为什么将MAE最小化会导致预测中位数而不是均值？

摘自Rob J Hyndman和George Athanasopoulos的《预测：原理和实践》教科书，特别是准确性测量部分：

最小化MAE的预测方法将导致对中位数的预测，而最小化RMSE则将导致对均值的预测

有人可以对为什么将MAE最小化导致预测中位数而不是均值给出直观的解释吗？在实践中这意味着什么？

我问一个客户：“对于您来说，使平均预测更准确或避免非常不准确的预测对您而言，更重要的是什么？” 他说，使均值预测更准确具有更高的优先级。因此，在这种情况下，我应该使用MAE还是RMSE？在阅读此引文之前，我相信MAE在这种情况下会更好。现在我怀疑。

退后一步，暂时忽略一下预测方面，这很有用。让我们考虑任何分布并假设我们希望使用一个数字对其进行总结。$F$

您很早就在统计课上学习到，将的期望值用作单个数字摘要将最小化期望的平方误差。$F$

现在的问题是：为什么用中位数的减少的预期绝对错误？$F$

为此，我经常推荐Hanley等人的“将中位数可视化为最小偏差位置”。（2001年，美国统计学家）。他们确实在论文中设置了一个小程序，不幸的是，它可能不再适用于现代浏览器，但是我们可以遵循论文中的逻辑。

假设您站在一排电梯前。它们可以等距布置，或者电梯门之间的某些距离可能比其他门大（例如，某些电梯可能不正常）。在其前面的电梯，你应该站到具有最小预期散步时电梯的一个不到货？请注意，此预期的行走起预期的绝对误差的作用！

假设您有三个电梯A，B和C。

• 如果您在A前面等候，则可能需要从A步行到B（如果B到达），或从A步行到C（如果C到达）- 经过B！
• 如果您在B前面等候，则需要从B步行到A（如果A到达）或从B步行到C（如果C到达）。
• 如果您在C前面等候，则需要从C步行到A（如果A到达）- 经过B-或从C 步行到B（如果B到达）。

请注意，从第一个和最后一个等待位置开始，有一段距离-首先是AB，最后一个位置是BC-在电梯到达的多种情况下，您需要行走。因此，最好的选择是站在中间电梯的正前方，而不管三个电梯的布置如何。

这是Hanley等人的图1：

这很容易推广到三个以上的电梯。或乘电梯到达的机会不同。或者确实是无数个电梯。因此，我们可以将此逻辑应用于所有离散分布，然后传递到极限以得出连续分布。

要再次回到预测，您需要考虑针对特定未来时间段的点预测基础，存在（通常是隐式的）密度预测或预测分布，我们使用单个数字点预测对其进行汇总。上面的论点说明了为什么预测密度的中位数是使预期绝对误差或MAE最小化的点预测。（更确切地说，任何中位数都可以，因为它可能不是唯一定义的-在电梯示例中，这相当于拥有偶数个电梯。）$\hat{F}$

当然，如果是不对称的，则中位数可能与预期有很大不同。一个重要的例子是小批量计数数据，尤其是间歇时间序列。确实，如果您有50％或更高的零销售几率，例如，如果销售是使用参数进行的泊松分布，那么您将通过预测平坦的零来最大程度地减少预期的绝对误差-这是不直观的，即使是高度间歇性的时间序列。我为此写了一篇论文（Kolassa，2016年，国际预测杂志）。 λ≤LN$\hat{F}$$\lambda\leq \ln 2$

因此，如上述两种情况一样，如果您怀疑您的预测分布是（或应该是）不对称的，那么如果您希望获得无偏的期望预测，请使用rmse。如果可以假设分布是对称的（通常是针对大批量序列），则中位数和均值会重合，并且使用mae还将指导您进行无偏预测-MAE更容易理解。

同样，即使对于对称分布，最小化mape也会导致预测偏差。我的较早答案包含一个模拟示例，该示例具有非对称分布的严格正（对数正态分布）序列，可以根据三个目标预测来有意义地预测点，具体取决于我们要最小化MSE，MAE还是MAPE。

Stephan的答案为您提供了一个直观的解释，说明为什么使绝对平均误差最小化会为您提供中位数。现在回答使用哪种MSE，MAE或MAPE：

MAE具有鲁棒性，这意味着它对异常值不那么敏感。想象一个错误率比其应有的误差大一百万倍的系列。在MSE上，它将拉动预测一百万/ N次（其中N是点数），而MAE将仅拉动1个单位。

不幸的是，MAE不是唯一的，因此它可能表现出某种精神分裂行为。

因此，我的建议是首先创建一个MSE，然后使用MSE参数启动MAE回归。

无论如何，请比较两个预测：如果它们之间有很大差异，则您的数据中有些气味。