我一直在探索许多用于预测的工具，并且发现广义可加模型（GAM）具有最大的潜力。GAM非常棒！它们允许非常简洁地指定复杂的模型。但是，同样的简洁性使我有些困惑，特别是在GAM如何理解交互作用项和协变量方面。

考虑一个示例数据集（发布后的代码可重现），其中y是一个由几个高斯扰动的单调函数，外加一些噪声：

数据集具有一些预测变量：

• x：数据索引（1-100）。
• w：辅助功能标记出y存在高斯的部分。w的值为1-20，其中x介于11到30之间，以及51到70之间。否则w为0。
• w2：w + 1，因此没有0值。

R的mgcv软件包可轻松为这些数据指定许多可能的模型：

模型1和2非常直观。默认情况下，y仅根据索引值进行x平滑度预测会产生一些模糊正确的提示，但过于平滑。y仅根据w结果预测存在于的“平均高斯”模型中y，而没有其他w值的“感知”模型，所有其他数据点的值均为0。

模型3同时使用x和w作为1D平滑，产生了很好的拟合。模型4使用x并w在2D平滑中使用，也非常适合。这两个模型非常相似，尽管不完全相同。

模型5 x通过“ 模型” w。模型6则相反。mgcv的文档指出，“ by参数可确保平滑函数乘以[by参数中给定的协变量]”。那么5和6型不应该等效吗？

模型7和8使用预测变量之一作为线性项。这些对我来说很直观，因为它们只是在使用GLM对这些预测变量进行处理，然后将影响添加到模型的其余部分。

最后，模型9与模型5相同，除了模型x“通过” w2（为w + 1）进行了平滑处理。对我而言，奇怪的是，w2“ by”交互中缺少零会产生明显不同的效果。

所以，我的问题是：

• 3型和4型的规格之间有何区别？还有其他例子可以更清楚地说明差异吗？
• 确切地说，“通过”在这里做什么？我在伍德的书中读到的大部分内容以及该网站的内容都表明“ by”会产生乘法效应，但是我很难理解它的直觉。
• 为什么模型5和9之间会有如此显着的差异？

接下来是Reprex，用R编写。

library(magrittr)
library(tidyverse)
library(mgcv)

set.seed(1222)
data.ex <- tibble(
  x = 1:100,
  w = c(rep(0, 10), 1:20, rep(0, 20), 1:20, rep(0, 30)),
  w2 = w + 1,
  y = dnorm(x, mean = rep(c(20, 60), each = 50), sd = 3) + (seq(0, 1, length = 100)^2) / 2 + rnorm(100, sd = 0.01)
)

models <- tibble(
  model = 1:9,
  formula = c('y ~ s(x)', 'y ~ s(w)', 'y ~ s(x) + s(w)', 'y ~ s(x, w)', 'y ~ s(x, by = w)', 'y ~ s(w, by = x)', 'y ~ x + s(w)', 'y ~ w + s(x)', 'y ~ s(x, by = w2)'),
  gam = map(formula, function(x) gam(as.formula(x), data = data.ex)),
  data.to.plot = map(gam, function(x) cbind(data.ex, predicted = predict(x)))
)

plot.models <- unnest(models, data.to.plot) %>%
  mutate(facet = sprintf('%i: %s', model, formula)) %>%
  ggplot(data = ., aes(x = x, y = y)) +
  geom_point() +
  geom_line(aes(y = predicted), color = 'red') +
  facet_wrap(facets = ~facet)
print(plot.models)

Q1模型3和模型4有什么区别？

模型3是纯加性模型

因此我们有一个常数加上的平滑效果以及的平滑效果。$\alpha$$x$$w$

模型4是两个连续变量的平滑交互

从实际意义上讲，模型3表示无论的影响如何，对响应的影响都是相同的。如果我们将固定为某个已知值并在一定范围内变化，则对拟合模型的贡献将保持不变。如果希望通过对模型3进行-ing来获得的固定值和几个不同的值，并使用方法的参数来进行验证。您会看到不断为的拟合/预测值做出贡献。$w$$x$$x$$w$$f_1(x)$predict()xwtype = 'terms'predict()s(x)

模型4并非如此。该模型表示的平滑效果随的值平滑变化，反之亦然。$x$$w$

请注意，除非和的单位相同，或者我们期望两个变量都具有相同的摆动性，否则您应该使用它来拟合交互作用。$x$$w$te()

m4a <- gam(y ~ te(x, w), data = data.ex, method = 'REML')

pdata <- mutate(data.ex, Fittedm4a = predict(m4a))
ggplot(pdata, aes(x = x, y = y)) +
  geom_point() +
  geom_line(aes(y = Fittedm4a), col = 'red')

从某种意义上说，模型4是合适的

其中是和的“主要”平滑效果的纯平滑交互，并且出于可识别性的考虑，从的基础上。您可以通过以下方式获得此模型$f_3$$x$$w$$f_3$

m4b <- gam(y ~ ti(x) + ti(w) + ti(x, w), data = data.ex, method = 'REML')

但请注意，此估算值包含4个平滑度参数：

1. 与的主要平滑效果相关的一个$x$
2. 与的主要平滑效果相关的一个$w$
3. 与交互张量积平滑中的边缘平滑相关的一个$x$
4. 与交互张量积平滑中的边缘平滑相关的一个$w$

该te()模型仅包含两个平滑度参数，每个边缘参数一个。

所有这些模型的一个基本问题是的影响并非严格平滑。的影响降至0（或1 in ）时存在不连续性。这会显示在您的绘图中（我将在此处详细显示）。$w$$w$w2

Q2，“ by”到底在做什么？

by变量平滑可以根据传递给by参数的内容来做很多不同的事情。在您的示例中，by变量是连续的。在那种情况下，您将得到一个变化的系数模型。这是一个模型，其中的线性效应随平滑变化。用等式来讲，这就是您说的模型5正在做的事情$w$$w$$x$

如果对于某些给定的值，这还不是很清楚（当我第一次查看这些模型时，这不是我的意思），我们将以此值评估平滑函数，然后将其等效为；换句话说，它是在给定值下的线性效应，并且这些线性效应随平滑变化。具体示例请参见《西蒙书》第二版第7.5.3节，其中协变量的线性效应会改变空间的平滑函数（纬度和经度）。$x$$\beta_1 w$$w$$x$$x$

Q3为什么模型5和9之间会有如此显着的差异？

我认为模型5和9之间的差异仅仅是由于乘以0或乘以1。对于前者，模型唯一项的影响为0，因为。在模型9中，在的高斯没有贡献的那些区域中，您有。由于是〜指数函数，因此您可以将此叠加在的整体效果上。$f_1(x)w$$f_1(x) \times 0 = 0$$f_1(x) \times 1 = f_1(x)$$w$$f_1(x)$$w$

换句话说，模型5在为0 处都包含零趋势，而模型9在为0（1）处都包含〜指数趋势，在其上叠加了的变化系数效应。$w$$w$$w$