为什么我的第一台PC解释的方差量如此接近平均成对相关性？

第一主成分和相关矩阵中的平均相关之间是什么关系？

例如，在经验应用中，我观察到平均相关性几乎与第一主成分（第一特征值）的方差与总方差（所有特征值之和）之比相同。

有数学关系吗？

以下是实证结果图表。其中，相关性是在15天滚动窗口中计算的DAX股指成分收益之间的平均相关性，而解释的方差是在15天滚动窗口中计算的第一主成分所解释的方差的份额。

可以用CAPM之类的常见风险因素模型来解释吗？

我相信第一台PC的均值相关性和特征值之间的关系存在但并非唯一。我不是一个可以推论它的数学家，但我至少可以显示一个人的直觉或思想可能从中产生的起点。

如果您将标准化变量绘制为在它所在的欧几里德空间中的向量（这是轴为观测值的缩小空间），则相关性是两个向量之间的余弦。

并且由于向量均为单位长度（由于标准化），因此余弦是向量在彼此之间的投影（如左图所示，带有三个变量）。所述第一PC是在该空间中该方突起的总和最大化在其上，这样的线一的，称为负载; 这个和是第一特征值

因此，当您建立左侧三个投影的平均值与右侧三个平方投影的和（或平均值）之间的关系时，您会回答有关均值相关性与特征值之间关系的问题。

我认为这里发生的是，所有变量之间均呈正相关。在这种情况下，第一台PC通常非常接近所有变量的平均值。如果所有变量都与完全相同的相关系数正相关，则第一台PC 正好与所有变量的平均值成正比，正如我在此处解释的那样：将所有变量取平均值可以视为PCA的一种粗略形式吗？$c$

在这种简单的情况下，人们实际上可以从数学上推导出您要询问的关系。考虑如下所示的大小的相关矩阵：它的第一个特征向量等于，它对应于所有变量的[缩放]平均值。其特征值是。当然，所有特征值的总和由所有对角线元素的总和给出，即。因此，第一台PC解释的方差的比例等于$n\times n$

$$\left(\begin{array}{}1&c&c&c\\c&1&c&c\\c&c&1&c\\c&c&c&1\end{array} \right).$$ $(1,1,1,1)^\top/\sqrt{n}$$\lambda_1=1+(n-1)c$$\sum \lambda_i=n$ $$R^2=\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n}c \approx c.$$

因此，在这种最简单的情况下，第一台PC解释的方差的比例与平均相关性100％相关，并且对于大的大约等于它。这正是我们在您的情节上看到的。$n$

我希望对于大矩阵，即使相关不完全相同，该结果也将大致成立。

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更新。使用问题中张贴的数字，甚至可以注意到来尝试估计。如果我们取和，那么，我们得到。OP称该数据为“ DAX股票指数”；对其进行谷歌搜索，我们发现它显然包含变量。不错的比赛。$n$$n=(1-c)/(R^2-c)$$c=0.5$$R^2-c=0.02$$n=25$$30$