Y的密度=伽玛分布的X的log（X）

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假设我有一个随机变量，并且我定义。我想找到的概率密度函数。 $X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$ $Y = \log(X)$ $Y$

我原本以为我将只定义累积分布函数X，更改变量，然后将积分的“内部”作为我的密度，就像这样，

\begin{aligned} P (X \leq c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} x^{k - 1} e^{- \frac{x}{θ}} d x \\ P (Y \leq \log c) & = \int_{\log (0)}^{\log (c)} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} \exp (y)^{k - 1} e^{- \frac{\exp (y)}{θ}} \exp (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$

在这里我使用和 $y = \log x$ ，然后根据定义和定义。 $dy = \frac{1}{x} dx$ $x$ $dx$ $y$

不幸的是，输出未集成到1。我不确定我的错误在哪里。有人可以告诉我我的错误在哪里吗？

pdf gamma-distribution

— 鸭子值
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如果通过cdf进行操作，则不应将积分从第一个积分更改为第二个积分。您的错误在于尝试同时使用cdf和Jacobian方法。

— 西安

用指标写出密度，使图像清晰。

$X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$

f_{X} (x) = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} x^{k - 1} e^{- x / θ} I_{(0, \infty)} (x) .

$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$

$Y=g(X)=\log X$ $X=h(Y)=e^Y$

f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) | h^{'} (y) | = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} \exp (k y - e^{y} / θ) I_{(- \infty, \infty)} (y),

$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$

P (Y \leq y) = \int_{- \infty}^{y} f_{Y} (y) d y .

$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$

— 禅
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这是一个很好的答案，但也许您应该以与原始问题相同的方式来参数化Gamma分布。

— 假设正常的2012年

好点，最高做完了

— 2012年

α = k

$\alpha = k$