有关统计随机性的一些问题

从维基百科的统计数据来看：

全局随机性和局部随机性是不同的。大多数随机性的概念都是全局性的，因为它们是基于“从长远来看”序列看起来是真正随机的，即使某些子序列看起来不是随机的。例如，在一个足够长的“真正”随机数字序列中，很可能会有很长的零序列，但总的来说，该序列可能是随机的。局部随机性是指这样的想法，即可能存在最小序列长度，其中随机分布是近似的。相同数字的长距离延伸，即使是由“真正的”随机过程生成的数字，也将减少样本的“局部随机性”（对于10,000位数的序列，它可能仅是局部随机的；小于1,000的序列可能不会出现随机性例如）。

因此没有证明表现出模式的序列不是统计上随机的。根据Ramsey理论的原理，足够大的物体必须包含给定的子结构（“不可能完全混乱”）。

我不太明白这两个句子的含义。

1. 第一句话是否意味着某事物使序列在较长的长度上局部随机，而不是在较短的长度上局部随机？

   括号内的示例如何工作？

2. 第二句话是否意味着不能证明具有某种模式的序列不是统计上随机的？为什么？

谢谢

这个概念可以通过一些可执行代码很好地说明。 我们首先R使用一个好的伪随机数生成器创建10,000个零和一的序列：

set.seed(17)
x <- floor(runif(10000, min=0, max=2))

这通过了一些基本的随机数测试。 例如，t检验均值比较，具有的p值40.09％，这使我们能够接受的假设零和同样有可能。$1/2$$40.09$

从这些数字中，我们继续提取从5081st值开始的连续值的子序列：$1000$

x0 <- x[1:1000 + 5080]

如果它们看起来是随机的，它们还应该通过相同的随机数测试。例如，让我们测试一下它们的均值是否为1/2：

> t.test(x0-1/2)

    One Sample t-test

data:  x0 - 1/2 
t = 2.6005, df = 999, p-value = 0.009445
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
 0.01006167 0.07193833 
sample estimates:
mean of x 
    0.041 

低p值（小于1％）强烈地暗示均值显著大于大于。实际上，此子序列的累积总和具有强烈的上升趋势：$1/2$

> plot(cumsum(x0-1/2))

那不是随机行为！

将原始序列（绘制为累积总和）与此子序列进行比较，可以发现发生了什么：

长序列确实表现得像一个随机游走（应有的样子），但是我提取的特定子序列包含相同长度的所有子序列中最长的向上上升。看来我也可以提取出其他表现出“非随机”行为的子序列，例如以为中心的子序列，其中连续出现约20 个子序列！$9000$

正如这些简单的分析所示，没有任何测试可以“证明”序列是随机出现的。我们所能做的就是测试序列是否偏离预期的随机序列提供证据的行为，以至于他们不随机的。 这就是电池随机数测试的工作方式：它们寻找在随机数序列中极不可能出现的模式。很长一段时间，它们每次都会使我们得出结论，一个真正随机的数字序列不会出现随机现象：我们会拒绝尝试其他方法。

从长远来看，尽管就像我们都死了一样，任何真正的随机数生成器都会生成1000个数字的每个可能序列，并且它将无限次生成。从逻辑难题中解脱出来的是，我们将不得不等待很长时间才能出现这种明显的像差。

此摘录使用术语“局部随机性”和“全局随机性”来区分有限数量的随机变量样本可能发生的情况和随机变量的概率分布或期望值​​。

$x_i$$\{0,1\}$$\theta$$\theta$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \theta$

$[0,1]$$[a,b]$$0 \leq a < b \leq 1$$\theta$

这里没有新内容。

$n$

因此，我不会因为思考此摘要而消耗过多的脑细胞。从数学上讲，它不是那么精确，并且实际上对随机性具有误导性。

根据评论进行编辑：@kjetilbhalvorsen对您的评论+1以获取历史知识。但是，我仍然认为这些术语的价值是有限的并且具有误导性。您正在描述的表格似乎具有误导性含义，例如，样本的均值与实际期望值相差甚远，或者可能是不可能的（但肯定有可能是较长的重复0序列（在我的Bernoulli示例中））较少的随机性（通过说他们没有表现出这种假的“局部随机性”）。对于正在萌芽的统计学家，我再也想不出任何误导！

我认为Wikipedia帖子的作者误解了随机性。是的，可能会有一些延伸看起来不是随机的，但是如果创建序列的过程确实是随机的，那么输出也必须是随机的。如果某些序列似乎是非随机的，那就是读者的错误认识（即，人类被设计用来寻找模式）。我们在夜空中看到北斗七星和猎户座等的能力没有证据表明恒星的模式是非随机的。我同意随机性经常表现为非随机性。如果一个过程为短序列生成真正的非随机模式，则它不是随机过程。

我认为该过程不会因样本数量不同而发生变化。您增加了样本量，也增加了我们看到随机序列对我们来说似乎是非随机的可能性。如果我们有20％的随机观测结果有10％的可能性，将观测总数增加到10000将增加我们在某处看到非随机性的可能性。