除柯西以外，是否还有其他样本的算术平均值遵循相同分布的分布？

如果遵循柯西分布然后 $X$ 也遵循与完全相同的分布；看到这个线程。 $Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $X$

这个属性有名字吗？
还有其他分布是真的吗？

编辑

提出此问题的另一种方式：

令为概率密度为的随机变量。 $X$ $f(x)$

令，其中表示的第i个观察。 $Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$ $X_i$ $X$

本身可以视为随机变量，而无需以任何特定值为条件。 $Y$ $X$

如果遵循柯西分布，则的概率密度函数为 $X$ $Y$ $f(x)$

是否存在其他类型的（非平凡*）概率密度函数，从而导致具有概率密度函数？ $f(x)$ $Y$ $f(x)$

*我能想到的唯一简单的例子是狄拉克三角洲。即不是随机变量。

— 切奇·莱瓦斯（Chechy Levas）
source

您的标题意义不大，因为“样本的期望值”是一个数字。 您是指样本的算术平均值吗？这个问题也很模糊：用“分布”是指特定的分布，还是指“ Cauchy”一词所建议的分布族？这并不是些微妙的微妙之处：答案完全取决于您的意思。请编辑您的帖子以澄清它。

— ub

@whuber，我在问题中添加了第二部分，希望能缩小可能的解释范围。

— Chechy Levas

谢谢; 这清除了大部分。但是，根据您要修复

还是要对所有

保持该结果，会有不同的答案

如果是后者，则cf或cgf上的状况很严重，因此可以立即解决。如果是前者，则可能有其他解决方案。

n

$n$

n .

$n.$

— ub

我一直在考虑所有

但是如果有人也想对固定

进行分析，那将是受欢迎的。

n

$n$

n

$n$

— Chechy Levas

这并不是一个真正的答案，但是至少从稳定的发行版创建这样的例子似乎并不容易。我们将需要生成一个rv，其特征函数与其平均值相同。

一般而言，对于iid抽签，平均值的cf为

与单个RV对于稳定分布与位置参数零的CF，我们有其中

ϕ_{{\bar{X}}_{ñ}} （ Ť ） = [ϕ_{X} （ Ť / ñ ）]^{ñ}

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n$

ϕ_{X}

$\phi_X$

ϕ_{X} （ Ť ） = 经验值 {- | C Ť |^{α} （ 1个 - 一世 β sgn （ Ť ） Φ ）} ，

$\phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\},$

的柯西分布对应于

，

，从而使

确实对于任何尺度参数

。

Φ = {\begin{cases} 棕褐色 （ \frac{π α}{2} ） & α \neq 1个 \\ - \frac{2}{π} 日志 | Ť | & α = 1个 \end{cases}

$\Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{cases}$

α = 1

$\alpha=1$

β = 0

$\beta=0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

c > 0

$c>0$

一般而言，为了得到，似乎要求，所以

ϕ_{{\bar{X}}_{ñ}} （ Ť ） = 经验值 {- ñ {| C \frac{Ť}{ñ} |}^{α} （ 1个 - 一世 β sgn （ \frac{Ť}{ñ} ） Φ ）} ，

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\},$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

α = 1

$\alpha=1$

但

\begin{array}{rcl} ϕ_{{\bar{X}}_{ñ}} （ Ť ） & = & 经验值 {- ñ | C \frac{Ť}{ñ} | （ 1个 - 一世 β sgn （ \frac{Ť}{ñ} ） （ - \frac{2}{π} 日志 | \frac{Ť}{ñ} | ） ）} \\ = & 经验值 {- | C Ť | （ 1个 - 一世 β sgn （ Ť ） （ - \frac{2}{π} 日志 | \frac{Ť}{ñ} | ） ）} ， \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*}$

日志 | \frac{Ť}{ñ} | \neq 日志 | Ť |

$\log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right|$

— 克里斯多夫·汉克
source

因此可以公平地说，根据您的分析，柯西是a = 1的唯一解决方案？

— Chechy Levas

这些结果给我的印象是，但我可以肯定的是，这里有稳定分布的人。

— Christoph Hanck

ψ = \log ϕ

$\psi=\log \phi$

ψ （ Ť / ñ ） = ψ （ Ť ） / ñ

$\psi(t/n) = \psi(t)/n$

n = 1, 2, 3, \dots .

$n=1,2,3,\ldots.$

ψ

$\psi$

ψ

$\psi$

- | c t | .

$-|ct|.$

α = 1

$\alpha = 1$

α = 0

$\alpha = 0$