情况

一些研究人员想让您入睡。根据公平硬币的秘密抛掷，它们会短暂地唤醒您一次（正面）或两次（尾巴）。每次醒来后，它们都会使您重新入睡，服用一种使您忘记这种唤醒的药物。当您被唤醒时，您应该相信抛硬币的结果在多大程度上是正面？

（好吧，也许您不想成为该实验的对象！假设“睡美人”（SB）同意这一点（当然，在“魔幻王国”机构审查委员会的完全批准下。）她将去睡一百年，那又是一两天呢？

[ Maxfield Parrish插图的细节。]

您是进军还是第三者？

Halfer位置。 简单！硬币是公平的-SB知道-因此她应该相信有一半的正面机会。

第三位置。如果多次重复此实验，则硬币将仅在SB唤醒时间的三分之一时处于正面。她出现正面的概率将是三分之一。

第三者有问题

大多数但不是全部写过这篇文章的人都是第三方。但：

• 在SB入睡之前的周日晚上，她必须相信正面的机会是一半：这就是成为一枚公平硬币的意义。

• 每当SB醒来时，她在周日晚上都完全不知道自己不知道的任何事情。 那么，她可以说出什么理性的说法来表明她对头的信仰现在是三分之一而不是二分之一？

一些尝试的解释

• 如果SB以1/3以外的赔率下注，那么SB肯定会赔钱。（Vineberg，inter alios）

• 一半确实是正确的：只需使用Everettian的“许多世界”量子力学解释！（刘易斯）

• SB基于对世界“时间位置”的自我认知来更新自己的信念。（ELGA，IA）

• SB感到困惑：“ [似乎更合理的说法是，她醒来时的认知状态不应包括对头部的确定程度的信任。……真正的问题是如何应对已知的，不可避免的认知障碍。” [Arntzenius]

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问题

考虑到已经在该主题上写过什么（请参阅参考资料和上一篇文章），如何以统计学上严格的方式解决这个悖论？这有可能吗？

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参考文献

Arntzenius，Frank（2002）。 关于睡美人分析的思考 62.1页53-62。

布拉德利（DJ）（2010）。 在分支世界中的确认：埃弗雷特的解读和睡美人。英国 J.菲尔 科学 0（2010），1-21。

埃尔加·亚当（Elga，Adam）（2000）。自我定位的信念和“睡美人问题”。分析60页143-7。

弗朗西斯·保罗（Franceschi，Paul）（2005）。 睡美人与世界减少问题。预印本。

Groisman，Berry（2007）。 睡美人噩梦的终结。预印本。

刘易斯，D（2001）。 睡美人：回复Elga。分析61.3 pp 171-6。

Papineau，David和Victor Dura-Vila（2008）。 第三者和永恒者：对刘易斯的“量子睡美人”的回应。

Pust，Joel（2008）。 霍根论睡美人。合成160 pp 97-101。

苏珊·维尼伯格（日期不详，也许是2003年）。 美的警示故事。

战略

我想将理性决策理论应用到分析中，因为这是一种在解决统计决策问题上达到严格要求的成熟方法。在尝试这样做时，出现了一个特殊的困难：SB意识的改变。

• 理性决策理论没有机制来处理精神状态的改变。

• 在向SB询问她在硬币翻转中的信誉时，我们同时以某种自我参照的方式对待她（作为SB实验的对象）和实验者（关于硬币翻转）。

让我们以一种无关紧要的方式来改变实验：代替服用记忆消除药物，在实验开始之前准备一个稳定的Sleeping Beauty克隆。（这是关键思想，因为它可以帮助我们抵制分散注意力的问题，但最终却无关紧要且具有误导性）。

• 这些克隆人在各个方面都像她一样，包括记忆和思想。

• SB完全意识到这将会发生。

原则上，我们可以克隆。 ET杰恩斯（ET Jaynes）取代了“我们如何建立人类常识的数学模型”这个问题，以便思考“睡美人”问题。遵循明确表达理想化常识的明确原则？” 因此，如果您愿意，可以用Jaynes的思维机器人代替SB，然后克隆它。

（关于“思想型”机器的争论已经并且仍然存在。

“他们永远不会制造出可以代替人类思维的机器，它可以完成许多机器无法做到的事情。”

