两个对称rv之间的差异是否也具有对称分布？

如果我有两个不同的对称（相对于中位数）分布和，差也是对称的（相对于中位数）分布吗？ $X$ $Y$ $X-Y$

distributions median

— Alessio93
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的分布不是“两个分布之间的差异”，它是对称分布的随机变量之间的差异的分布；在差值的分布将是 ; 这不是分配；同样，pdf的区别也就不是pdf ...请修改您的标题说明

X - Y

$X-Y$

F_{X} (t) - F_{Y} (t)

$F_X(t)-F_Y(t)$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b：我这样编辑了OP的标题，但将来请继续自己编辑。口语上，我认为每个人都理解OP的含义。

— smci

@smci实际上，我选择让OP而不是自己做是有原因的（如果您查看我的个人资料，将会看到我编辑了3100多个帖子-我了解有关编辑的一般规则）。不过，感谢您的帮助。我还认为，表达一些含义会更加谨慎，可以解决现场的大部分新手问题。我认为标题中的清晰度尤为重要。

— Glen_b-恢复莫妮卡（Monica）

Answers:

令和是关于中位数和对称的PDF 。只要和是独立的，差的概率分布就是和的卷积，即 $X \sim f(x)$ $Y \sim g(y)$ $a$ $b$ $X$ $Y$ $Z = X - Y$ $X$ $-Y$

p (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + y) g (- y) d y,

$p(z) = \int_{-\infty}^\infty f(z + y) g(-y) dy,$

其中只是上的PDF ，中位数为 $h(y) = g(-y)$ $-Y$ $-b.$

凭直觉，我们期望结果关于是对称所以让我们尝试一下。 $a - b$

\begin{aligned} p (a - b - z) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - b - z + y) g (- y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - (z + v)) g (v - b) d v \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + v) g (- v) d v \\ = p (z) . \end{aligned}

$\begin{split} p(a - b - z) &= \int_{-\infty}^\infty f(a - b - z + y) g(-y) dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(a - (z + v)) g(v-b) dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(z + v) g(-v) dv \\ &= p(z). \end{split}$

在第二行中，我在积分中使用了替换。在第三行中，我同时使用了关于的和关于的的对称性这证明如果关于对称并且关于对称，则关于对称 $v = b - y$ $f(x)$ $a$ $g(-y)$ $-b.$ $p(z)$ $a - b$ $f(x)$ $a$ $g(y)$ $b.$

如果和不是独立的，并且和只是边际分布，那么我们将需要知道联合分布然后，在积分中，我们将不得不用替换但是，仅由于边际分布是对称的，并不意味着联合分布关于其每个参数都是对称的。因此，您无法应用类似的推理。 $X$ $Y$ $f$ $g$ $X,Y \sim h(x,y).$ $f(z + y) g(-y)$ $h(z + y, -y).$

— 布里吉本
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这将取决于和之间的关系，这是一个反示例，其中和是对称的，而不是： $x$ $y$ $x$ $y$ $x-y$

x = [- 4, - 2, 0, 2, 4]

$x=[-4, -2, 0, 2, 4]$

y = [- 1, - 3, 0, 1, 3]

$y=[-1, -3, 0, 1, 3]$

x - y = [- 3, 1, 0, 1, 1]

$x-y = [-3, 1, 0, 1, 1]$

因此，此处的中位数与中位数之差并不相同，并且不对称。 $x-y$ $x-y$

编辑

@whuber的符号可能更清楚：

考虑和相关的离散均匀分布，这样您就只能选择以下对之一： $x$ $y$

(x, y) = (- 4, - 1); (- 2, - 3); (0, 0); (2, 1); (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1); (-2,-3); (0,0); (2,1); (4,3)$

如果您坚持要考虑一个完整的联合分布，那么请考虑以下情况：可以采用任何值，可以采用值，并且组合可以采用25对中的任何对。但是上述给定对的概率分别为16％，所有其他可能的对的概率均为1％。的边际分布将是离散均匀的，每个值的概率为20％，因此对称于0的中值，对于也是如此。从联合分布中抽取大量样本，然后只看或 $x$ $(-4, -2, 0, 2, 4)$ $y$ $(-3, -1, 0, 1, 3)$ $x$ $y$ $x$ $y$ 并且您会看到均匀的边际分布（对称），但是取的差，结果将不是对称的。 $x-y$

— 格雷格·雪诺
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我完全不理解这个例子。如果可以等于4，可以等于1，那么应该可以是3，但是您没有列出这种可能性。也许我误解了你的榜样；这三个向量是什么？

X

$X$

Y

$Y$

X - Y

$X-Y$

— amoeba

x

$x$ 和在他的示例中不是独立的。将，和看作是索引到每个向量的某个随机变量函数。然后，如果，，和

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x - y

$x-y$

i

$i$

i = 0

$i=0$

x = - 4

$x=-4$

y = - 1

$y=-1$

x - y = - 3

$x-y=-3$

— 摩尔

如果您考虑和不独立，那么您实际上将视为双变量随机变量。因此，您证明的是对称边际并不意味着联合分布是对称的。这是一个很好的观察，但是此答案中的表示法令人困惑。用。

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

(x, y) = (- 4, - 1), (- 2, - 3), (0, 0), (2, 1), (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1),(-2,-3),(0,0),(2,1),(4,3)$

— ub

@amoeba，这取决于和之间的关系，如果它们是独立的或弱相关的，则可能会出现您所说的情况，但是我的示例是两个变量之间的强相关性。如果X是以英寸为单位的高度，y是以厘米为单位的高度，则是可能的值，而是可能的值，但对于同一对象不是同一时间。

X

$X$

Y

$Y$

X = 10

$X=10$

Y = 1

$Y=1$

— 格雷格·斯诺

评论和编辑已经澄清了您的意思。谢谢。

— amoeba

通常，您需要假设X和Y之间具有独立性。由于的分布是对称函数的卷积，该对称函数也是对称的，因此可以直接得出结果。 $X-Y$

— 高沼地
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