泊松是指数级的，就像伽玛泊松是什么一样？

泊松分布可以测量单位时间内的事件，参数为。指数分布使用参数度量直到下一个事件的时间。一个可以将一个分布转换为另一个分布，这取决于对事件或时间进行建模更容易。 $\lambda$ $\frac{1}{\lambda}$

现在，伽马-泊松是具有较大差异的“拉伸”泊松。威布尔分布是具有较大方差的“拉伸”指数。但是，可以像将Poisson转换成指数一样，轻松地将二者转换为彼此吗？

还是有一些其他分布更适合与伽马-泊松分布结合使用？

伽马泊松也称为负二项分布或NBD。

— 自行车手
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Answers:

这是一个相当直接的问题。尽管泊松分布与负二项式分布之间存在联系，但实际上，这对您的特定问题没有帮助，因为它鼓励人们思考负二项式过程。基本上，您有一系列的泊松过程：

Y_{i} (t_{i}) | λ_{i} \sim P o i s s o n (λ_{i} t_{i})

$Y_i(t_i)|\lambda_i\sim Poisson(\lambda_i t_i)$

其中，是过程，是您观察它的时间，表示个体。您说这些过程通过分配将费率捆绑在一起是“相似的”： $Y_i$ $t_i$ $i$

λ_{i} \sim G a m m a (α, β)

$\lambda_i\sim Gamma(\alpha,\beta)$

通过进行集成/，您具有： $\lambda_i$

Y_{i} (t_{i}) | α β \sim N e g B i n (α, p_{i}) w h e r e p_{i} = \frac{t_{i}}{t_{i} + β}

$Y_i(t_i)|\alpha\beta\sim NegBin(\alpha,p_i)\;\;\; where \;\;p_i=\frac{t_i}{t_i+\beta}$

pmf为：

P r (Y_{i} (t_{i}) = y_{i} | α β) = \frac{Γ (α + y_{i})}{Γ (α) y_{i}!} p_{i}^{y_{i}} (1 - p_{i})^{α}

$Pr(Y_i(t_i)=y_i|\alpha\beta) = \frac{\Gamma(\alpha+y_i)}{\Gamma(\alpha)y_i!}p_i^{y_i}(1-p_i)^\alpha$

为了获得等待时间分布，我们注意到：

P r (T_{i} \leq t_{i} | α β) = 1 - P r (T_{i} > t_{i} | α β) = 1 - P r (Y_{i} (t_{i}) = 0 | α β)

$Pr(T_i\leq t_i|\alpha\beta)=1-Pr(T_i> t_i|\alpha\beta)=1-Pr(Y_i(t_i)=0|\alpha\beta)$

= 1 - (1 - p_{i})^{α} = 1 - {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- α}

$=1-(1-p_i)^\alpha=1-\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-\alpha}$

对此进行区分，即可得到PDF：

p_{T_{i}} (t_{i} | α β) = \frac{α}{β} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- (α + 1)}

$p_{T_i}(t_i|\alpha\beta)=\frac{\alpha}{\beta}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)}$

这是II型广义Pareto分布的成员。我将其用作您的等待时间分配。

要查看与泊松分布的联系，请注意，因此，如果我们设置，然后取的限制我们得到： $\frac{\alpha}{\beta}=E(\lambda_i|\alpha\beta)$ $\beta=\frac{\alpha}{\lambda}$ $\alpha\to\infty$

lim_{α \to \infty} \frac{α}{β} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- (α + 1)} = lim_{α \to \infty} λ {(1 + \frac{λ t_{i}}{α})}^{- (α + 1)} = λ \exp (- λ t_{i})

$\lim_{\alpha\to\infty}\frac{\alpha}{\beta}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)}=\lim_{\alpha\to\infty}\lambda\left(1+\frac{\lambda t_i}{\alpha}\right)^{-(\alpha+1)}=\lambda\exp(-\lambda t_i)$

这意味着您可以将为过度分散参数。 $\frac{1}{\alpha}$

— 概率逻辑
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您还可以注意到，等待时间分布大致来说是具有Gamma随机率参数的指数分布，严格来说，这是第二种Beta分布，对于任何具有Gamma随机率参数的Gamma分布而言。

— 斯蒂芬·洛朗

使用@probabilityislogic作为基础，我发现以下文章提供了有关NBD与帕累托之间关系的更多详细信息：Gupta，Sunil和Donald G. Morrison。估计消费者购买率中的异质性。市场科学，1991，10（3），264-269。感谢所有帮助我回答这个问题的人。

