贝叶斯充分性与频繁性充分性有何关系？

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在Wikipedia中，给出了从频繁主义者角度来看足够统计量的最简单定义。但是，我最近遇到了一本贝叶斯书，定义为。链接中指出两者是等效的，但我不知道如何。同样，在同一页面的“其他类型的充足性”部分中，声明了两个定义在无限维空间中是不相等的... $P(\theta|x,t)=P(\theta|t)$

另外，预测性充足性与经典充分性有何关系？

bayesian mathematical-statistics sufficient-statistics

— 一个老人在海中。
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如果统计数据足够频繁，则，因此 $T$ $p(\mathbf{x} \mid \theta, t) = p(\mathbf{x} \mid t)$

\begin{aligned} p (θ ∣ x, t) & = \frac{p (x ∣ t, θ) p (t ∣ θ) p (θ)}{p (x ∣ t) p (t)} \\ (freq. suff.) & = \frac{p (t ∣ θ) p (θ)}{p (t)} \\ = p (θ ∣ t) . \end{aligned}

$\begin{align*} p(\theta \mid \mathbf{x}, t) &= \frac{p(\mathbf{x}\mid t,\theta)p(t \mid \theta) p(\theta)}{p(\mathbf{x}\mid t)p(t)} \\ &= \frac{p(t \mid \theta) p(\theta)}{p(t)} \tag{freq. suff.}\\ &= p(\theta \mid t). \end{align*}$

另一方面，如果在贝叶斯方法中足够大，则 $T$

\begin{aligned} p (x ∣ θ, t) & = \frac{p (x, θ, t)}{p (θ, t)} \\ = \frac{p (θ ∣ x, t) p (x, t)}{p (θ ∣ t) p (t)} \\ (Bayesian suff.) & = \frac{p (x, t)}{p (t)} \\ = p (x ∣ t) . \end{aligned}

$\begin{align*} p(\mathbf{x} \mid \theta, t) &= \frac{p(\mathbf{x}, \theta,t)}{p(\theta,t)}\\ &= \frac{p(\theta \mid \mathbf{x},t) p(\mathbf{x},t)}{p(\theta\mid t)p(t)}\\ &= \frac{p(\mathbf{x},t)}{p(t)} \tag{Bayesian suff.}\\ &= p(\mathbf{x} \mid t). \end{align*}$

关于“可预测的充足性”，那是什么？

编辑：如果您具有贝叶斯充分性，那么您就具有预测性充分性：

\begin{aligned} p (x^{'} ∣ x) & = \int p (x^{'} ∣ θ) p (θ ∣ x) d θ \\ (Bayesian suff.) & = \int p (x^{'} ∣ θ) p (θ ∣ t) d θ \\ = p (x^{'} ∣ t) . \end{aligned}

$\begin{align*} p(\mathbf{x}' \mid \mathbf{x}) &= \int p(\mathbf{x}' \mid \theta)p(\theta \mid \mathbf{x}) d\theta\\ &= \int p(\mathbf{x}' \mid \theta) p(\theta \mid t)d\theta \tag{Bayesian suff.}\\ &= p(\mathbf{x}' \mid t). \end{align*}$

— 泰勒
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泰勒（Taylor），在贝叶斯充足性（Bayesian Sufficiency）部分下面的同一链接中定义。

— 一位老人在海里。

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几年前，当我们用ABC研究贝叶斯模型选择时，我们遇到了一个有趣的现象。我认为与这个问题有关。对于贝叶斯模型选择确实存在一个足够的概念，在贝叶斯方法之外似乎没有什么特别的意义。

给定两个模型和和样品从这两种模式中的一个，一个统计足以用于模型选择或跨越模型IFF的分布有条件的不依赖于任何的模型索引（1或2）或模型中的参数值。

M_{1} = {f_{θ} (\cdot); θ \in Θ}

$\mathfrak{M}_1=\{f_\theta(\cdot); \theta\in\Theta\}$

M_{2} = {g_{ξ} (\cdot); ξ \in Ξ}

$\mathfrak{M}_2=\{g_\xi(\cdot); \xi\in\Xi\}$

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

$\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$

S

$S$

X

$\mathbf{X}$

S (X)

$S(\mathbf{X})$

当存在足够的统计信息时，基于的贝叶斯因子与基于的贝叶斯因子相同。虽然这本身不是贝叶斯定义，但我认为在贝叶斯模型选择之外没有直接应用。 $\mathbf{X}$ $S(\mathbf{X})$

— 西安
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