您坚持认为机器无法执行某些操作。如果您能准确地告诉我一台机器不能做什么，那么我总可以制造出一台机器可以做到这一点！”

--J。冯·诺依曼（von Neumann），1948年。ET杰恩斯（ET Jaynes）在《概率论：科学逻辑》一书中引文。4.）

-鲁伯·戈德堡

重温《睡美人》实验

在周日晚上准备份相同的SB副本（包括SB自己）。他们都同时入睡，可能长达100年。在实验期间，每当您需要唤醒SB时，请随机选择一个尚未唤醒的克隆。任何唤醒将在星期一发生，如果需要，在星期二发生。$n \ge 2$

我声称，该版本的实验会产生完全相同的可能结果集，直到SB的精神状态和意识以及完全相同的概率。这可能是哲学家可能选择攻击我的解决方案的关键点。我声称这是他们可以攻击它的最后一点，因为剩下的分析是常规且严格的。

现在我们应用通常的统计机制。 让我们从（可能有实验结果的）样本空间开始。让表示“星期一唤醒”，表示“星期二唤醒”。同样，让表示“头”，“ t”表示尾。用整数标克隆。然后可以将可能的实验结果写成（我希望是一种透明的，不言而喻的符号）Ť ħ 1 ，2 ，... ，$M$$T$$h$$1, 2, \ldots, n$

$$\eqalign{ \{&hM_1, hM_2, \ldots, hM_n, \\ &(tM_1, tT_2), (tM_1, tT_3), \ldots, (tM_1, tT_n), \\ &(tM_2, tT_2), (tM_2, tT_3), \ldots, (tM_2, tT_n), \\ &\cdots, \\ &(tM_{n-1}, tT_2), (tM_{n-1}, tT_3), \ldots, (tM_{n-1}, tT_n) & \}. }$$

星期一概率

作为SB克隆之一，您认为在单挑实验中星期一被唤醒的机会是（出现头部的机会）倍（我被选为被唤醒的克隆的机会为）。用更多的技术术语：1 /$1/2$$1/n$

• 结果集为。有个。$h = \{hM_j, j=1,2, \ldots,n\}$$n$

• 用头唤醒您的事件是。$h(i) = \{hM_i\}$

• 任何特定的SB克隆的机会与表示磁头的硬币被唤醒等于$i$

  $$\Pr[h(i)] = \Pr[h] \times \Pr[h(i)|h] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}.$$

周二概率

• 尾部结果集是。有个。通过设计，所有可能性均相同。n （n − 1 $t = \{(tM_j, tT_k): j \ne k\}$$n(n-1)$

• 您，克隆，在这些情况的中被唤醒；即，星期一可以唤醒您的种方式（星期二还可以唤醒剩余的克隆），以及星期二可以唤醒您的种方式（可以有星期一提供的克隆）。将此事件。（n - 1 ）+ （n - 1 ）= 2 （n - 1 ）n - 1 n - 1 n - 1 n - 1 t （i $i$$(n-1) + (n-1) = 2(n-1)$$n-1$$n-1$$n-1$$n-1$$t(i)$

• 在尾部实验中被唤醒的机会等于

  $$\Pr[t(i)] = \Pr[t] \times P[t(i)|t] = \frac{1}{2} \times \frac{2(n-1}{n(n-1)} = \frac{1}{n}.$$

贝叶斯定理

现在我们已经走到了这一步，贝叶斯定理 -毫无疑问的数学重言式-完成了这项工作。因此，任何克隆的正面机会为

$$\Pr[h | t(i) \cup h(i)] = \frac{\Pr[h]\Pr[h(i)|h]}{\Pr[h]\Pr[h(i)|h] + \Pr[t]\Pr[t(i)|t]} = \frac{1/(2n)}{1/n + 1/(2n)} = \frac{1}{3}.$$

因为SB与她的克隆人甚至是她自己都没有区别-这是当她被问到对头部的信任程度时应该给出的答案。

释义

问题“什么是正面概率” 对此实验有两个合理的解释：它可以要求一个公平的硬币落在正面的机会，即（Halfer答案），或者可以要求硬币有机会降落，前提是您的克隆人被唤醒。这是（第三答案）。PR [ ħ | 吨（我）∪ ħ （我）] = 1 /$\Pr[h] = 1/2$$\Pr[h|t(i) \cup h(i)] = 1/3$

