \lim_{n \to \infty} P(E_{in}) = \lim_{n \to \infty}a_{in} = 0.$$

我们得出的结论是，因此。QED。P （Ω ∖ E ）= $P(E) = 0$$P(\Omega\setminus E) = 1$

---

一些常见的误解：

1. 一个答案与以下事实有关：（用我的符号表示）。但是，这与解决方案的有效性无关，因为根据所提供的论点，右侧的数量不是所关注的数量。$\lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N \lim_{n \to \infty }a_{in} \neq \lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N a_{iN}$
2. 有人担心限额不能在和内移动，或者换句话说，在。像前面的评论一样，这与解决方案无关，因为右侧的数量不是所关注的数量。$\sum_{i = 1}^\infty \lim_{n \to \infty}a_{in} \neq \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^\infty a_{in}$

一方面，您可以尝试这样解释：“想想我在12 PM时任何球在骨灰盒上的可能性，在无限次随机抽签过程中，它最终将被移除。因为这适用于所有球，所以没有他们中的最后一个可以存在。”

我认为这种说法没有说服力。如果该论点起作用，则以下论点起作用：每年，有一些人出生（比如说占总人口的一定比例），而有一些人死亡（假设有恒定的比例）。然后，由于在一定范围内几乎肯定有人死了，因此人类必须灭绝！现在，人类可能因其他原因而灭绝，但是这种说法是垃圾。

对于这个问题，在对球进行编号时，只有一个解决方案，而对球匿名时，则要有完全不同的答案是没有意义的。通过对称性，任意标签不应影响解决方案。杰恩斯称这个论点为冷漠原则，我接受。

换句话说，如果有人告诉您，他们将十个球放入一个骨灰盒中，然后反复取出一个，那么骨灰盒中的骨灰盒有多满，您的答案是“这取决于球是否编号”？当然不是。像这个问题中的the一样，的内容也有所不同。

因此，我认为解决方案在于我们如何使问题形式化。根据集合理论极限的通常定义，我们有

LIM SUP Ñ →交通∞小号Ñ = ⋂ Ñ ≥ 1 ⋃ Ĵ ≥ Ñ小号

$$\liminf_{n \to \infty} S_n = \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{j \geq n} S_j.$$ $$\limsup_{n \to \infty} S_n = \bigcap_{n \ge 1} \bigcup_{j \geq n} S_j$$

设集合基数的极限为

$$k\triangleq \lim_{n\to\infty}|S_n|$$

且 -limit 的基数为$\liminf$

$$l \triangleq \left|\liminf_{n\to\infty} (S_n)\right|.$$

我建议重新定义集合理论极限，以便：

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} S_n &\triangleq \begin{cases} \liminf_{n\to\infty} (S_n) &\text{if } \liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k \text{ exists, and }k=l \\ \alpha_k &\text{if }\liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k\text{ exists, and }k \ne l \\ \text{undefined} &\text{otherwise.} \end{cases} \end{align}$$

这个特殊的“匿名集”描述了在无穷大处发生的情况。正如代表数字的限制行为，代表集合的限制行为。即，我们有和。这种形式主义的好处是，它使我们具有基数的连续性，并且与冷漠原则保持一致。 ∞ α 我∉ α ķ ∀ 我| α ķ | = $\alpha_k$$\infty$$\alpha$$i \notin \alpha_k \forall i$$|\alpha_k| = k$

对于骨灰盒问题，我们有是骨灰盒中的一组球。并且 因此，这些元素不会在无限处“掉下悬崖”，这仅是因为没有人是不朽的，对人类灭绝是没有任何意义的。LIM Ñ →交通∞小号Ñ = α ∞$S_n = \{n+1, \dotsc, 10n\}$

$$\lim_{n\to\infty} S_n = \alpha_{\infty}.$$

同样，假设我们修改了问题，以便在每个步骤中添加一个球，并删除编号最小的球。那么，骨灰盒中的极限球数是多少？匿名集提供了直观的答案：

$$\lim_{n\to\infty}\{n\} = \alpha_1.$$

我认识到数学家可能不同意关于这一悖论的解决方案，但是对我来说，这是最直观的解决方案。

问题是格式错误还是不是一阶逻辑。

根本原因：执行“最后一个”步骤将在球上写入无数个数字，从而使该步骤花费自己无限的时间来执行。

具有无限步长执行无限过程的能力意味着可以通过执行以下序列H（对于定理X）来解决所有一阶逻辑问题（因此Gödel为假）的能力：

Z = asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem X
      THEN
        OUTPUT "yes" and HALT
) + asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem ¬X
      THEN
        OUTPUT "no" and HALT
)
IF Z = "" 
THEN Z = "independent"
IF Z = "yesno" ∨ Z = "noyes"
THEN Z = "paradox"
OUTPUT Z

无限步将假脱机输出的地方

asymptotic_coroutine内部的程序只是穷举搜索证明（或反对）X的一个定理。将P转换为S会得出“ aa”，“ ab”，“ ac”，...“a∨”，...生成可以出现在定理中的每个符号。这导致依次生成所有长度对数_字符 N的定理。由于N在外循环中不受限制地增长，因此最终将生成所有定理。

错误的那一侧将永远不会终止，但是我们不必在意，因为我们可以执行无限的步骤。实际上，我们依赖于能够做到这一点来检测独立性，因为双方永远都不会结束。除了一件事。通过逐步提高执行速度，我们允许在无限时间内执行无数个步骤。这是令人惊讶的部分。在渐近时间之后，永不结束且永不生成输出的asymptotic_coroutine已“完成” *，并且仍从未生成任何输出。

*如果将输出放置在FOR N = 1 ...∞之后，则不会达到，但我们不会这样做。

哥德尔不完全性定理的强形式可以这样表述：“对于每个一阶逻辑系统F，都有一个陈述G _F在F中是正确的，但不能证明在F中是正确的。” 但是证明方法H不能不证明F（H）中所有必须为真的陈述。

困境：哥德尔（（允许无限的步长）
因此：
困境：哥德尔（（315502在一阶逻辑中形成得很好）

令x为已移除的球数，y为剩余的球数。在每个循环之后，y = 9x。当x> 0时，y> 0。下午12点时，the中将无限多个球。

基于概率的解决方案导致困难的原因是无限级数的概率很棘手。ET杰恩斯（ET Jaynes）在他的《概率论：科学的逻辑》一书中写下了几种不同的明显的概率悖论，就像这样。我没有手头的副本，但是本书的第一部分可从此处的 Larry Bretthorst在线获得。以下引言来自前言。

