为什么T统计量需要数据遵循正态分布

我当时在看这个笔记本，但对此陈述感到困惑：

当我们谈论正态性时，我们的意思是数据应该看起来像正态分布。这很重要，因为几个统计检验都依赖于此（例如t统计）。

我不明白为什么T统计量需要数据遵循正态分布。

确实，维基百科说了同样的话：

学生的t分布（或简称为t分布）是连续概率分布族的任何成员，该族在估计正态分布总体的均值时出现

但是，我不明白为什么这个假设是必要的。

它的公式没有向我表明数据必须服从正态分布：

我看了一下它的定义，但我不明白为什么需要这种条件。

您需要的信息在Wiki页面的“特征化”部分中。甲与自由度-配送可以被定义为随机变量的分布使得 其中是一个标准正态分布随机变量，是一个与自由度随机变量。此外，和必须独立。因此，给定 遵循上述定义的和，您就可以得出具有ν Ť Ť = $t$$\nu$$T$ž V χ 2 ν ž V ž V

$$T = \dfrac{Z}{\sqrt{V/\nu}} \,,$$ $Z$$V$$\chi^2$$\nu$$Z$$V$$Z$$V$$t$。

现在，假设根据分布分布。令具有均值和方差。令为样本均值，为样本方差。然后，我们将看一下公式： ˚F ˚F μ σ 2 ˉ X小号$X_1, X_2, \dots, X_n$$F$$F$$\mu$$\sigma^2$$\bar{X}$$S^2$

$$\dfrac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} = \dfrac{\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{(n-1)\sigma^2}}} \,.$$

如果表示正态分布，则，因此。此外，根据Cochran定理，。最后，通过应用巴苏定理，和是独立的。然后，这意味着，所得到的统计量具有与-配送自由度。ˉ X〜Ñ （μ ，σ 2 / Ñ ）ˉ X - $F$$\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$（ñ-1）s ^$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$ ˉ X小号2吨Ñ-$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$$\bar{X}$$S^2$$t$$n-1$

如果原始数据分布不是正态的，则分子和分母的精确分布将分别不是标准正态和，因此所得统计量将不具有。χ 2$F$$\chi^2$$t$

我认为统计量及其公式与分布及其公式之间可能会有些混淆。您可以将t统计量公式应用于任何数据集并获得“ t统计量”，但是除非根据数据来自正态分布（或者至少不会来自正态分布），否则该统计量不会根据Student-t分布进行分布可以肯定；我的猜测是，当应用t统计公式时，非正态分布不会产生Student-t分布，但我不确定。原因很简单，因为t统计量的分布是根据生成t统计量的数据的分布计算得出的，因此，如果您具有不同的基础分布，则不能保证导出统计量具有相同的分布。