在SB（或更确切地说是一套准备相同的Jaynes思维机中的任何一个）发现自己的情况下，这项分析-许多其他人都进行了（但我认为不那么有说服力，因为它们并没有那么明显地消除哲学上的干扰）在实验说明中）-支持Thirder答案。

Halfer的答案是正确的，但没有意思，因为它与SB发现自己的情况无关。这解决了悖论。

该解决方案是在一个定义明确的实验设置的背景下开发的。 澄清实验可以澄清问题。一个明确的问题会导致一个明确的答案。

评论

我猜想，按照Elga（2000）的观点，您可以合理地将我们的条件答案定性为“将您自己的时间位置算作与h的真相相关”，但是这种定性并不能增加问题的见解：它只会减损证据中的数学事实。在我看来，这似乎是断言概率问题的“克隆”解释是正确的一种模糊方法。

这种分析表明，潜在的哲学问题是同一性：未被唤醒的克隆发生了什么？这些克隆之间保持着什么认知和情感关系？-但是那次讨论不是统计分析的问题。它属于另一个论坛。

感谢您的精彩帖子（+1）和解决方案（+1）。这种悖论已经使我头疼。

我只是想到以下不需要仙女，奇迹或魔药的情况。在星期一中午翻转公平硬币。在“尾巴”上发送一封邮件给爱丽丝和鲍勃（以某种方式，他们不知道对方已经收到您的邮件，并且他们无法沟通）。在“头像”上，随机发送一封邮件给其中一个（概率为）。$1/2$

当爱丽丝收到邮件时，硬币落在“正面”上的概率是多少？她收到一封信的概率为，硬币落在“头像”上的概率为。1 /$1/2 \times 1/2 + 1/2 = 3/4$$1/3$

这里没有悖论，因为爱丽丝没有收到概率为的字母，在这种情况下，她知道硬币落在“头像”上。在这种情况下，我们不征求她的意见，这一事实确实使该概率等于0。$1/4$

那么区别是什么呢？为什么Alice会通过接收邮件来获取信息，而SB却什么都不会被唤醒？

转到一个更神奇的情况，我们让2个不同的SB进入睡眠状态。如果硬币落在“尾巴”上，我们会同时唤醒它们；如果硬币落在“正面”，我们会随机唤醒其中一个。在此，每个SB都应该说硬币落在“正面”上的概率是并且没有悖论，因为该SB不会被唤醒的可能性为。1 /$1/3$$1/4$

但是这种情况非常接近原始悖论，因为擦除内存（或克隆）等效于拥有两个不同的SB。所以，我和@Douglas Zare在一起（+1）。SB通过唤醒已经学到了一些东西。当硬币因为睡觉而不能在星期二表达自己的观点时，她无法表达自己的观点，这一事实并不能唤醒她所掌握的信息。

在我看来，悖论在于“ 她在周日晚上根本不了解她所不知道的一切 ”，这是没有道理的。我们之所以有这种印象，是因为唤醒她的情况是相同的，但这就像爱丽丝（Alice）收到邮件一样：事实是，询问她的意见可以为她提供信息。

主要编辑：经过深思熟虑之后，我改变了看法：《睡美人》一无所获，我在上面举的例子与她的处境并不是很好的比喻。

但这是一个不矛盾的等效问题。我可以和爱丽丝和鲍勃一起玩以下游戏：我偷偷抛硬币，并独立下注1 美元，让他们猜不到。但是，如果硬币落在“尾巴”上，则任意一个鲍勃·爱丽丝的赌注都将被取消（钱不会改变手）。既然他们知道规则，他们应该打赌什么？

“元首”显然。如果硬币落在“正面”上，则他们获得1 美元，否则，他们平均损失0.5 美元。这是否意味着他们认为硬币有2/3的机会落在“正面”上？一定不。简而言之，协议不会使每个答案获得相同的金额。

我相信《睡美人》与爱丽丝或鲍勃的处境相同。这些事件并没有给她有关掷球的信息，但是如果要求她下注，由于获得的不对称性，她的赔率不是1：1。我相信这就是@whuber的意思

