自然对数的期望值

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我知道具有常数，因此给定，很容易解决。我也知道，当它是非线性函数时，例如在这种情况下，您不能应用它，为了解决这个问题，我必须做一个近似与泰勒的。所以我的问题是如何解决？我也可以和泰勒近似吗？ $E(aX+b) = aE(X)+b$ $a,b$ $E(X)$ $E(1/X) \neq 1/E(X)$ $E(\ln(1+X))$

mathematical-statistics

— 马特
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4

是的，您可以在这种情况下应用增量方法。

— Michael R. Chernick '09年

5

您还应该研究詹森不等式。

— kjetil b halvorsen 2012年

27

在纸上

YW Teh，D。Newman和M. Welling（2006），针对潜在Dirichlet分配的折叠变分贝叶斯推理算法， NIPS 2006，1353-1360。

围绕二阶泰勒展开用于近似： $x_0=\mathbb{E}[x]$ $\mathbb{E}[\log(x)]$

Ë [日志 （ X ）] \approx 日志 （ Ë [X] ） - \frac{V [X]}{2 Ë [X]^{2}} 。

$\mathbb{E}[\log(x)]\approx\log(\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2\mathbb{E}[x]^2} \>.$

这种近似对于它们的应用似乎非常有效。

通过期望的线性，对此稍作修改以适合当前收益率的问题，

Ë [日志 （ 1个 + X ）] \approx 日志 （ 1个 + Ë [X] ） - \frac{V [X]}{2 （ 1个 + Ë [X] ）^{2}} 。

$\mathbb{E}[\log(1+x)]\approx\log(1+\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2(1+\mathbb{E}[x])^2} \>.$

但是，可能会发生左侧不存在而右侧不存在的情况，因此在采用这种近似方法时应格外小心。

— 用户名
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3

有趣的是，这可用于获得digamma函数的近似值。

— 概率

6

另外，如果你并不需要一个精确表达式，经常的上限由Jensen不等式给出足够好： $\text{E}[\log(X + 1)]$

日志 [Ë （ X ） + 1个] \geq Ë [日志 （ X + 1个 ）]

$\log [\text{E}(X) + 1] \geq\text{E}[\log(X + 1)]$

— 达克斯顿
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X

$X$

\geq

$\ge$

\log

$\log$

5

$X$ $f_X$ $g$

Ë [G （ X ）] = \int G （ X ） d P = \int_{- \infty}^{\infty} G （ X ） F_{X} （ X ） d X ，

$E[g(X)]=\int g(X)\,dP = \int_{-\infty}^\infty g(x)\,f_X(x)\,dx \, ,$

— 禅
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1

g (x) = x^{2}

$g(x)=x^2$

E [| g (X) |] < \infty

$E[|g(X)|]<\infty$

2

g (x) = x

$g(x)=x$

2

@prob：不，您不需要在第一条评论中就使用该条件，即使在与该问题非常相关的情况下！（不过，对您的第二条评论+1 ，这也是我一直想发表评论的意思。）

— 主教

2

@prob：足够了，但是如果将您的第一条评论与第二条评论进行比较，您会明白为什么没有必要！:-)

— 主教

4

通常有两种方法：

$X$ $\ln(1+X)$ $\ln(1+x) f_{X}(x)$ $x$
如您所建议，如果您知道前几个时刻，则可以计算泰勒近似值。

— Glen_b-恢复莫妮卡
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