然而，当说了一切之后，令我们惊讶的是，剩下的只是一个松散的哲学共识；在许多技术问题上，我们非常反对de Finetti。在我们看来，他对待无限集合的方式打开了潘多拉盒子的无用和不必要的悖论。不可聚集性和有限可加性是第15章讨论的示例。

无限集的寄生虫病已成为一种病态感染，如今正在以威胁概率论生命的方式传播，需要立即进行手术切除。在我们的系统中，手术后，这种悖论会自动避免。它们不能源于正确应用我们的基本规则，因为这些规则仅接受有限集和无限集，这些有限集和无限集是有限集的定义明确且行为良好的极限。造成这种现象的原因是：（1）直接跳入无限集而未指定任何限制过程来定义其属性；然后（2）提出问题，其答案取决于如何达到极限。

例如，问题：“整数是偶数的概率是多少？”我们可以在（0，1）中给出任何答案，这取决于定义“所有整数的集合”的限制过程（就像有条件的收敛系列可以收敛到我们希望的任意数量，具体取决于我们安排条款的顺序）。

我们认为，至少在概率论中，无穷集不能说完全具有任何“存在”和数学性质，除非我们指定了要从有限集生成它的限制过程。换句话说，我们在高斯，克罗内克和庞加莱的旗帜下航行，而不是在康托尔，希尔伯特和布尔巴基的旗帜下航行。我们希望对此感到震惊的读者研究数学家莫里斯·克莱恩（Morris Kline，1980）对布尔巴克主义的起诉，然后对我们耐心等待足够长的时间，以了解我们方法的优点。例子几乎出现在每章中。

在@enumaris（+1）的答案中使用限制提供了一种解决概率无限的难题的方法。

我们能给他们解决这些矛盾直觉的最好解释是什么？

这是最好的答案，与概率无关。所有的球都有数字，我们称它们为出生数字。出生数字从B1，B2，B3 ...到无穷大，因为我们确实从未停止过。我们快到12:00 AM了，但是不断添加和删除球，这就是为什么没有球的最终编号的原因。顺便说一句，这是一个非常重要的考虑因素。

我们将这些球按10个球批次放入一个盒子中，例如批次7：B71，B72，...，B80。让我们暂时忘掉这些，然后集中注意从盒子中取出的球。它们以随机顺序出现。我将在后面解释为什么随机性很重要，但是现在，这意味着在步骤K处，仍可以抽出活度数从B1到B10k的任何球。我们将按照删除顺序对删除的球进行索引，我们将其称为死亡编号：D1，D2，D3 ... DK。

到12:00 AM，我们将无数个球放入一个盒子里，而且我们肯定不会用完要从中取出的球。为什么？因为我们先放了10个球，然后才将其中一个去掉。因此，总有一个要去除的球。这意味着我们在12:00 AM之前也删除了无数球。

这也意味着每个删除的球的索引从1到无穷大，即我们可以将每个删除的球与放置在框中的球配对：B1到D1，B2到D2，依此类推。这意味着我们删除的球数与我们输入，因为每个出生数字都与每个死亡数字配对。

现在这就是解决方案。为什么它破坏了我们的直觉？小学，沃森博士。原因是因为我们肯定知道所有K都成立： 这就是为什么在K步之后，我们不能从盒子中取出所有球，因为我们放了10K球，只取出了K个。对？

$$K<10K$$

有一个小问题。问题在于，当，这不再成立： 这就是直觉破裂的原因。10 × ∞ ≮ $K=\infty$

$$10\times\infty\nless\infty$$

现在，如果球不是随机取出的。@amoeba的规范答案中可能会发生两件事。首先，假设我们先放10个球，然后立即移除最后一个。好像我们只放了9个球。这将符合我们的直觉，并且在12:00 AM将有无数个球。怎么会？因为我们并没有消除球随意，我们在以下地方出生数配对死亡人数为算法在移除时间。因此，我们将每个移出的球与放入的一个球配对： ，这意味着成吨的球从未配对过B1，B2。 ..，B9，B11，...等B 10 → D 1 ，B 20 → D 2 ，B 30 → D 3 ，$B10K=DK$ $B10\to D1,B20\to D2,B30\to D3,\dots$

非随机球去除可能发生的第二件事也与去除时的配对有关：我们将BK = DK关联。我们可以通过在每个步骤K上用BK移除一个球来做到这一点，以确保BK与DK配对。这样，每个取出的球都与我们放入的每个球配对，即相同的最终结果，就像随机抽取的球一样。显然，这意味着12:00 AM之后，盒子里没有球了。

我只是表明问题本身与概率无关。它与无限可数（？）集的幂有关。我避免讨论的唯一真正的问题是这些集合是否真正可数。您会看到，当您接近12:00 AM时，您插入球的速度会相当快地增加，说得一点点。因此，弄清楚我们放入盒子中的球的数量是否实际上是可数的并不是一件容易的事。

拆散

现在，我将解开这一悖论的规范解决方案，并回到我们的直觉上。

我们怎么可能在12小时内放入10个球，取出一个球而仍然用尽所有球？这是真正发生的事情。12个小时是无法到达的。

重新提出问题。我们不再将时间间隔减半。我们每分钟放置和移走球。这与原始问题完全不同吗？是的，没有。

是的，因为在我上面的论述中，我没有明确提到时间，而是最后。我正在计算步骤k。因此，我们可以继续按k计算步数和死球。

不，因为现在我们永远不会停止。我们将不断添加和删除球，直到时间到头为止。在原始问题中，结束时间为12小时。

这解释了我们的直觉是如何失败的。尽管我们以9 倍的清除率放置球，但由于时间永远不会结束，我们放入的每个球最终都会被清除！可能要花费无数分钟，但可以，因为我们还有无数分钟。这是问题的真正解决方案。

在这种表述中，您会问“无穷大结束后盒子里有多少个球？” 没有！因为这是一个荒谬的问题。这就是为什么原来的问题也是荒谬的。或者，您可以称其为病态。

现在，如果您回到原始问题，那么时间的终结显然会发生。现在是12点。事实上，我们停止放球意味着时间刚刚结束，我们超越了终点。因此，对这个问题的真正答案是永远不要出现12点钟。无法到达。

值得阅读变形虫的答案，它的回答非常好，并且可以非常清楚地说明问题。我并不完全不同意他的回答，但要指出，问题的解决是基于某种约定的。有趣的是，这种问题表明该约定虽然经常使用，但值得怀疑。

就像他说的那样，证明每个球永远留在骨灰盒中的概率为0是一个技术要点。除此之外，问题不在于概率。可以给出确定性的等价物。这很容易理解。关键思想是：由于从某个时间点开始每个骨灰盒都没有球，所以最后的骨灰盒是空的。如果用零和一的序列表示每个球在骨灰盒中的存在，则每个序列在一定范围内为0，因此其极限为0。

现在，这个问题可以进一步简化。为了简单起见，我称矩1、2、3 ...：

• 瞬间1：将球1放入the
• 时刻2：将其删除
• 瞬间3：将球2放入the
• 时刻4：将其删除
• 瞬间5：将球3放入
• ...