Halfer的答案是正确的，但没有意思，因为它与SB发现自己的情况无关。这解决了悖论。

“每当SB醒来时，她在周日晚上都完全不知道自己不知道的一切。” 这是错误的，就像说“要么我赢了彩票，要么我不赢，所以概率是。她得知自己已经醒了。这是信息。现在她应该相信每次唤醒的可能性都是一样的，而不是每次掷硬币都一样。$50\%$

如果您是医生，并且有一个病人走进您的办公室，您已经了解到该病人已经走进了一个医生办公室，这应该更改您以前的评估。如果每个人都去看医生，但一半的患病人口是健康一半的人的百倍，那么当病人走进去时，您就会知道病人可能患病了。$100$

这是另一个细微的变化。假设抛硬币的结果如何，《睡美人》将被唤醒两次。但是，如果是尾巴，她会被很好地唤醒两次。如果是头脑，她将被很好地唤醒一次，并且将一桶冰倒在她身上。如果她在冰堆中醒来，便会知道硬币已经冒了出来。如果她能很好地醒来，则可以得知硬币可能没有冒出来。她不能进行不退化的测试，其阳性结果（ice）告诉她的头部更有可能，而阴性结果（nice）则表明头部的可能性较小。

悖论在于单个实验与其极限点之间的视角变化。如果考虑到＃个实验，您可以比三分法和三分法的“或”更为准确地理解这一点：

一次实验：悬停是正确的

如果有一个实验，则有三个结果，您只需要从唤醒的角度计算出概率：

1. 头被扔：50％
2. 甩尾巴，这是我第一次觉醒：25％
3. 甩尾巴，这是我的第二次觉醒：25％

因此，在一个实验中，在任何唤醒事件下，您都应假设自己处于50/50的状态，头部处于被甩动的状态

两个实验：42％的人是对的

现在，尝试两个实验：

1. 头部被扔了两次：25％（两次觉醒加起来）
2. 尾巴被扔两次：25％（所有四个觉醒合计）
3. 往尾巴走，这是我的第一次觉醒：25％/ 3
4. 头然后尾巴，这是我的第二次或第三次觉醒：25％* 2/3
5. 尾巴朝上，这是我的第一次或第二次觉醒：25％* 2/3
6. 尾巴紧贴头，这是我的第三次觉醒：25％/ 3。

因此，这里{1，3，6}是您的头部状态，合并概率为（25 + 25/3 + 25/3）％，即41.66％，小于 50％。 如果进行了两次实验，则在任何唤醒事件下，您都应假设您处于抛出Heads的状态的机会为41.66％

无限实验：第三者是对的

我不会在这里做数学运算，但是如果您查看两次实验选项，则可以看到＃1和＃2将其逼近一半，其余的将其逼近三分之一。随着实验数量的增加，朝两半（所有头/所有尾巴）方向行驶的期权的概率将降低至零，从而使“三分之二”的期权被接管。 如果进行了无限次实验，则在任何唤醒事件下，您都应假设自己处于抛出头部的状态的1/3机会

抢先反驳：

但是，赌博吗？

是的，在单个实验实例中，您仍应“赌博”三分之二。这不是矛盾。这只是因为您可能会在确定结果的情况下多次下相同的赌注，并且事先知道这一点。（或者，如果您不这样做，黑手党也可以）。

好吧，两个单独的实验怎么样？差异多少？

不，因为有关您是进行第一个实验还是第二个实验的知识会增加您的知识。让我们看一下“两个实验”选项，并根据您在第一个实验中的知识过滤它们。

1. 适用于第一次唤醒（1/2）
2. 适用于前两次唤醒（2/4）
3. 适用于
4. 从不适用
5. 适用于第一次唤醒（1/2）
6. 不适用

好吧，将Heads（1,3,6）乘以这些，将几率乘以适用性：25/2 + 25/3 + 0 = 125/6。

现在取尾巴（2,4,5）并执行相同的操作：25 * 4/2 + 0 + 25 *（2/3）/ 2 = 125/6。

中提琴，他们是一样的。有关您实际上在进行哪个实验的附加信息实际上会调整您所知道的几率。

但是，克隆！！

简而言之，与OP的答案相反，克隆创建了一个等效的实验：克隆加随机选择确实改变了实验对象的知识，就像“多个实验”改变了实验一样。如果存在两个克隆，则可以看到每个克隆的概率与两次实验的概率相对应。无限克隆收敛到第三者。但这不是同一实验，也不是同一知识，就像一个具有单个非随机主题的实验一样。

