相关随机变量之差的界线


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给定两个高度相关的随机变量和,我想限制差的概率超出一定数量: XY|XY|

P(|XY|>K)<δ

为简单起见,假设:

  • 已知相关系数为“高”,例如: ρX,Y=covar(X,Y)/σXσY1ϵ

  • X,Y为零均值:μx=μy=0

  • 1xi,yi1(或者 如果这样更容易的话)0xi,yi1

  • (如果它使事情变得容易,那么说具有相同的方差:)X,YσX2=σY2

仅根据上述信息,不确定得出差异的界限是多么可行(我当然无法获得任何信息)。一个特定的解决方案(如果有的话),对发行版强加的强制性附加限制,或者只是对方法的建议,将是很好的。

Answers:


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即使没有那些简化的假设,也可以通过结合一些常用工具来获得界限:

详细说明:

σXY2=σX2+σY22·cov(X,Y)

cov(X,Y)=σX·σY·ρXY

σXY2=σX2+σY22·σX·σY·ρX,Y

根据切比雪夫不等式,对于任何随机变量:Z

Pr(|Zμ|kσ)1k2

然后(并使用该:μXY=μXμY)

Pr(|XYμX+μY|k·σX2+σY22·σX·σY·ρX,Y)1k2

我们可以使用提议的简化假设来获得更简单的表达式。什么时候:

ρX,Y=covar(X,Y)/σXσY=1ϵ
μx=μy=0
σX2=σY2=σ2

然后:

σX2+σY22·σX·σY·ρX,Y=2·σ2·(1(1ϵ))=2σ2ϵ

因此:

Pr(|XY|k·σ2ϵ)1k2

有趣的是,即使不小,该结果仍然成立,并且如果相关条件从变为,结果也不会改变(因为它已经是不等式)。ϵ=1ϵ1ϵ

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