结束时（中午）是什么球？同样的想法，同样的答案：没有。

但是从根本上讲，没有办法知道，因为问题没有说明中午会发生什么。实际上，很可能最终，皮卡丘突然出现在骨灰盒中。或者也许所有球突然崩溃并合并成一个大球。并不意味着这是现实的，只是未指定。

仅当某种约定告诉我们如何达到极限：连续性假设时，才能解决该问题。中午the的状态是之前状态的极限。我们应该在哪里寻找可以帮助我们回答问题的连续性假设？

在物理定律中？物理定律确保一定的连续性。我想到的是一个简单的古典模型，而不是真正的现代物理学。但是从根本上讲，物理定律会带来与数学定律完全相同的问题：我们选择描述物理定律的连续性的方式依赖于数学上的问题：什么是连续的，如何进行？

我们必须以更抽象的方式寻找连续性假设。通常的想法是将the的状态定义为从一组球到的函数。0表示不存在，1表示存在。为了定义连续性，我们使用产品拓扑，也就是逐点收敛。我们说，根据此拓扑，中午的状态是中午之前的状态的限制。在这种拓扑下，有一个限制，它是0：一个空的。$\{0;1\}$

但是现在我们稍微修改一下问题，以挑战这种拓扑：

• 瞬间1：将球1放入the
• 时刻2：将其删除
• 瞬间3：将球1放入the
• 时刻4：将其删除
• 瞬间5：将球1放入the
• ...

对于相同的拓扑，状态序列没有限制。那就是我开始将悖论视为真正的悖论的地方。对我来说，这个修改过的问题基本上是相同的。想象你是are。您会看到球来来去去。如果您看不清上面的数字，那么无论是同一球还是另一个球都不会改变您的状况。与其将球视为单独的不同元素，不如将它们视为大量进出的物质。连续性自然可以通过查看物质数量的变化来定义。确实没有限制。从某种意义上说，这个问题与您决定忽略球身份的原始问题相同，从而导致不同的度量标准和不同的收敛概念。即使您看到球上的数字，

在一种情况下，状态序列的限制是“空”，在另一种情况下，该限制是不确定的。

产品拓扑问题的形式化从根本上取决于将每个不同的球所发生的事情分开，从而创建一个反映“可区分性”的度量。仅由于这种分离，才可以定义一个极限。这种分离对答案是如此重要，但对于描述骨灰盒中的“正在发生的事情”（这一点无休止地争论着）却不是根本，这一事实使我认为解决方案是公约的结果而不是基本真理。

对我来说，只要提供丢失的信息，当将其视为纯粹抽象时，该问题就可以解决：中午的状态是先前状态的限制，并且在某种意义上是限制。但是，当直觉地考虑此问题时，状态序列的限制不是您可以以单一方式考虑的。从根本上讲，我认为没有办法回答。

我想使重构尽可能容易，以使答案0更加直观，从简化的示例开始，即不随机去除球，但在第步去除球。$n$$n$

考虑一下：一开始我把所有的球都放进了。在步骤1中，我取出球1。在步骤2中，我取出球2，依此类推。是否有疑问，无数步后steps会变成空的？

好的。但是，如果我一开始不把所有的球都放进the，而是只放一些球，the到底怎么会满？

这篇文章的目的是为OP争辩说我们需要更好的表述。或者至少，罗斯证明不像乍看起来那样清晰明了，当然，证明不是那么直观，因此处于概率论入门课程中的良好位置。在理解悖论方面都需要大量解释，而一旦罗斯的证明通过得很快，就需要进行清楚的解释，这使得很难看到证明所依赖的公理，定理和隐式解释。

与此相关的是，Teun Koetsier在“ Didactiek遇见oneindig veel pingpongballen吗？”中的最后一句话非常有趣。

我们还建议不要使用“ Paradoxes混淆的窗口”。

翻译为“如果我们不小心，那么它将成为'Paradoxes混淆的窗口'”

下面是对“超任务”的讨论中可能会通过的“常规”参数的描述，更具体地说，是确定性的罗斯-利特伍德悖论。在此之后，当我们将所有讨论搁置一旁时，就会看到概率罗斯-利特伍德悖论的特殊情况提供了额外的要素，但是这些要素在超级任务的广泛设置中迷失了方向并造成混乱。

三种确定性案例和关于超级任务的讨论

罗斯-利特伍德（Ross-Littlewood）悖论知道许多不同的结果，具体取决于球从骨灰盒中移位的方式。为了研究这些问题，让我们从Littlewood在其1953年手稿中描述的第五个问题开始，使用确切的问题描述开始。

版本1骨灰盒中剩余的球组为空

罗斯-利特伍德悖论或利特伍德-罗斯悖论首次出现在利特伍德1953年的手稿“数学家的杂项”中，是第五个问题。

无限悖论。编号为1、2，...（或对于数学家来说，数字本身）的球如下放入盒子中。到中午1分钟时，将数字1到10放入，并将数字1取出。在1/2分钟到正午，输入11至20，取出2，依此类推。中午盒子里有几个？

Littlewood在这个问题上很简短，但是给出了一个很好的表示形式：

$P_{1} + P_{2}+ ... + P_{10} - P_1 + P_{11} + ... + P_{20} - P_2 + ...$

对于它，很容易注意到它为“ null”。

版本2骨灰盒中剩余的球的大小是无限的

罗斯（1976）在这个悖论上又增加了两个版本。首先我们看一下第一个加法：

假设我们拥有一个无限大的骨灰盒和一个标记为1号，2号，3号等的无数球。考虑执行以下实验：在1分钟至下午12点，将编号为1到10的球放入骨灰盒中，并取出编号为10的球。（假设撤回不花时间。）在12分钟至12 PM时，将编号11到20的球放入骨灰盒中，并将球号20撤回。在14分钟至下午12点，将编号为21到30的球放在骨灰盒中，并取出编号为30的球。在18分钟到下午12点，依此类推。感兴趣的问题是，下午12点骨灰盒中有几个球？

