所述Halmos-野蛮定理说，对一个主导统计模型$(\Omega, \mathscr A, \mathscr P)$的统计$T: (\Omega, \mathscr A, \mathscr P)\to(\Omega', \mathscr A')$是足够的，如果（且仅当）的所有$\{P \in \mathscr{P} \}$有一个$T$氡Nikodym导衍生物的-measurable版本$\frac{dP}{dP*}$，其中$dP*$是特权的措施，使得$P*=\sum_{i=1}^\infty P_i c_i$为$c_i >0, \sum _{i=1}^\infty c_i =1$个$P_i \in \mathscr P$。

我试图直观地理解为什么该定理成立，但我没有成功，所以我的问题是是否存在一种直观的方法来理解该定理。

技术引理

我不确定这是多么直观，但是您对Halmos-Savage定理的陈述所基于的主要技术结果如下：

引理。 令$\mu$为（S ，A）上的$\sigma$有限度量。假设ℵ是措施对集合（小号，甲），从而使每一ν ＆Element; ℵ，ν « μ。则存在非负数序列{ Ç 我} ∞ 我= 1和的元素的序列ℵ，{ ν 我} ∞ 我= 1$(S, \mathcal{A})$$\aleph$$(S, \mathcal{A})$$\nu \in \aleph$$\nu \ll \mu$$\{c_i\}_{i=1}^\infty$$\aleph$$\{\nu_i\}_{i=1}^\infty$使得$\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$和$\nu \ll \sum_{i=1}^\infty c_i \nu_i$每$\nu \in \aleph$。

这是舍尔维什统计学理论（1995）中定理A.78的逐字记录。他在其中将其归因于雷曼的《测试统计假设》（1986）（链接至第三版），其结果归因于Halmos和Savage本身（请参见引理7）。另一个很好的参考文献是Shao的《数学统计》（第二版，2003年），其相关结果为引理2.1和定理2.2。

上面的引理指出，如果您从以$\sigma$有限度量为主的一系列度量开始，那么实际上您可以用该家族内部可数的凸度量组合来代替主导度量。谢尔维什在陈述定理A.78之前写道，

“在统计应用中，我们经常会有一类量度，相对于单个$\sigma$有限量度，每个量度都是绝对连续的。如果单个主导量度在原始类中或者可以由原始量度构成，那将是很好的。下列定理解决了这个问题。”

一个具体的例子

假设我们对数量$X$进行了测量，对于一些未知的θ > 0，我们认为该数量X在间隔$[0, \theta]$上均匀分布。在此统计问题中，我们隐式考虑了R上Borel概率测度的集合P，该集合由形式为[ 0 ，θ ]的所有区间上的均匀分布组成。也就是说，如果λ表示Lebesgue测度，并且对于θ > 0，P θ表示统一（[$\theta > 0$$\mathcal{P}$$\mathbb{R}$$[0, \theta]$$\lambda$$\theta > 0$$P_\theta$$\operatorname{Uniform}([0, \theta])$的分布（即，

$$P_\theta(A) = \frac{1}{\theta} \lambda(A \cap [0, \theta]) = \int_A \frac{1}{\theta} \mathbf{1}_{[0, \theta]}(x) \, dx$$ 为每个波雷尔$A \subseteq \mathbb{R}$），那么我们简单地具有 $$\mathcal{P} = \{P_\theta : \theta > 0\}.$$ 这是我们的度量$X$的候选分布的集合。

家庭$\mathcal{P}$显然是由Lebesgue测度为主$\lambda$（其$\sigma$ -finite），所以上述引理（与$\aleph = \mathcal{P}$）保证的序列的存在$\{c_i\}_{i=1}^\infty$的非负的数量相加来的$1$和一个序列$\{Q_i\}_{i=1}^\infty$均匀分布的$\mathcal{P}$，使得

$$P_\theta \ll \sum_{i=1}^\infty c_i Q_i$$ 对于每个$\theta > 0$。在此示例中，我们可以显式构造此类序列！

首先，让$(\theta_i)_{i=1}^\infty$是正有理数的枚举（这可以显式地进行），并让$Q_i = P_{\theta_i}$每个$i$。接下来，让$c_i = 2^{-i}$，使得$\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$。我声称的这种组合$\{c_i\}_{i=1}^\infty$和$\{Q_i\}_{i=1}^\infty$作品。

看到这一点，修复$\theta > 0$，让$A$是的波雷尔子集$\mathbb{R}$，使得$\sum_{i=1}^\infty c_i Q_i(A) = 0$。我们需要证明$P_\theta(A) = 0$。因为$\sum_{i=1}^\infty c_i Q_i(A) = 0$，并且每个被加数被非负，它遵循$c_i Q_i(A) = 0$每个$i$（A ）= 0。此外，由于每个$c_i$是正的，它遵循$Q_i(A) = 0$对于每个$i$。也就是说，对于所有$i$我们有

$$Q_i(A) = P_{\theta_i}(A) = \frac{1}{\theta_i} \lambda(A \cap [0, \theta_i]) = 0.$$ 由于每个$\theta_i$是正的，由此得出$\lambda(A \cap [0, \theta_i]) = 0$对于每个$i$。

现在选择一个子序列$\{\theta_{i_k}\}_{k=1}^\infty$的$\{\theta_i\}_{i=1}^\infty$，其收敛于$\theta$从上方（这可以因为完成$\mathbb{Q}$是在密集$\mathbb{R}$）。然后$A \cap [0, \theta_{\theta_{i_k}}] \downarrow A \cap [0, \theta]$如$k \to \infty$，所以由测量的连续性我们得出结论，

$$\lambda(A \cap [0, \theta]) = \lim_{k \to \infty} \lambda(A \cap [0, \theta_{i_k}]) = 0,$$ 所以$P_\theta(A) = 0$。这证明了要求。

