我必须掷骰子几次来自信地评估其公平性？

（事先对使用非专业语言而非统计语言的道歉。）

如果我想以合理的确定性来衡量将特定的物理六面模具的每一侧滚动到大约+/- 2％以内的几率，那么需要多少个示例模具卷？

即我需要掷骰子多少次，计算每个结果，以确保98％确保骰子掷出骰子的几率在14.6％-18.7％之内？（或一些类似的标准，其中大约98％的人会确保骰子的公平性在2％以内。）

（这是使用骰子的模拟游戏的现实世界关注点，希望确保某些骰子设计的滚动数字接近1/6的可能性可以接受。有人声称，许多常见的骰子设计被测量为滚动29％1）。每次将几个这样的骰子滚动1000次。）

TL; DR：如果$p$ = 1/6，并且您想知道$n$需要多大才能确保骰子公平（98％）（在2％以内），则$n$必须至少$n$ n≥766。

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令$n$为掷骰数，$X$为落在某一指定面上的掷骰数。然后，$X$遵循二项式（n，p）分布，其中$p$是获得该指定边的概率。

根据中心极限定理，我们知道

$$\sqrt{n} (X/n - p) \to N(0,p(1-p))$$

由于$X/n$是$n$ Bernoulli $(p)$随机变量的样本均值。因此，对于较大的$n$，可以将$p$置信区间构造为

$$\frac{X}{n} \pm Z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

由于$p$是未知的，我们可以与样品平均取代它p = X / Ñ，并通过各种收敛定理，我们知道所得到的置信区间将渐近有效。这样我们得到了形式的置信区间$\hat{p} = X/n$

$$\hat{p} \pm Z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

与p = X / Ñ。我假设您知道Z分数是多少。例如，如果您需要95％的置信区间，则Z = 1.96。因此，对于给定的置信度α，我们有$\hat{p} = X/n$$Z$$Z=1.96$$\alpha$

$$\hat{p} \pm Z_\alpha \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

现在，让我们说你要置信区间是长度小于$C_\alpha$，并想知道我们需要一个怎样的大样本，使这种情况。嗯，这是equivelant来问什么$n_\alpha$满足

$$Z_\alpha \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_\alpha}} \leq \frac{C_\alpha}{2}$$

然后解决以获得

$$n_\alpha \geq \left(\frac{2 Z_\alpha}{C_\alpha}\right)^2 \hat{p}(1-\hat{p})$$

所以，插上你的价值观$Z_\alpha$，$C_\alpha$，并估计p以获得估计ñ α。请注意，由于p未知，这只是一个估计，但是渐近（随着n变大），它应该是准确的。$\hat{p}$$n_\alpha$$p$$n$