显然答案是无穷大的，因为此过程将所有数量为的球留在骨灰盒中，这是无限多个。$x \mod 10 \neq 0$

在继续进行Ross的第二次加法（其中包括概率）之前，我们继续进行另一种情况。

版本3骨灰盒中剩余的球集是任意大小的有限集

骨灰盒在下午12点可以有任意数量的球，具体取决于放置球的过程。Tymoczko和Henle（1995）将这种变化描述为网球问题。

汤姆在一个大箱子里，除了他自己以外，都是空的。吉姆站在箱子外面，坐着无数个网球（编号为1、2、3 ...）。吉姆将球1和2投进盒子。汤姆拿起一个网球扔出去。接下来，吉姆（Jim）投出3和4。汤姆（Tom）拿起一个球，将球扔出去。接下来，吉姆（Jim）投出5和6。汤姆（Tom）拿起一个球，将球扔出去。这个过程进行了无数次，直到Jim投入了所有的球。再次，我们要求您接受在有限的时间内完成无限数量的任务。问题是：行动结束后，汤姆的盒子里有多少个球？

答案有些令人不安：取决于情况。没有提供足够的信息来回答这个问题。可能剩下无限数量的球，或者可能没有球。

在教科书示例中，他们针对两种情况（无限或有限）（Tymoczko和Henle，将中间情况作为练习）进行了争论，但是在一些期刊文章中对该问题进行了进一步的研究，其中对该问题进行了概括，这样我们可以得出任何数字，取决于所遵循的程序。

尤其有趣的是有关问题组合方面的文章（但是，重点不在无穷大的方面）。例如，计算我们可以随时拥有的可能集合的数量。在添加2个球并在每个步骤中删除1个球的情况下，结果很简单，第n步中可能的组数为第n + 1个加泰罗尼亚数。例如，第一步中有2个可能性{1}，{2}，第二步中有5种可能性{1,3} {1,4} {2,3} {2,4}和{3,4}，其中14个是第三名，第四名中的42名，等等（参见Merlin，Sprugnoli和Verri 2002，《网球问题》）。这个结果已经推广到不同数量的加减球上了，但这对现在的帖子来说太过分了。

基于超级任务概念的争论

在讨论概率论之前，已经可以针对确定性情况和完成超级任务的可能性提出许多论据。同样，可以质疑所设定的理论处理方法是否是超任务运动学表示形式的有效表示形式。我不想争论这些论点是好是坏。我提到它们是为了强调概率情况可以与这些“超任务”参数进行对比，并且可以看作包含与超任务无关的其他元素。概率案例具有唯一且独立的元素（使用概率论进行推理），无论是针对超级任务还是针对超级任务的论证，都无法证明或反驳这一事实。

• 连续性论点：这些论点通常更具概念性。例如，像阿克萨卡（Aksakal）和约书亚（Joshua）这样的超级任务无法完成的想法在他们的答案中争论不休，而汤姆森的台灯则清楚地证明了这些概念，在罗斯·利特伍德（Ross Littlewood）悖论的情况下，就像要问的那样，是最后删除的。数字是奇数还是偶数？

• 物理论证：还有一些论点质疑数学构造与问题的物理实现有关。我们可以对问题进行严格的数学处理，但是仍然存在一个问题，这是否真的与任务的机械执行有关（除了简单的概念，例如突破物理世界的某些障碍，例如速度限制或能量/空间要求） 。

  • 一个论点可能是，集合理论极限是一个数学概念，不一定描述物理现实

    例如，请考虑以下不同的问题：ur有一个我们不动的球。每一步，我们都会删除先前写在球上的数字，并在上面改写一个新的较低数字。经过无数个步骤，the会清空吗？在这种情况下，使用集合理论极限（空集合）似乎有点荒谬。作为数学推理，此限制是不错的选择，但是它代表问题的物理性质吗？如果由于抽象的数学推理（也许应该将其更多地视为一个不同的问题）而让球从骨灰盒中消失，那么我们是否也可以使整个骨灰盒消失？

  • 同样，球的区分和给它们分配顺序似乎是“不自然的”（这与布景的数学处理有关，但是the中的球的行为是否类似于那些布景？）。如果我们在每一步都对球进行改组（例如，每一步随机地将丢弃的堆中的球换成剩下的无限球中的球），那么就忘记了根据它们进入骨灰盒的时间或获得的数字来进行编号从一开始，基于集合理论极限的参数就不再有意义了，因为集合不会收敛（一旦从骨灰盒中丢出一个球，就没有稳定的解决方案，它可以再次返回）。

    从执行填充和清空骨灰盒的物理任务的角度来看，似乎我们是否在球上都没有关系。这使得集合理论推理更像是关于无限集合的数学思想，而不是实际过程。

无论如何，如果我们坚持将这些无限悖论用于教学目的，因此，在我们探讨概率论之前，我们首先需要争取一个被最怀疑/顽固的人接受的（某些）超级任务的可接受想法。思想家们，那么可能会感兴趣的是使用由艾里斯和科耶西耶（1995）描述并在下面简短描述的芝诺悖论与罗斯-利特伍德悖论之间的对应关系。

以他们的类比，阿基里斯试图追赶乌龟，而他们两个都以这种方式越过标记，距离使得带有标记的阿基里斯的距离是带有标志的乌龟距离的两倍，即。然后直到中午12点。乌龟和阿喀琉斯过去的旗帜差异越来越大。但是，最终在下午12点，除了Eleatics之外，没有人会争辩说他们的致命弱点和乌龟到达了同一点，并且（因此）它们之间的标记为零。

$$F(n)=2^{-10 \log n}$$ $n$$10n$$F(n) = 2 F(10n)$

概率案例及其如何为问题添加新的方面。

Ross（在他的教科书中）添加的第二个版本根据随机选择删除球

现在让我们假设，每当要抽出一个球时，都会从存在的球中随机选择一个。也就是说，假设在1分钟至12 PM时，将编号为1到10的球放置在骨灰盒中，并随机选择并撤回一个球，依此类推。在这种情况下，下午12点骨灰盒中有几个球？

罗斯（Ross）解决方案是骨灰盒为空的概率为1。但是，尽管罗斯的论证听起来很严格，但人们可能会想知道，为此需要哪种公理，以及哪些使用的定理可能会被那些公理中没有的隐含假设置于压力之下（例如，可以为中午的事件分配概率）。

简而言之，Ross的计算是两个元素的组合，将非空empt的事件分为许多子集/事件，并证明对于每个这些事件，概率为零：

1. 对于，如果球号在12 pm出现在骨灰盒中，则$F_i$$i$$P(F_1) = 0$

2. 对于 ，the在12 pm不为空的概率为$P(\bigcup_1^\infty F_i)$

   $P(\bigcup_1^\infty F_i) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$

Ross-Littlewood悖论的概率情况，无需对超级任务进行推理

在最裸露的悖论形式中，将其从超任务性能的任何问题中剥离出来，我们可能想知道减去无限集的“更简单”问题。例如，在三个版本中，我们得到：

$$\begin{array} \\ S_{added} &= \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \rbrace + \lbrace10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,1} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,2} &= \lbrace 10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,3} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \setminus \lbrace a_1,a_2,a_3,... \text{ with } a_i \in \mathbb{N} \rbrace \end{array}$$

