检查具有统计意义的峰值

我有一组数据$y$和。我想检验以下假设：有一个峰值。也就是说，随着增加，首先增加，然后减少。$x$$y$$x$$y$

我的第一个想法是将和在SLR中。也就是说，如果我发现之前的系数显着为正，而之前的系数显着为负，那么我支持该假设。但是，这仅检查一种关系（二次关系），并不一定捕获峰值的存在。$x$$x^2$$x$$x^2$

然后我想到了找到，即一个区域（排序值），在和之间，另外两个区域至少包含与一样多的点，并且 \ bar {y_b}> \ bar {y_a}和\ bar {y_b}> \ bar {y_c}。如果假设是正确的，那么我们应该期望有很多这样的区域b。因此，如果b的数量足够大，则应该支持该假设。$b$$x$$b$$a$$c$$x$$b$$\bar{y_b}>\bar{y_a}$$\bar{y_b}>\bar{y_c}$$b$$b$

您是否认为我在为我的假设找到合适的检验的正确道路上？还是我发明了轮子，并且有解决此问题的方法？非常感谢您的投入。

更新。我的因变量是count（非负整数）。$y$

我也在考虑平滑的想法。但是，有一个称为响应面方法的整个领域都在嘈杂的数据中搜索峰值（它的确主要涉及对数据进行局部二次拟合），而且我记得有一篇著名的论文，标题中带有“凸点搜索”。以下是一些有关响应面方法的书籍的链接。雷·迈尔（Ray Myer）的书写得特别好。我会尝试找到凹凸的猎纸。

响应面方法：使用设计的实验进行过程和产品优化

响应面方法和相关主题

响应面方法

经验模型建立和响应面

虽然不是我要找的文章，这里是杰里·弗里德曼和尼克·费舍尔非常相关的文章，随着这些想法的交易适用于高维数据。

这是一篇带有一些在线评论的文章。

因此，我希望您至少感谢我的回应。我认为您的想法不错，而且步伐正确，但是，确实，您可能正在重新发明轮子，希望您和其他人会参考这些出色的参考资料。

即使您尚未回答我的问题，但如果我的猜测正确，您仍在寻找白噪声测试，该白噪声在频域内足以表明频谱是平坦的。因此，可以使用费舍尔的周期图检验（在本参考文献中称为费舍尔kappa）。请参阅链接。

http://www4.stat.ncsu.edu/~dickey/Spain/pdf_Notes/Spectral2.pdf

参考中还提到了Bartlett的测试。现在，拒绝零假设就等于在周期图中找到了一个明显的峰值。这将意味着时间序列中存在一个周期性成分。

因为测试在频域中并且涉及周期图纵坐标，所以纵坐标在原假设下具有卡方2分布并且是独立的。这种特殊的分布仅由于转换到频域而产生。如果x是时间，则在时域中将不起作用，或者通常y的分布将不是独立的卡方。

但是，使模型y =常数与x无关。使用y m，ys的平均值作为常数的估计值。然后，测试是否存在峰值将等于拒绝残差形成白噪声序列。$_m$