如果我生成一个随机对称矩阵，它是正定的机会是什么？

当我尝试一些凸优化时，我遇到一个奇怪的问题。问题是：

假设我随机（假设标准正态分布）生成一个 $N \times N$ 对称矩阵（例如，我生成上三角矩阵，并填充下半部分以确保它是对称的），那么它是正定矩阵的机会是多少？反正有计算概率吗？

— 海涛都
source

尝试模拟...

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen谢谢，但是我想知道所有特征值大于0的机会是多少，或者我们甚至可以分析地做到这一点。

— Haitao Du

答案取决于您如何生成矩阵。例如，一种方法根据某种分布生成

实特征值，然后通过随机正交矩阵对角矩阵进行共轭。当且仅当所有这些特征值均为正时，结果才为正定。如果要根据约零的对称分布独立生成特征值，则该机会显然最多为

。要生成PD矩阵，请正确选择特征值！（为了快速工作，我创建了诸如多元正态数据的协方差之类的矩阵。）

n

$n$

2^{- n}

$2^{-n}$

— whuber

不是一个问题的答案问，但请注意，如果第一模拟矩阵

每个条目IID正常和相同的尺寸

，然后

是对称正定的概率1

L

$L$

N

$N$

N = L L^{T}

$N = LL^T$

— 克里夫AB

如果矩阵被从标准正常IID条目绘制的是正定的概率为大约 $p_N\approx 3^{-N^2/4}$ ，所以，例如，如果 $N=5$ ，几率为1/1000，并且相当下降之后很快。您可以在此处找到对该问题的扩展讨论。

您可以通过接受矩阵的特征值分布近似为Wigner半圆来大致理解该答案，该半圆形约零对称。如果特征值都是独立的，你有一个 $(1/2)^N$ 正定性的这一逻辑的机会。实际上，您会得到 $N^2$ 行为，这都是由于特征值与控制特征值大偏差（尤其是最小偏差和最大偏差）的定律之间的相关性。具体来说，随机特征值非常类似于带电粒子，并且不喜欢彼此靠近，因此它们相互排斥（与带电粒子具有相同的势场，足够奇怪， $\propto 1/r$ $r$

$p_N$

— 亚历克斯·R。
source

It is nice to know it is very low. So I will not use rejection sampling to create SPD matrix in the future.

— Haitao Du

@hxd1011: if you are trying to sample SPD matrices, I suggest the method I desribed in the comments above. In addition, it may be helpful to read up on Cholesky decompositions

— Cliff AB

@CliffAB thanks. I usually generate SPD matrix form covariance matrix of some data or from

A^{'} A

$A'A$ similar to what you suggested. I had the time of trying to manually put some numbers to a small matrix say

2 \times 2

$2 \times 2$ and hope it is a PD matrix.

— 海涛杜