并且问题减少为的集合减法。$S_{added}-S_{removed,1} = \emptyset$

任何无穷大的序列是一个（相等）可能的序列，描述了在概率实现Ross时可以删除球的顺序。 -小木问题。让我们将这些无限序列称为RL序列。$S_{RL} =\lbrace a_k \text{ without repetitions and } a_k < 10k \rbrace$

现在，更普遍的问题是，没有关于超级任务的悖论推理，是关于不包含整个的RL序列的密度。$\mathbb{N}$

问题的图形视图。

嵌套，分形，结构

在此答案的编辑版本之前，我曾提出过一个论点，该论点使用了从“清空的无限序列”到“不包含数字1的无限序列”的内射映射的存在。

那不是一个有效的论点。例如，与平方集的密度进行比较。有无限多个正方形（并且存在双射关系和），但是正方形集的密度为零。$n \mapsto n^2$$n^2 \mapsto n$$\mathbb{N}$

下图提供了一个更好的视图，即每增加一个步骤，the骨球1的概率如何降低（对于其他所有球我们都可以辩驳）。即使所有RL序列的子集（位移球的序列）的基数等于所有RL序列的基数（图像显示一种分形结构，并且树包含无限多个其自身的副本）。

样本空间的增长，路径数

该图显示了前五个步骤的所有可能实现，以及针对网球问题的方案（网球问题，每个步骤：加2删除1，增长速度较慢，并且更易于显示）。蓝绿色和紫色线条显示了可能展开的所有可能路径（想象在每个步骤我们掷出大小为的骰子，并根据其结果选择条路径之一，或者换句话说，根据结果我们会移除骨灰盒中的球之一）。$n$$n+1$$n+1$$n+1$

随着第n + 1个加泰罗尼亚数字，可能的compositions组合数量（方框）增加，并且阶乘的路径总数也增加。对于缸号为1（深灰色）且通向这些盒子的路径（紫色）的the组合物，其展开完全相同，但是这次是第n加泰罗尼亚数和阶乘。$C_{n+1}$$(n+1)!$$n!$

将球留在内部的路径密度$n$

因此，对于导致球号为1的inside的路径，密度为并且随着增大而减小。尽管有很多认识可以导致在方框中找到球号，但概率接近零（我认为这并非不可能，但几乎肯定不会发生，Ross论点的主要技巧是可数的许多null事件的并集也是null事件）。$\frac{(n)!}{(n+1)!}$$n$$n$

网球问题前五个步骤的路径示例（每个步骤：加2删除1）

罗斯的论点肯定是空的empty。

Ross 在步骤定义事件（样本空间的子集），编号为的球在the中。（在他的教科书中，他实际上省略了下标并主张第1球）。$E_{in}$$i$$n$$i$

证明步骤1）

罗斯使用他的命题6.1。用于增加或减少事件序列（例如，减少等效于）。$E_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset E_4 \supset ...$

命题6.1：如果是事件的递增或递减序列，则$\lbrace E_n, n\geq 1 \rbrace$

$$\lim_{n \to \infty} P(E_n) = P(\lim_{n \to \infty} E_n)$$

罗斯使用这个命题指出，在12 pm 观察球的概率（这是）等于$i$$lim_{n \to \infty} E_{in}$

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in})$$

Allis和Koetsier认为这是这些隐含假设之一。超级任务本身并不（逻辑上）暗示在中午12点会发生什么，并且问题的解决方案必须做出隐式假设，在这种情况下，我们可以对use骨内部的球组使用连续性原理来说明发生了什么在无穷大。如果无穷大（定理）极限是一个特定值，那么在无穷大处我们将拥有该特定值（不能有突然的跳跃）。

罗斯-利特伍德悖论的一个有趣变化是，当我们还随机返回以前丢弃的球时。这样就不会有收敛（就像汤姆森的灯一样），我们不能轻易定义序列的极限（现在不再减小）。$E_{in}$

证明步骤2）

限制已计算。这是一个简单的代数步骤。

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in}) = \prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = 0$$

证明步骤3）

有人认为，通过简单的陈述，第1步和第2步对所有都有效$i$

“类似地，我们可以证明所有 ”$P(F_i)=0$$i$

其中是球的情况下已经取出骨灰盒的时候，我们已经达到了12点$F_i$$i$

虽然这可能是正确的，但我们可能想知道其低索引现在变为无穷大的乘积表达式：

$$lim_{i \to \infty}(lim_{n \to \infty} P (E_{in})) = lim_{i \to \infty}\prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = ... ?$$

除了希望我可以向我解释它是否有效之外，我没有太多要说的。

获得关于以下命题6.1所要求的递减序列的概念的更好的直观示例也将很不错从步数索引等于1开始。该索引应增加到无穷大（不仅步数变为无穷大，而且要丢弃的球的随机选择也将变为无穷大，并且我们观察到的极限球数变为无限大）。尽管可以解决这种技术问题（并且可能已经在其他答案中进行了隐式或显式的处理），但全面而直观的解释可能会非常有帮助。$E_{in}, E_{in+1}, E_{in+2}, ...$$n$

在第3步中，它变得非常技术化，而Ross对此却很短。Ross假定存在一个概率空间（或至少不是明确的概率空间），在该概率空间中我们可以在无穷大处应用这些操作，就像在有限子空间中应用这些操作一样。

ekvall的答案使用了Ionescu-Tulcea产生的扩展定理，提供了一个构造，从而产生了无限的乘积空间，其中我们可以通过概率核的无穷乘积来表示事件，从而得出。$\sum_{k=0}^\infty \Omega_i \bigotimes_{k=0}^\infty \mathcal{A}_i$$P(E_i)$$P=0$

但是，它不是在直观意义上阐明的。我们如何直观地显示事件空间有效？它的补码是空集（而不是带有无限多个零的数字1，例如Allis和Koetsier的Ross-Littlewood问题的调整版中的解决方案），并且它是一个概率空间？$E_{i}$

证明步骤4）

布尔的不等式用于确定证明。

$$P\left( \bigcup_1^\infty F_i \right) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$$

证明了不等式对于有限或无限可数事件集。对于来说确实如此。$F_i$

罗斯的这一证明并不是建构主义意义上的证明。代替证明的概率几乎为1瓮要的空处12时，它被证明的概率几乎为0的瓮成填充有任何球上有一个有限数。

回想

确定性的Ross-Littlewood悖论明确包含空集（这是本文的开始方式）。这使得概率版本最终以空集结尾就不足为奇了，其结果（无论是否成立）的结果与非概率RL版本相比并不那么矛盾。以下是RL问题的一个有趣的思想实验：

