黛博拉·梅奥（Deborah Mayo）是否反驳了伯恩鲍姆（Birnbaum）关于似然原理的证明？

这在某种程度上与我之前在这里的问题有关：一个示例，其中“可能性”原理真的很重要吗？

显然，黛博拉·梅奥（Deborah Mayo）在《统计科学》上发表了一篇论文，驳斥了伯恩鲍姆关于似然原理的证明。谁能解释伯恩鲍姆（Birnbaum）的主要论点和梅奥（Mayo）的反论点？她（逻辑上）对吗？

mathematical-statistics likelihood-principle

— statslearner2
source

对这种反驳的一种反驳：Academic.oup.com/bjps/article-abstract/66/3/475/1497890（免费副本：gandenberger.org/wp-content/uploads/2013/11/…）。

— 变形虫说恢复莫妮卡

更多评论：stats.stackexchange.com/questions/65520/...

— rolando2

另请参见arxiv.org/abs/1711.08093

— 变形虫说莫妮卡（Monica）

感谢您对Michael Lew问题的赏识。

— statslearner2

再次赏金，第三次是一种魅力。

— statslearner2

简而言之，伯恩鲍姆的论点是，两个被广泛接受的原则在逻辑上暗示似然性原则必须成立。Mayo的反驳是证明是错误的，因为Birnbaum滥用了其中一项原则。

在下文中，我将论点简化到不十分严格的程度。我的目的是使它们对更广泛的受众开放，因为原始的论点非常技术性。有兴趣的读者应该在问题和评论中链接的文章中看到详细信息。

为了具体起见，我将集中讨论偏斜未知的硬币的情况。在实验我们将其翻转10次。在实验我们将其翻转直到获得3个“尾巴”。在实验我们翻转标记为“ 1”和“ 2”的公平硬币：如果它落在“ 1”上，则执行；如果它降落为“ 2”，则执行。这个例子将大大简化讨论，并展示论证的逻辑（原始证明当然更一般）。 $\theta$ $E_1$ $E_2$ $E_{mix}$ $E_1$ $E_2$

原则：

以下两个原则被广泛接受：

弱条件性原则说，如果我们决定执行实验，或者如果我们决定执行且硬币落地为“ 1” ，则我们应该得出相同的结论。 $E_1$ $E_{mix}$

充分性原则说，我们应该在两个统计量相同的实验中得出相同的结论。

贝叶斯（Bayesian）接受以下原则，但常客不接受以下原则。但是，伯恩鲍姆（Birnbaum）声称这是前两者的合乎逻辑的结果。

似然原理说，我们应该在似然函数成比例的两个实验中得出相同的结论。

伯恩鲍姆定理：

假设我们执行并且在十次翻转中获得了7个“ ”。的似然函数为。我们执行并将硬币翻转10次以获得3个“尾巴”。的似然函数为。这两个似然函数是成比例的。 $E_1$ $\theta$ ${10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3$ $E_2$ $\theta$ ${9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3$

Birnbaum考虑以下关于统计，从到：其中和分别是“头”和“尾”的数目。因此，无论发生什么情况，将结果报告为好像来自实验。事实证明，是足够的在。唯一不平凡的情况是和， $E_{mix}$ $\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$ $\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$

T : (ξ, x, y) \to (1, x, y),

$T: (\xi, x,y) \rightarrow (1, x,y),$

x

$x$

y

$y$

T

$T$

E_{1}

$E_1$

T

$T$

θ

$\theta$

E_{m i x}

$E_{mix}$

x = 7

$x = 7$

y = 3

$y = 3$

P (X_{m i x} = (1, x, y) | T = (1, x, y)) = \frac{0.5 \times (\binom{10}{3}) θ^{7} (1 - θ)^{3}}{0.5 \times (\binom{10}{3}) θ^{7} (1 - θ)^{3} + 0.5 \times (\binom{9}{7}) θ^{7} (1 - θ)^{3}} = \frac{(\binom{10}{3})}{(\binom{10}{3}) + (\binom{9}{7})} .

$P(X_{mix}=(1,x,y)|T=(1,x,y)) = \frac{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3}{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3 + 0.5 \times {9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3}=\frac{{10 \choose 3}}{{10 \choose 3}+{9 \choose 7}}.$ 除之外，其他所有情况均为0或1 ，这是上述概率的补充。给定的的分布与无关，因此对于是足够的统计量。

P (X_{m i x} = (2, x, y) | T = (1, x, y))

$P(X_{mix}=(2,x,y)|T=(1,x,y))$

X_{m i x}

$X_{mix}$

T

$T$

θ

$\theta$

T

$T$

θ

$\theta$

现在，根据充分原理，我们必须断定为同一和在，和从弱condionality原理，我们可以得出结论对于相同在和在，以及为在和在。因此，我们的结论在所有情况下都必须相同，这就是似然原理。 $(1,x,y)$ $(2,x,y)$ $E_{mix}$ $(x,y)$ $E_1$ $(1,x,y)$ $E_{mix}$ $(x,y)$ $E_2$ $(2,x,y)$ $E_{mix}$

Mayo的反证明：

Birnbaum的设置不是混合实验，因为未观察到标记为“ 1”和“ 2”的硬币的结果，因此弱条件性原则不适用于这种情况。

取检验对比然后从检验的p值得出结论。作为初步观察，请注意，的p值在由二项式分布近似给出 ; 的p值在由负二项式分布给出为约。 $\theta = 0.5$ $\theta > 0.5$ $(7,3)$ $E_1$ $0.1719$ $(7,3)$ $E_2$ $0.0898$

这里谈到的重要组成部分：的p值在给出的平均两个-记住，我们不知道硬币的状态- 即大约。然而的p值在 -其中观察硬币-在相同，即大约。弱条件性原则成立（结论在硬币落在“ 1”的和中是相同的），而似然原理则不然。该反例反驳了伯恩鲍姆定理。 $T=(1,7,3)$ $E_{mix}$ $0.1309$ $(1,7,3)$ $E_{mix}$ $E_1$ $0.1719$ $E_1$ $E_{mix}$

佩尼亚（Peña）和伯杰（Berger）驳斥了梅奥的反证：

Mayo隐含地更改了关于充分性原则的陈述：她将“相同的结论”解释为“相同的方法”。取p值是一种推断方法，而不是结论。

充分性原则表示，如果存在足够的统计量，则结论必须相同，但根本不需要使用足够的统计量。如果这样做的话，就会导致矛盾，正如梅奥所证明的那样。

— gui11aume
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附带说明一下，如果没有人能真正说出它们何时以及如何应用的话，人们可能会质疑创始原则的价值。我不知道为什么公理方法在概率论上效果很好，而在统计学理论上却没有那么好

— gui11aume