如何编写Bertrand盒悖论的蒙特卡罗模拟？

在Mensa International Facebook页面上发布了以下问题：

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

该帖子本身收到了1000多个评论，但由于我知道这是Bertrand的“盒子悖论”，而答案是，因此我不会在此处详细讨论辩论。让我感兴趣的是，如何使用蒙特卡洛方法回答这一问题？该算法如何解决这个问题？$\frac23$

这是我的尝试：

1. 生成到之间的均匀分布的随机数。0 $N$$0$$1$
2. 让事件框包含选择的2个金球（方框1）小于一半。
3. 计数数字，小于，并调用结果作为。$0.5$$S$
4. 由于确定如果选择了框1，就肯定会得到金球，如果选择了框2，则只有50％的机会会得到金球，因此，得到序列GG的概率为 $$P(B2=G|B1=G)=\frac{S}{S+0.5(N-S)}$$

在R中实现上述算法：

N <- 10000
S <- sum(runif(N)<0.5)
S/(S+0.5*(N-S))

上面程序的输出大约是，几乎与正确答案匹配，但是我不确定这是正确的方法。是否有适当的方法以编程方式解决此问题？$0.67$

像@Henry一样，我真的不觉得您的解决方案是蒙特卡洛。当然，您可以从分发中进行抽样，但与模拟数据生成过程没有多大关系。如果要使用蒙特卡洛说服某人理论上的解决方案是正确的，则需要使用模仿数据生成过程的解决方案。我可以想象它像下面这样：

boxes <- list(
  c(0, 0),
  c(0, 1),
  c(1, 1)
)

count_successes = 0
count_valid_samples = 0

for (i in 1:5000) {
  sampled_box <- unlist(sample(boxes, 1)) # sample box
  sampled_balls <- sample(sampled_box)    # shuffle balls in the box

  if (sampled_balls[1] == 1) {            # if first ball is golden
    if (sampled_balls[2] == 1) {          # if second ball is golden
      count_successes = count_successes + 1
    }
    count_valid_samples = count_valid_samples + 1
  }
}
count_successes / count_valid_samples

或使用“矢量化”代码：

mean(replicate(5000, {       # repeat 5000 times, next calculate empirical probability
  x <- boxes[[sample(3, 1)]] # pick a box
  if (x[sample(2, 1)] == 1)  # pick a ball, check if it is golden
    return(sum(x) == 2)      # check if you have two golden balls in the box
  else
    return(NA)               # ignore if sampled ball is silver
  }), na.rm = TRUE)          # not count if silver

注意，由于您已经确定了第一个球已经绘制并且是金色的事实，因此上面的代码可以简单地使用两个框boxes <- list(c(0, 1), c(1, 1))，然后从它们中进行采样x <- boxes[[sample(2, 1)]]，因此该代码会更快，因为它不会使1/3空运行，我们打折。但是，由于问题很简单并且代码运行很快，因此我们可以“明确”地模拟整个数据生成过程，以确保结果正确。除此之外，不需要此步骤，因为在两种情况下都会产生相同的结果。

我觉得您的S/(S+0.5*(N-S))计算不是真的模拟

试试这个

N <- 10^6
ballsinboxes <- c("G","G", "G","S", "S","S")
selectedbox <- sample(c(1,2,3), N, replace=TRUE)
selectedball <- sample(c(1,2), N, replace=TRUE)
selectedcolour <- ballsinboxes[(selectedbox-1)*2 + selectedball ]
othercolour <- ballsinboxes[(selectedbox-1)*2 + 3 - selectedball ]
sum(selectedcolour == "G" & othercolour == "G") / sum(selectedcolour == "G")

为什么不简单列出案件呢？

在这里：G代表“黄金”，S代表“银”，大写字母代表初始提取：

g

G

s

...其他所有情况都需要初始银（S）提取，但不满足条件提取（初始提取G）。

这样，P（g | G）= 2/3。