• 想象一下，从一个装满无数个球的starting开始，然后开始随机丢弃其中的球。如果此超级任务结束，则必须在逻辑上清空骨灰盒。从那以后，如果它不是空的，我们可以继续。（但是，这种思想实验扩展了超任务的概念，并且模糊地定义了终点。是在when是空的还是到达下午12点时？）

罗斯的证明技术有些令人不满意，或者至少可能需要一些更好的直觉和其他例子的解释，以便能够充分欣赏证明的美。这四个步骤共同构成了一种机制，可以概括该机制，并可能将其应用于生成许多其他悖论（尽管我已经尝试过，但没有成功）。

我们可能能够生成一个定理，使得对于任何其他合适的样本空间，该样本空间的大小朝无穷大增加（RL问题的样本空间具有）。如果我们可以定义一组可计数的事件，它们随着步数增加而递减序列的极限为0 ，那么随着我们接近无穷大，作为这些事件的并集的事件的概率将变为零。如果我们可以使事件的合并成为整个空间（在RL示例中，空花瓶未包含在概率为零的联合中，那么就不会发生严重的悖论），那么我们可以做出更严峻的悖论来挑战公理的一致性与超限推导相结合。$card(2^\mathbb{N})$$E_{ij}$$j$

• 一个这样的例子（或尝试创建）是将面包无限次地分裂成小块（为了满足数学条件，我们只将分裂成具有正有理数大小的块）。在本例中，我们可以定义事件（在步骤x，我们有一个大小为x的片段），它们是递减的序列，并且该事件的概率极限变​​为零（就像RL悖论一样，递减的序列仅会进一步发生，并且随着时间的推移，这是有针对性的，但没有统一的收敛）。

  我们必须得出的结论是，当完成此超级任务时，面包消失了。我们可以在这里进入不同的方向。1）我们可以说解决方案是空集（尽管此解决方案比RL悖论中的令人愉快得多，因为空集不是样本空间的一部分）2）我们可以说有无限多个未定义的部分（例如无限大的尺寸）3）还是我们不得不得出结论（在执行Ross的证明并找到空白之后），这不是可以完成的超级任务吗？可以提出完成这种超级任务的概念，但不一定“存在”（一种罗素悖论）。

---

贝特西科维奇的一句名言印在利特伍德的杂记中：

“数学家的声誉取决于他提供的错误证据的数量”。

---

Allis，V.，Koetsier，T.（1995），关于无限II的某些悖论，《英国科学哲学杂志》，第235-247页

Koetsier，T.（2012），Didactiek遇见了oneindig veel pingpongballen，Nieuw Archief voor Wiskunde，5/13 nr4，第258-261页（荷兰语原版，可以通过Google和其他方法翻译）

利特伍德（美国，JE）（1953年），《数学家的杂记》，第5页（通过archive.org免费链接）

Merlin，D.，Sprugnoli，R.和Verri MC（2002），网球问题，《组合理论杂志》，第307-344页

Ross，SM（1976），概率论的第一门课，（第2.7节）

Tymoczko，T.和Henle，J.（1995年原著）（Google 1999年第2版参考），《甜蜜的理由：现代逻辑的现场指南》

好，我再试一次。

答案是悖论纯粹是数学上的。Enumaris和cmaster的答案以一种方式告诉发生了什么，但这是解决问题的另一种方式。问题在于，正如Jaynes所写的那样，我们如何处理无穷概率（有关详细信息，请参阅我其他尝试的答案）。

无限系列通常被视为没有终点，但是在这个问题中有一个终点时间（12PM），因此从逻辑上讲，即使没有数学上的关系，也存在最后一个添加和删除球的循环：无限地在12PM之前。“最后”循环的存在使我们可以回顾时间上的倒退概率。

考虑最后添加的十个球。对于它们中的每一个，它们被删除的可能性为零，因为它们每个都是可能被删除的无限球之一。因此，在中午12点将剩余至少十个球的概率为1。

QED。不会导致胡说八道的概率论证。

最近，威廉·沃尔夫冈·穆肯海姆（WolfgangMückenheim）的一些评论使我重新考虑了我的回答中的某些表述。我将其发布为新答案，主要是因为此答案的方法不同，不是争论这个问题的教导，而是争论悖论无效。

威廉在他冗长的手稿中谈到

事务只能在有限的步长（“在所有和之间没有可能的动作）”。$n$$n$$\omega$

这让我想起了这个词

$$\sum_{k=1}^\infty \prod_{n=k}^\infty \left( \frac{9n}{9n+1} \right)$$

这是从罗斯的作品衍生而来的。如果没有为以下限制定义无穷大路径，则该术语不确定。

$$\lim_\limits{(l,m)\to(\infty,\infty)}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^m\left(\frac{9n}{9n+1}\right)$$

这似乎与威廉讨论的观点相似，并且在阿卡萨尔的回答中也提到了这一点。时间步长变得无限小，因此从这个意义上讲，我们将可以达到12 pm，但同时我们需要添加和删除（非物理的）无数个球。将这个超级任务附加到Zeno箭头之类的过程是一个错误的想法，就像汤普森悖论灯的开关在超级任务的末尾不能确定的位置一样。

就极限而言，我们可以说我们采取无穷大的物理路径是

$$\lim_\limits{l\to \infty}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^l\left(\frac{9n}{9n+1}\right) = \lim_\limits{l\to \infty} \frac{9l}{10}$$

所以不是零而是无限

我相信该示例支持“如果前提为假，那么条件为真”

在这个宇宙中，没有无限的，也没有无限的球集合。不可能将时间分成任意小块。

因此，谢尔顿·罗斯（Sheldon Ross）正确地说say在12:00时是空的。说say在12:00处有无限球的学生也一样。

如果您回答骨灰盒有50个球，那么您也是正确的。

我没有严格地证明这个宇宙不包含无限的和无限的球，而且时间不是原子的-我只是相信那些东西。如果您认为这三个断言是错误的，那么您认为罗斯的问题在经验上是可以证伪的。我正在等待您的实验结果。