因此，在这个例子中，我们能够从我们支配的家庭中显式构造一个可数的概率测度凸组合，该组合仍然支配着整个家庭。上面的引理保证可以对任何支配家庭都可以做到这一点（至少只要支配度量是$\sigma$有限的）。

Halmos-Savage定理

现在进入Halmos-Savage定理（由于个人喜好，我将使用与问题中略有不同的表示法）。考虑到Halmos-Savage定理，Fisher-Neyman因式分解定理只是Doob-Dynkin引理的一个应用，而Radon-Nikodym导数的链规则就消失了！

Halmos-Savage定理。 让$(\mathcal{X}, \mathcal{B}, \mathcal{P})$是主导的统计模型（意味着$\mathcal{P}$是在一组的概率的措施$\mathcal{B}$并有一个$\sigma$ -finite测量$\mu$上$\mathcal{B}$使得$P \ll \mu$所有$P \in \mathcal{P}$）。令$T : (\mathcal{X}, \mathcal{B}) \to (\mathcal{T}, \mathcal{C})$为可测函数，其中$(T, \mathcal{C})$是标准的Borel空间。那么以下是等效的：

1. $T$足以用于$\mathcal{P}$（意味着存在这样的可能性内核$r : \mathcal{B} \times \mathcal{T} \to [0, 1]$，使得$r(B, T)$是一个版本的$P(B \mid T)$为所有$B \in \mathcal{B}$和$P \in \mathcal{P}$）。
2. 存在序列$\{c_i\}_{i=1}^\infty$为非负数，使得$\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$和序列$\{P_i\}_{i=1}^\infty$中的概率测度$\mathcal{P}$，使得$P \ll P^*$为所有$P \in \mathcal{P}$，其中$P^* = \sum_{i=1}^\infty c_i P_i$和每个$P \in \mathcal{P}$存在$T$的-measurable版本$dP/dP^*$。

证明。 通过上述引理，我们可以立即更换$\mu$由$P^* = \sum_{i=1}^\infty c_i P_i$对于一些序列$\{c_i\}_{i=1}^\infty$为非负数，使得$\sum_{i=1}^\infty c_i = 1$和一个序列$\{P_i\}_{i=1}^\infty$的概率的措施$\mathcal{P}$。

（1.暗示2。）假设$T$足够。然后，我们必须表明，有$T$的-measurable版本$dP/dP^*$对所有$P \in \mathcal{P}$。令$r$为定理陈述中的概率核。对于每个$A \in \sigma(T)$和$B \in \mathcal{B}$我们有

$$\begin{aligned} P^*(A \cap B) &= \sum_{i=1}^\infty c_i P_i(A \cap B) \\ &= \sum_{i=1}^\infty c_i \int_A P_i(B \mid T) \, dP_i \\ &= \sum_{i=1}^\infty c_i \int_A r(B, T) \, dP_i \\ &= \int_A r(B, T) \, dP^*. \end{aligned}$$ 因此$r(B, T)$是一个版本的$P^*(B \mid T)$为所有$B \in \mathcal{B}$。

$P \in \mathcal{P}$$f_P$$dP/dP^*$$(\mathcal{X}, \sigma(T))$$f_P$$T$$B \in \mathcal{B}$$P \in \mathcal{P}$

$$\begin{aligned} P(B) &= \int_{\mathcal{X}} P(B \mid T) \, dP \\ &= \int_{\mathcal{X}} r(B, T) \, dP \\ &= \int_{\mathcal{X}} r(B, T) f_P \, dP^* \\ &= \int_{\mathcal{X}} P^*(B \mid T) f_P \, dP^* \\ &= \int_{\mathcal{X}} E_{P^*}[\mathbf{1}_B f_P \mid T] \, dP^* \\ &= \int_B f_P \, dP^*. \end{aligned}$$ $f_P$$T$$dP/dP^*$$(\mathcal{X}, \mathcal{B})$

$T$$f_P$$dP/dP^*$$P \in \mathcal{P}$$B \in \mathcal{B}$$r(B, t)$$P^*(B \mid T = t)$$r(B, t)$$r(B, T)$$P^*(B \mid T)$$(T, \mathcal{C})$$r$$r(B, T)$$P(B \mid T)$$P \in \mathcal{P}$$B \in \mathcal{B}$$A \in \sigma(T)$$B \in \mathcal{B}$$P \in \mathcal{P}$

$$\begin{aligned} P(A \cap B) &= \int_A \mathbf{1}_B f_P \, dP^* \\ &= \int_A E_{P^*}[\mathbf{1}_B f_P \mid T] \, dP^* \\ &= \int_A P^*(B \mid T) f_P \, dP^* \\ &= \int_A r(B, T) f_P \, dP^* \\ &= \int_A r(B, T) \, dP. \end{aligned}$$ $r(B, T)$$P(B \mid T)$$P \in \mathcal{P}$$B \in \mathcal{B}$

摘要。 此处给出的Halmos-Savage定理所基于的重要技术结果是，一个事实：一个主导的概率测度系列实际上由该族的概率测度的可凸组合构成。鉴于该结果，其余的Halmos-Savage定理大部分只是具有Radon-Nikodym衍生物的基本特性和条件期望的操纵。