概率论是否是对整合/求和的非负函数的研究？

这可能是一个愚蠢的问题，但是概率论是对整合/求和的功能的研究吗？

编辑。我忘了非负性。那么，概率论是否是对整合/求和的非负函数的研究？

在纯粹的形式层面上，可以将概率论称为总度量为1的度量空间的研究，但这就像将数论称为终止的数字字符串的研究一样。

-摘自陶涛的“ 随机矩阵理论中的话题”。

我认为这是真正的基础。如果我们有一个概率空间$(\Omega, \mathscr F, P)$和一个随机变量$X : \Omega \to \mathbb R$与前推量度$P_X := P \circ X^{-1}$，则该原因的密度集成到一个是因为P（Ω）=1。这比pdf vs pmfs更根本。$f = \frac{\text d P_X}{\text d\mu}$$P(\Omega) = 1$

这里的证明：

$$\int_{\mathbb R} f \,\text d\mu = \int_{\mathbb R} \,\text dP_X = P_X(\mathbb R) = P\left(\{\omega \in \Omega : X(\omega) \in \mathbb R\}\right) = P(\Omega) = 1.$$

这几乎是对AdamO答案（+1）的改写，因为所有CDF都是càdlàg，并且上的CDF 集合与（R，B）上所有概率度量的集合之间存在一对一的关系，但是因为RV的CDF是根据其分布来定义的，我将概率空间视为从这种努力“开始”的地方。$\mathbb R$$(\mathbb R, \mathbb B)$

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我正在更新以详细说明CDF和概率测度之间的对应关系，以及两者对于这个问题的合理答案。

我们首先从两种概率测度开始，然后分析相应的CDF。最后，我们从CDF开始，并研究由CDF引发的措施。

让和- [R是对概率测度（[R ，乙）和让˚F Q和˚F - [R是各自的CDF（即˚F Q（一）= Q （（- ∞ ，一] ）同样地，对于[R 。）Q和- [R两者都代表随机变量（即分布）的前推量度，但实际上它们来自何处并不重要。$Q$$R$$(\mathbb R, \mathbb B)$$F_Q$$F_R$$F_Q(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$$R$$Q$$R$

关键思想是：如果和R在足够丰富的集合集合上达成一致，那么他们就在这些集合所生成的σ-代数上达成一致。直观地讲，如果我们有一个行为规范的集合，它们通过无数的全部B的补码，交点和并集构成所有B，则在所有这些集合上达成一致不会对任何Borel集合产生分歧。$Q$$R$$\sigma$$\mathbb B$

让我们正式化。让和让大号 = { 甲⊆ - [R ：Q （甲）= - [R （甲）}，即，大号是子集P（[R ）上，其Q和- [R注意（因为已定义的L不一定是L的子集，所以我们允许它们在非Borel集上达成一致）$\mathscr S = \{(-\infty, a] : a \in \mathbb R\}$$\mathcal L = \{A \subseteq \mathbb R : Q(A) = R(A)\}$$\mathcal L$$\mathcal P(\mathbb R)$$Q$$R$$\mathcal L$。我们的目标是要表明，乙 ⊆ 大号。$\mathbb B$$\mathbb B \subseteq \mathcal L$

事实证明，（由S产生的σ-代数）实际上是B，因此我们希望S是足够大的事件集合，如果Q = R到S上的任何地方，则它们被迫等于在所有B上。$\sigma(\mathscr S)$$\sigma$$\mathscr S$$\mathbb B$$\mathscr S$$Q = R$$\mathscr S$$\mathbb B$

请注意，在有限的交点处是封闭的，而L在补数和可数的不相交交点下是封闭的（这源自σ-可加性）。这意味着S是π系统，L是λ系统。由π - λ定理我们因此具有σ （小号）= 乙 ⊆ 大号。S的元素$\mathscr S$$\mathcal L$$\sigma$$\mathscr S$$\pi$$\mathcal L$$\lambda$$\pi$$\lambda$$\sigma(S) = \mathbb B \subseteq \mathcal L$$\mathscr S$几乎没有任意Borel集那么复杂，而是因为任何Borel集都可以由元素的无数个补码，并集和交集形成，如果Q和R在元素的元素上没有单一分歧小号那么这将通过于存在任何分歧不遵循乙∈ 乙。$\mathscr S$$Q$$R$$\mathscr S$$B \in \mathbb B$

我们已经展示了如果然后Q = - [R （上乙），这意味着在地图Q ↦ ˚F Q从P：= { P ：P  是一个概率测度  （[R ，乙）}至˚F：= { F ：R → R：F  是CDF }是注射。$F_Q = F_R$$Q = R$$\mathbb B$$Q \mapsto F_Q$$\mathscr P := \{P : P \text { is a probability measure on } (\mathbb R, \mathbb B)\}$$\mathcal F := \{F : \mathbb R \to \mathbb R : F \text { is a CDF}\}$

现在，如果我们要考虑朝另一个方向发展，我们想从CDF 开始，并证明存在一个唯一的概率测度Q，使得F （a ）= Q （（- ∞ ，a ] ）。我们的映射Q ↦ ˚F Q实际上是一个双射。对于这个方向，我们定义˚F没有任何参考的概率或措施。$F$$Q$$F(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$$Q \mapsto F_Q$$F$