我支持这个问题是不恰当的。当我们考虑超限的东西时，我们常常不得不使用一个极限。看来这是唯一的方法。由于我们区分不同的球，因此我们有一个无穷大的过程 其中代表时间，，如果有球在时间和否则。吨= - 1 ，- 1 / 2 ，- 1 / 4 ，。。。X t ，j = 1 j t + 0 X t ，j =

$$(X_{t,1}, X_{t,2},...),$$ $t=-1,-1/2,-1/4,...$$X_{t,j}=1$$j$$t+0$$X_{t,j}=0$

现在，每个人都可以决定使用哪种收敛方式：统一，分量，等。不用说，答案取决于选择。$l_p$

对这个问题的误解来自忽略以下事实：当我们考虑无限维向量的收敛性时，度量问题至关重要。如果不选择收敛的类型，就无法给出正确的答案。

（存在零向量的收敛范数计算球的数量，因此在该范数中该过程呈爆炸式增长。）$l_1$

比正规教育更具直觉，但：

如果到午夜的间隔减半，我们将永远不会到达午夜……我们只是渐近地靠近；所以人们可以说，有是无解的。

或者，根据措辞：

• 因为有+10个球的无限间隔，所以答案是无限的
• 因为有（+10球-1）个无限间隔，答案是10 *无限-1 *无限= 0？
• 因为有（+9个球）+1的无限间隔，所以答案是无限+ 1

重写：2018年1月16日

第1节：概述

这篇文章的基本结果如下：

• 中途球随着步距前进到位置，有大约的可能性保留在极限中-这既是真实的观察结果，又是数学推导的结果。 导出的函数具有中的有理数域，例如，中途球剩余极限中的概率对应于域值。此函数可以计算出任意分数的剩余概率。步长。∞ （0 ，1 ] 1 /$0.91$$\infty$
  $(0,1]$$1/2$
• Ross的分析是正确的，但不完整，因为它尝试按数量级迭代有理数。 理性不能按数量级进行迭代。因此，Ross的分析无法访问整个域，而只能提供整体行为的有限视图。$\left(i,\infty\right), i=1..\infty$
  
• 然而，罗斯的分析确实说明了一个特殊的可观察到的行为：在极限情况下，不可能通过从1到最后一个剩余球组的串行迭代来实现。
• 罗斯的极限序列具有一些令人信服的特性，这些特性在直观上似乎是独特的。
  但是，我们显示了另一组极限序列，它们满足相同的良好属性并给出函数的值。

第2节“符号和术语”涵盖了本文中使用的符号和术语。

第3节“中途球组”介绍了现实世界的观察-收敛于索引在所有插入的球的中途的球的剩余概率极限。该极限值为约91％。中途球集的情况在可以推广到任何有理数，它们都具有非零极限值。 $(0,1]$

第4节“悖论的解决”提出了一个统一的框架，用于同时包含罗斯的结果和“理性域”的结果（在此进行描述）。如前所述，Ross的分析仅提供了总体行为的有限观点。因此，矛盾的根源得以识别和解决。

在附录中，讨论了其他一些次要的结果：

• “极限值中的期望值”计算出直至并包括步长大小的任何分数的预期剩余球数。
• 该结果的推论是确定期望保持大于一个值的第一个球的索引。

第2节：符号和术语

• 我们将在第步插入的球索引标记为 并将其称为第个“球集”。Ballset是为此职位创建的一个词。 令人遗憾的是，该术语偏离了Ross的术语，但同时也使文本更加清晰和简短。$n$$\{n.1, n.2, n.3, ..... n.10\}$$n$
  
• 符号指的是球的情况下在ballset保持在步骤，忽略ballset其他球。$E(a,b)$$a.1$$a$$b$
• 符号是用于缩写，并将其指的概率。 请注意，所有的球在ballset有剩余的概率相同。 -的值是。$P(a,b)$$P(E(a,b))$$E(a,b)$
  $a.i$$a$
  $P(E(a,b))$$\prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)}$
• 罗斯极限是概率为趋于无穷： -$P(a)$$P(a,b)$$b$
  $P_{lim1}(a) = \lim_{b\rightarrow\infty} P(a,b)$
• 有理数极限被定义为当球指数和步数都达到无穷大且保持恒定比率时的：$a$$b$$P_{lim2}(a,b) = \lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb)$

第3节：中途球拍

在每个偶数步骤，将中途球组定义为第个球组。在每个偶数步骤，剩余的中途概率定义为。 因此，在极限为，剩余的中途概率为 。 下面的定理1给出了剩余中途概率的数值。$2n$$n$$2n$$P(n,2n)$
$n\rightarrow\infty$$\lim_{n\rightarrow\infty} P(1*n,2*n)$

定理1-保比例域序列中元素的概率极限

$$\begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty} P(a*n,b*n) = (\frac{a}{b})^\frac{1}{9} \end{equation}$$ 的证明在附录正下方给出。

根据定理1，保留在极限中的中途概率为 ，的近似十进制值为。$(\frac{1}{2})^\frac{1}{9}$$0.925875$

健全性检查 让我们进行健全性检查，以查看中途概率的数值极限是否“看起来正确”。

$$\begin{array}{|l|rcl|} \hline n & P(n/2,n) &=& \text{trunc decimal val} \\ \hline 1000 & P(500,1000) &=& 0.92572614082 \\ \hline 10000 & P(5000,10000) &=& 0.9258598528 \\ \hline 100000 & P(50000,100000) &=& 0.925873226 \\ \hline 1000000 & P(500000,1000000) &=& 0.92587456 \\ \hline \hline \infty & \lim_{n\rightarrow\infty} P(n,2n) &=& 0.925875 \\ \hline \end{array}$$

前4行是剩余的步数的值的概率中途 ，，，和分别。最后一行是限制。看来中途概率确实在收敛到预测的极限。 需要解释这种不符合Ross框架的现实世界观察。 $10^3$$10^4$$10^5$$10^6$

**第4节“悖论的解决” **

本节说明了Ross分析和有理域分析的统一框架。通过一起查看它们，可以解决悖论。

有理极限可归从有理到实数的函数： 其中和，这里的表示最大公约数。等效的陈述是“和是互质”和“是的缩减部分。 $P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$(0,1]$

$$\begin{array}{rcl} P_{lim2}(a,b) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb) \\ &=& (\frac{a'}{b'})^\frac{1}{9} \end{array}$$ $gcd(a',b')=1$$\frac{a'}{b'} = \frac{a}{b}$$gcd()$$a'$$b'$$\frac{a'}{b'}$$\frac{a}{b}$

罗斯极限可以写为有理极限序列的极限： 元组不是中的有理数的成员；它属于，因此Ross极限与域上的函数同构， 并且其图像始终是唯一的实数。

$$\begin{array}{rclr} P_{lim1}(a) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(a,k) & \\ &=& lim_{i,k\rightarrow\infty} P(ka/i,kb) & \text{for some } b \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(a/i,b) & \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(0,b) & \end{array}$$ $(0,b)$$(0,1]$$[0,0]$$P_{lim2}(a,b)$$[0,0]$$0$

Ross极限和有理极限分别在两个不相交的域和上具有相同的函数，Ross极限仅考虑已被降级为相对于无穷小的球集索引的情况。一步的大小。 $[0,0]$$(0,1]$