— zbicyclist 2012年

+1，我猜想对于，这种好的解析形式可能不再存在，其中是常数。

P o i s s o n (λ_{i} t_{i} + c)

$Poisson(\lambda_i t_i + c)$

c

$c$

— Randel

@randel-您可以通过注意到该rv是两个独立的和来获得“漂亮”的形式...其中与上述相同，而。由于不依赖于或，因此的pdf 是上述负二项式pdf和泊松pdf的卷积。要获得等待时间分布，只需将以上答案中的乘以。然后，您将获得等待时间cdf 和

Z_{i} = Y_{i} + X_{i}

$Z_i=Y_i+X_i$

Y_{i}

$Y_i$

X_{i} \sim p o i s s o n (c)

$X_i\sim poisson (c)$

X_{i}

$X_i$

λ_{i}

$\lambda_i$

Y_{i}

$Y_i$

Z_{i}

$Z_i$

P r (Y_{i} = 0)

$Pr(Y_i=0)$

P r (X_{i} = 0) = e^{- c}

$Pr(X_i=0)=e^{-c}$

1 - e^{- c} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- α}

$1-e^{-c}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-\alpha}$

e^{- c} \frac{α}{β} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- (α + 1)}

$e^{-c}\frac {\alpha}{\beta}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)}$ 。

— 概率

就混合分布而言，这将不起作用，因为您需要（否则泊松均值为负）。伽马混合分布将需要被截断（我在上一个答案中还假设）。这将意味着没有nb分布。

λ_{i} < c t_{i}^{- 1}

$\lambda_i <ct_i^{-1}$

c > 0

$c>0$

— 概率

一种可能性：泊松就是指数，而负二项式就是……指数！

有一个纯跳跃增加的Lévy过程，称为负二项式过程，因此在时间该值具有负二项式分布。与泊松过程不同，跳跃几乎并不确定。相反，它们遵循对数分布。根据总方差定律，一些方差来自跳跃次数（由跳跃的平均大小缩放），而一些方差来自跳跃的大小，您可以使用它来检查它是否过于分散。 $t$ $1$

可能还有其他有用的描述。请参阅“为DNA测序构建负二项式分布”。

让我更明确地说明如何构建上述负二项式过程。

选择。 $p \lt 1$
让是具有对数分布的IID，因此 $X_1, X_2, X_3, ...$ $P(x_i = k) = \frac{-1}{\log(1-p)} \frac{p^k}{k}.$
让是泊松过程以恒定速率，所以 $N$ $-\log(1-p)$ $N(t) = \text{Pois}(-t \log(1-p)).$
令为过程，这样 $NBP$

N B P (t) = \sum_{i = 1}^{N (t)} X_{i} .

$NBP(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} X_i.$

是具有对数分布跳跃的纯跳跃过程。跳跃之间的间隙遵循速率的指数分布 $NBP$ $-\log(1-p).$

我不认为从该描述中可以明显看出具有负二项式分布，但是在Wikipedia上有使用概率生成函数的简短证明，Fisher在他介绍了对数分布来分析物种的相对频率。 $NBP(t)$ $NB(t,p)$

— 道格拉斯·扎尔
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不，任何复合泊松过程都有指数等待时间。这意味着你添加

IID随机变量与一些分布。

Pois (λ t)

$\text{Pois}(\lambda t)$

— Douglas Zare 2012年

N

$N$

N

$N$

2

$2$

让我们继续在聊天中进行讨论

— Douglas Zare 2012年

我还不能发表评论，因此我很抱歉，这不是一个确定的解决方案。

您正在要求与NB一起使用的适当发行版，但尚未完全定义适当的发行版。如果适当的分布方式适合于解释数据，而您是从过度分散的Poisson开始的，那么您可能必须进一步研究过度分散的原因。NB不会区分具有不同均值的Poisson还是正发生依赖关系（一个事件发生会增加另一个事件发生的可能性）。在连续时间内，还存在持续时间依赖性，例如正的持续时间依赖性意味着时间的流逝增加了发生的可能性。还显示出负持续时间依赖性会渐近地导致泊松分布过度[1]。这将添加到合适的等待时间模型列表中。

— Meadowlark Bradsher
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过度分散的原因：这是消费者购买数据。个体消费者是泊松，每个人都有购买的λ值。但是，并非每个消费者都有相同的λ值-这就是过度分散的原因。λ购买率被视为以伽马分布。这是一个常见的模型（可以追溯到ASC Ehrenberg），但是我在他的著作中没有发现任何答案。

— zbicyclist 2012年