Wishart矩阵的对数行列式的期望值

让$\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$，即分布式根据$D \times D$，平均维威沙特分布$\nu \Psi$和自由度$\nu$。我想要一个的表达式，$E(\log |\Lambda|)$其中$|\Lambda|$是决定因素。

我已经用谷歌寻求答案，并得到了一些相互矛盾的信息。本文明确指出

$$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$$ 其中$\psi(\cdot)$表示数字函数; 据我所知，本文没有提供这一事实的消息来源。这也是Wishart在Wikipedia页面上使用的公式，其中包含Bishop的模式识别文本。$\frac d {dx} \log \Gamma(x)$

在另一方面，谷歌打开了这个讨论与链接文件，指出 他们推断指出， Ë （日志| Λ |）= d 日志2 - d 日志ν + 日志| Ψ | + d Σ我= 1个 ψ （ν - 我+

$$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$$ 它是使用事实得出，È（登录χ 2 ν）=日志（2）+ψ（ν/2）。我检查这个计算从开始（†），它似乎不错，但我们有一个额外的-d日志ν。 $$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$$ $E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$$(\dagger)$$-D\log\nu$

当我准备发布此帖子时，我能够回答自己的问题。按照一般的StackExchange礼节，我决定无论如何都要发布它，以希望遇到此问题的其他人将来可能会发现此问题，可能是在遇到与我所做的资料相同的问题之后。我已决定立即回答，因为解决方案没有意思，所以没有人会浪费时间。

$(\dagger)$

$$\frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger\dagger)$$

$(\dagger\dagger)$

编辑：

$\Lambda \stackrel d = \Psi^{1/2} L L^T \Psi^{1/2}$ 下三角 $L$ 已 $N(0, 1)$ 对角线元素和 $\sqrt{\chi^2_{\nu - i + 1}}, (i = 1, ..., D)$对角线上的元素。以双方的确定者给出$(\dagger\dagger)$ 立即。