罗斯极限分析预测，在极限中，对于依次访问值 永远不会达到非零值。 这是正确的，并且与真实世界的观察结果相对应。$P_{lim1}(i)$$i=1,2,...\infty$

有理极限分析考虑了真实世界的观察结果，例如罗斯极限未考虑的半球。函数是相同的但是域是而不是$P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$[0,0]$

下图描述了Ross极限序列和有理极限序列。

可以公平地说，罗斯的分析包含一个隐含的假设，即罗斯极限及其域是整个感兴趣域。即使没有明确识别出以下四个条件，Ross假设所隐含的直觉也是如此：

令是第个Roth极限序列。令是Roth极限序列的并集。 $S_i = P(i,n), n=1,...,\infty$$i$$S = \cup_{i=(1...\infty)} S_i$

• （1）序列不相交，并且每个序列收敛。$S_i$
• （2）所有序列的元素的并集恰好覆盖了所有正在使用的（球，步）元组的集合：$S$$\{ (i,n)\ |\ i\leq n\ \land \ i,n\in Q \}$
• （3）所有序列在（步长索引）中都是无限的，因此它们不会“提前”终止。$S_i$$n$
• （4）序列本身形成一个超序列。因此，可以迭代地“创建”超序列，即它们是可数的。$S_i$$\{ S_i \}_{i_in (1...\infty) }$

现在还不很清楚，另一个极限序列系统是否可以满足上述（1）-（4）点。

但是，我们现在将讨论另一种确实满足上述要点（1）-（4）的极限序列系统。

令（其中）表示有理极限序列 让是的互质元组：= 。令为所述有理极限序列的并集： $S_{p,q}$$gcd(p,q)=1$

$$\begin{equation} S_{p,q} = \{ (kp,kq) \}_{k\in (1...\infty)} \end{equation}$$ $D^*$$D$$D^* =\{ (p,q)\in D \land gcd(p,q)=1 \}$$S^*$$S^* = \cup_{d\in D^*} S_{p,q}$

显然其并集为的序列满足上述属性（1）-（3）。 索引恰好是的有理数，要满足条件（4），我们需要证明的有理数是可数的。 $S_{p,q}$$S^*$
$(p,q)$$(0,1]$$(0,1]$

阶的（Farey序列）2是0到1之间完全减少的分数的序列，当以最低的术语表示的分母小于或等于，按大小递增的顺序排列。以下是前八个Farey序列：$n$$n$

 F1 = {0/1,                                                                                                          1/1}
 F2 = {0/1,                                                   1/2,                                                   1/1}
 F3 = {0/1,                               1/3,                1/2,                2/3,                               1/1}
 F4 = {0/1,                     1/4,      1/3,                1/2,                2/3,      3/4,                     1/1}
 F5 = {0/1,                1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5,                1/1}
 F6 = {0/1,           1/6, 1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5, 5/6,           1/1}
 F7 = {0/1,      1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3,      2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5,      2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7,      1/1}
 F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

令表示没有第一个元素的第个Farey序列。$F^*_n$$n$$0/1$

令是有理极限序列的并集，该序列具有至少一个元素直到并包括步骤： $S^*_n$$n$

$$\begin{equation} S^*_n = \{ S_{p,q}\ |\ \exists (a,b) \} \end{equation}$$

从分数转换为元组的索引元素完全索引的元素。下表比较了Ross分析和有理极限分析中极限序列的分组：$F^*_n$$S^*_n$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Ross} & \text{rational} \\ \hline \text{num new seq per step } & 1 & \text{multiple (generally)} \\ \hline \text{new seq at step } n & S_n & F^*_n - F^*_{n-1} \\ \hline \text{tot num seq up to step }n & n & \| F^*_n \| \\ \hline \text{super-seq up to step }n & \{ S_m \}_{m=1}^{n} & F^*_n \\ \hline \end{array}$$

最后，由于存在用于迭代地创建超序列方法[ 3 ]，[ 4 ]，因此还满足条件（4）。$F^*_n$

这些方法之一是Stern-Brocot树的变体，如下所示：

两个有理数和的中位数定义为$a/c$$b/d$$\frac{a+b}{c+d}$

• 设置$F*_n = \emptyset$
• 将附加到$1/n$$F*_n$

• 环路在$i$$1...(\|F*_{n-1}\|-1)$

  • 将附加到F * _n $$F*_{n-1}[i]$

  • 令$x = mediant(F*_{n-1}[i], F*_{n-1}[i+1])$

  • 如果将x附加到$denom(x) \leq n$$F*_n$
  • 继续循环
• 将附加到$F*_{n-1}[n]$$F*_n$

矛盾已解决。

定理的证明1 首先请注意： ，其中最后一个转换是Sterling转换。

$$\begin{eqnarray} P(E_{a,b}) &=& \prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)} \\ &=& \frac{\Gamma \left(a+\frac{1}{9}\right) \Gamma (b+1)}{\Gamma (a) \Gamma\left(b+\frac{10}{9}\right)} \\ &=& (a-1)^{\frac{1}{2}-a} \left(a-\frac{8}{9}\right)^{a-\frac{7}{18}} b^{b+\frac{1}{2}} \left(b+\frac{1}{9}\right)^{-b-\frac{11}{18}} \end{eqnarray}$$

然后，在语法上将和入最后一个（斯特林形式）方程，我们得到 $a\rightarrow a*n$$b\rightarrow b*n$

$$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty} P(E_{a,b}) &=& \lim_{n\rightarrow\infty} (a M-1)^{\frac{1}{2}-a M} \left(a M-\frac{8}{9}\right)^{a M-\frac{7}{18}} (b M)^{b M+\frac{1}{2}} \left(b M+\frac{1}{9}\right)^{-b M-\frac{11}{18}} \\ &=& \left(\frac{a}{b}\right)^\frac{1}{9} \end{eqnarray}$$

附录：其他结果

期望极限

本节给出了一个预期的剩余球数量的封闭式表达式，该数量不超过步长的任何部分。
该结果的推论是第一个球的指数的数值近似，该指数期望保持大于一个。

（ 未完待续 ）

编辑编辑

长话短说。所谓的悖论是一种不确定的形式错误，是初学者的错误，其结果类似于除以零的错误，证明了。这种错误（在这种情况下用于计数）自然会产生可以为0，或答案。$1=2$$n$$\infty$

顺便说一句，当一个人添加无限数量的无穷小概率时，就会创建一个 $\frac{1}{\infty}\infty$，这是一个不确定的形式，Ross的证明是不正确的。要获得正确答案，请使用L'Hopital规则。无限不是数字。像对待数字一样对待无穷大会导致错误。