均值，中位数和众数之间的经验关系

对于中等偏斜的单峰分布，我们在均值，中位数和众数之间具有以下经验关系： 这种关系如何派生出来的？

$$\text{(Mean - Mode)}\sim 3\,\text{(Mean - Median)}$$

在形成这个结论之前，卡尔·皮尔森（Karl Pearson）是否绘制了成千上万个这样的关系，还是在这种关系背后有逻辑上的推理？

表示平均值（平均值），表示中位数，表示标准偏差为，表示模式为最后，令为样本，这是连续的单峰分布的实现，为此存在前两个矩。≠ 米σ 中号X $\mu$$\neq$$m$$\sigma$$M$$X$$F$

众所周知

$$|\mu-m|\leq\sigma\label{d}\tag{1}$$

这是一个频繁的教科书练习：

$$\begin{eqnarray} |\mu-m| &=& |E(X-m)| \\ &\leq& E|X-m| \\ &\leq& E|X-\mu| \\ &=& E\sqrt{(X-\mu)^2} \\ &\leq& \sqrt{E(X-\mu)^2} \\ &=& \sigma \end{eqnarray}$$ 第一等式源自均值的定义，第三个是因为中位数是的唯一最小值（在所有）。第四个是詹森不等式（即凸函数的定义）。实际上，这种不平等可以加剧。实际上，对于任何满足上述条件的，可以证明[3]E | X − c | $c$$E|X-c|$$F$

$$|m-\mu|\leq \sqrt{0.6}\sigma\label{f}\tag{2}$$

即使通常不正确（Abadir，2005年），任何单峰分布都必须满足 ，仍然可以证明不等式

$$M\leq m\leq\mu\textit{ or }M\geq m\geq \mu$$

$$|\mu-M|\leq\sqrt{3}\sigma\label{e}\tag{3}$$

适用于任何单峰方形可积分布（不考虑偏斜）。约翰逊和罗杰斯（1951）正式证明了这一点，尽管该证明取决于许多辅助引理，但这些引理在这里很难适用。去看原纸。

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在[2]中给出了分布满足的充分条件。如果：μ ≤ 米≤ 中号$F$$\mu\leq m\leq M$$F$

$$F(m−x)+F(m+x)\geq 1 \text{ for all }x\label{g}\tag{4}$$

然后。此外，如果，则不等式是严格的。皮尔逊类型I到XII分布是满足 [4]的一组分布的一个示例（例如，威布尔是一种不包含常见分布，请参见[5]）。$\mu\leq m\leq M$$\mu\neq m$$(4)$$(4)$

现在假设严格成立，并写出，我们得到 $(4)$$\sigma=1$

$$3(m-\mu)\in(0,3\sqrt{0.6}] \mbox{ and } M-\mu\in(m-\mu,\sqrt{3}]$$

并且由于这两个范围中的第二个都不为空，因此肯定可以找到断言为真的分布（例如，当）对于分布参数值的某个范围，但并非对所有分布都适用，甚至对于满足所有分布也不适用。（4$0<m-\mu<\frac{\sqrt{3}}{3}<\sigma=1$$(4)$

• [0]：单峰分布的矩问题。NL Johnson和CA Rogers。数学统计年鉴，第一卷。22，No.3（1951年9月），第433-439页
• [1]：中位数模式不平等：反例Karim M. Abadir计量经济学理论，第1卷。21，No.2（2005年4月），第477-482页
• [2]：WR van Zwet，均值，中位数，模式II，统计员。Neerlandica，33（1979），第1--5页。
• [3]：单峰分布的均值，中位数和众数：一种表征。S. Basu和A. DasGupta（1997）。理论Probab。Appl。，41（2），210-223。
• [4]：关于均值，中位数，众数和偏度的一些评论。佐藤道一 澳大利亚统计杂志。第39卷，第2期，第219-224页，1997年6月
• [5]：PT von Hippel（2005）。均值，中位数和偏斜：更正教科书规则。《统计教育杂志》第13卷，第2期。

论文chl指出了一些重要的信息-表明它与通用规则并不接近（即使对于连续，平滑，“行为良好”的变量，例如Weibull）也是如此。因此，尽管通常可能近似正确，但事实并非如此。

那么，皮尔逊来自哪里？他是如何得出这个近似值的？

幸运的是，皮尔逊几乎可以自己告诉我们答案。

在我们所使用的意义上，“歪斜”一词的首次使用似乎是皮尔森，1895 [1]（出现在标题中）。他似乎在这里介绍了模式一词（脚注，p345）：

我发现将术语“ 模式”用于对应于最大频率纵坐标的横坐标很方便。“均值”，“模式”和“中位数”具有对统计学家重要的不同特征。

这似乎也是他对频率曲线系统的第一个真正的细节。

因此，在讨论Pearson III型分布中形状参数的估计（我们现在将其称为偏移-甚至可能翻转-伽玛）时，他说（p375）：

$p$$^\dagger$

*这对应于形状参数的伽玛$>1$

$\dagger$$x$

实际上，如果我们查看伽玛分布的（均模）与（均值中位数）之比，则会观察到：

（蓝色部分标记了皮尔逊所说的近似值是合理的区域）。

$\alpha$$\beta$

（带有的beta子家族的特定选择$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}=k$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}=c$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$

$\alpha>10$

$e^{\mu-\sigma^2}, e^{\mu}$$e^{\mu+\sigma^2/2}$

$e^{\mu}$$\frac{e^{\sigma^2/2}-e^{-\sigma^2}}{e^{\sigma^2/2}-1}$$\sigma^2$$\frac{3}{2}\sigma^2$$\frac{1}{2}\sigma^2$$\sigma^2$

有很多众所周知的分布-皮尔森（Pearson）熟悉其中的一些-对于广泛的参数值，它几乎是正确的；他在伽玛分布中注意到了这一点，但是当他开始研究他可能会考虑的其他几种分布时，这个想法就会得到确认。

[1]：Pearson，K.（1895），
“对演化数学理论的贡献，II：均质材料的
偏斜变化”，《皇家学会哲学丛书》，系列A，186，343-414
[版权。在这里免费提供]

此关系不是派生的。人们注意到，凭经验它近似地保持在近对称分布上。参见尤尔（Yule）在《统计理论导论》（1922），第121页，第七章第20节中的论述。他提供了经验示例。