即使没有那些简化的假设,也可以通过结合一些常用工具来获得界限:
详细说明:
σ2X−Y=σ2X+σ2Y−2⋅cov(X,Y)
cov(X,Y)=σX⋅σY⋅ρXY
σ2X−Y=σ2X+σ2Y−2⋅σX⋅σY⋅ρX,Y
根据切比雪夫不等式,对于任何随机变量:Z
Pr(|Z−μ|≥kσ)≤1k2
然后(并使用该:μX−Y=μX−μY)
Pr(|X−Y−μX+μY|≥k⋅σ2X+σ2Y−2⋅σX⋅σY⋅ρX,Y−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√)≤1k2
我们可以使用提议的简化假设来获得更简单的表达式。什么时候:
ρX,Y=covar(X,Y)/σXσY=1−ϵ
μx=μy=0
σ2X=σ2Y=σ2
然后:
σ2X+σ2Y−2⋅σX⋅σY⋅ρX,Y=2⋅σ2⋅(1−(1−ϵ))=2σ2ϵ
因此:
Pr(|X−Y|≥k⋅σ2ϵ−−√)≤1k2
有趣的是,即使不小,该结果仍然成立,并且如果相关条件从变为,结果也不会改变(因为它已经是不等式)。ϵ=1−ϵ≥1−ϵ