我们首先定义Stieltjes测度函数作为函数，使得$G : \mathbb R \to \mathbb R$

1. 不减$G$
2. 是右连续的$G$

（请注意，càdlàg是如何从该定义中得出的，但是由于额外的非递减约束，“大多数”càdlàg函数不是Stieltjes度量函数）。

可以示出，每个Stieltjes起作用诱导独特度量μ上（[R ，乙）由下式定义 μ （（一个，b ] ） = g ^ （b ）- G ^ （一） （参见例如达雷特的概率和随机过程的详细信息例如，Lebesgue测度是由G （x ）= x引起的。$G$$\mu$$(\mathbb R, \mathbb B)$

$$\mu\left((a, b]\right) = G(b) - G(a)$$ $G(x) = x$

$F$LIM X → ∞ ˚F （X ）：= ˚F （∞ ）= 1 ˚F Q （- [R ，乙）Q （（一个，b ] ） = ˚F （b ）- ˚F （一）$\lim_{x\to-\infty} F(x) := F(-\infty) = 0$$\lim_{x\to\infty} F(x) := F(\infty) = 1$$F$$Q$$(\mathbb R, \mathbb B)$

$$Q\left((a, b]\right) = F(b) - F(a).$$

注意和所以是一种概率度量，并且如果我们要朝另一个方向移动，则恰好是我们用来定义度量。Q （（- ∞ ，- ∞ ] ） = ˚F （∞ ）- ˚F （- ∞ ）= 1 Q $Q\left((-\infty, a]\right) = F(a) - F(-\infty) = F(a)$$Q\left((-\infty, -\infty]\right) = F(\infty) - F(-\infty) = 1$$Q$$F$

，我们现在已经看到映射是1-1到上，因此我们确实在和之间确实存在双射。回到实际问题，这表明我们可以等效地举起CDF或概率测度作为我们的对象，我们宣布概率是要研究的对象（同时也认识到这是一项颇具挑战性的工作）。我个人仍然更喜欢概率空间，因为我觉得理论更自然地朝那个方向流动，但CDF并不是“错误的”。P $Q \mapsto F_Q$$\mathscr P$$\mathcal F$

没有; 在康托尔分布就是这样一个反例。这是一个随机变量，但没有密度。但是，它具有分发功能。因此，我想说，概率论是对càdlàg函数（包括Cantor DF）的研究，其左极限为0，右极限为1。

我相信您会得到很好的答案，但是在这里您会有所不同。

您可能听说过数学家在说物理学几乎是数学，或者只是将数学应用于自然的最基本定律。一些数学家（很多？）实际上确实相信这种情况。我在大学里一遍又一遍地听说过。在这方面，您问的是一个类似的问题，尽管没有像这个问题那么广泛。

物理学家通常甚至不理会这个说法：对他们来说，很明显这是不正确的。然而，如果您想做出令人信服的回答，那么如果您尝试做出回应，就会发现答案并不是那么简单。

我的回答是，物理学不仅是一堆模型，方程式和理论。这是一个具有自己的方法，工具，启发式方法和思维方式的领域。这就是为什么庞加莱（Poincare）在爱因斯坦之前就发展了相对论的原因之一，但他没有意识到所有的含义，也没有设法让所有人参与其中。爱因斯坦之所以这样做，是因为他是物理学家，并且他立即理解了它的含义。我不喜欢这个人，但是他在布朗运动方面的工作是物理学家如何建立数学模型的另一个例子。那篇论文是惊人的，充满了直觉和无可辩驳的物理思维思路。

因此，我对您的回答是，即使是概率与您描述的功能有关的情况，也仍然不会研究这些功能。它也不是适用于某些度量子类的度量理论。概率论是研究概率论的独特领域，它通过放射性衰变，量子力学和气体等与自然世界联系在一起。如果发生这种情况，使得某些函数似乎适合于对概率进行建模，那么我们将使用它们并研究它们属性，但在这样做时，我们将关注主要奖项-概率。

好吧，部分正确，它没有第二个条件。负概率没有意义。因此，这些功能必须满足两个条件：

• 连续分布：

  $$\int_{\mathcal{D}}f(x) dx = 1 \quad \text{and} \quad f(x)>0 \; \forall x \in \mathcal{D}$$

• 离散分布：

  $$\sum_{x \in \mathcal{D}}P(x) = 1 \quad \text{and} \quad 0<P(x) \leq 1 \; \forall x \in \mathcal{D}$$

其中是定义概率分布的域。$\mathcal{D}$

我会说不，那不是概率论的根本，但我会说它的原因与其他答案不同。

从根本上讲，概率论是对两件事的研究：

1. 随机过程，以及

2. 贝叶斯推断。

随机过程包括掷骰子，从骨灰盒中抽出球等，以及物理和数学中更复杂的模型。贝叶斯推理是在不确定性下进行推理，使用概率表示未知数量的值。

这两件事比起初看起来更紧密。我们可以在同一伞下进行研究的原因之一是，它们两者的重要方面都可以表示为相加/积分为一个的非负函数。但是，概率不仅仅是对这些功能的研究，它们对随机过程和推理的解释也是其中重要的一部分。

例如，概率论包括诸如条件概率和随机变量之类的概念，以及诸如熵，互信息以及随机变量的期望和方差之类的量。尽管可以纯粹根据归一化的非负函数来定义这些事物，但是如果没有根据随机过程和推论进行解释，这样做的动机似乎很奇怪。

而且，有时会碰到概率论中的概念，尤其是在推理方面，这些概念无法用归一化的非负函数表示。在这里想到了所谓的“不当先验”，AdamO给出了Cantor分布的另一个例子。

当然，概率论的某些领域主要关注归一化非负函数的数学性质，而我提到的这两个应用领域并不重要。在这种情况下，我们通常称其为度量理论，而不是概率论。但是，概率论实际上也是（实际上，我会说很多）一个应用领域，而概率分布的应用本身本身就是该领域的一个重要部分。