您说“无限的随机数”，我说选择公理依赖

我不知道，我的理论并不好。但是给定N小于无穷大，您可以建立一些从一半收敛到三分之一的序列，等于三分之一的无穷大情况在最坏的情况下将是正确的或不确定的，无论您调用哪种公理。

让我们来解决这个问题。

如果硬币正面朝上，则SB永远不会唤醒。

如果是尾巴，则SB被唤醒一次。

现在的营地是Halfers和Zeroers。显然，调零器是正确的。

或者：头->醒一次；尾巴->醒了一百万次。显然，由于她醒着，很可能是尾巴。

（关于“新信息”的主题-信息可能已被破坏。因此，另一个问题是：她是否丢失了曾经拥有的信息？）

“每当SB醒来时，她在周日晚上都完全不知道自己不知道的一切。”

这是不正确的，这是Halfer参数中的错误。很难与之争论的一件事是，基于这种陈述的混混论点很少比我引用的更为严格。

有三个问题。首先，该论点没有定义“新信息”的含义。这似乎意味着“根据证据，原本不可能为零的事件不可能发生。” 其次，它从不枚举周日的已知信息以了解其是否符合该定义；如果您正确看待它，它可以。最后，没有定理说“如果没有这种新信息，就无法更新”。如果有，贝叶斯定理将产生一个更新。但是得出结论，如果您没有这些新信息，就无法更新，这是一个谬论。成为谬论并不意味着事实并非如此，这意味着您不能仅根据这些证据得出结论。

在星期日晚上，说SB自己滚动一个假想的六面模。由于是虚构的，因此她无法查看结果。但目的是查看它是否与她醒着的那一天匹配：偶数表示匹配星期一，而奇数表示星期二。但是两者无法同时匹配，有效地区分了这两天。

SB现在可以（即星期日）计算{头/尾巴，星期一/星期二，比赛/不比赛}的八种可能组合的概率。每个将是1/8。但是当她醒着时，她知道{Heads，Tuesday，Match}和{Heads，Tuesday，No Match}都没有发生。这构成了Halfers论据说不存在的形式的“新信息”，它使SB可以更新研究人员的硬币落在头上的可能性。她的假想硬币是否匹配实际天数是1/3。由于两者相同，因此她是否知道匹配项为1/3。实际上，无论她是否死掉，或者是否幻想死掉。

要获得结果，这个额外的死似乎很困难。实际上，这不是必需的，但是您需要对“新信息”进行不同的定义以了解原因。只要先前样本空间中的重要事件（即独立且非零概率）与后样本空间中的重要事件不同，就可以进行更新。这样，贝叶斯定理中比率的分母就不是1。虽然这通常在证据使某些事件具有零概率时发生，但在证据改变事件是否独立时也可能发生。这是一种非常非常规的解释，但之所以有用，是因为给予“美丽”一个以上的机会来观察结果。我的假想死亡的区别在于日子，目的是使系统成为总概率为1的系统。

在星期日，SB知道P（清醒，星期一，尾巴）= P（清醒，星期一，尾巴）= P（清醒，星期二，尾巴）= 1/2。这些总数加起来超过1/2，因为事件不是基于SB在周日获得的信息而独立的。但是当她醒着的时候他们是独立的。根据贝叶斯定理，答案是（1/2）/（1/2 + 1/2 + 1/2）= 1/3。分母大于1没什么错；但是假想的硬币论证是为了在没有这种分母的情况下完成相同的事情而设计的。

我只是重新了解了这一点。自从上一篇文章以来，我已经完善了一些想法，并认为我可能会在这里找到他们的听众。

首先，关于如何解决此类争议的哲学：说出论点A和B。每个都有一个前提，一系列推论和一个结果；结果不同。

证明一个论点不正确的最佳方法是使其推论之一无效。如果在这里有可能，就不会有争议。另一个是证明前提，但是您不能直接这样做。您可以争辩说为什么不相信一个人，但是除非您可以说服其他人停止相信它，否则这将无法解决任何问题。

要间接证明前提错误，您必须从中推论出另一种推论顺序，从而导致前提的荒谬或矛盾。错误的方法是说相反的结果违反了您的前提。那意味着一个人错了，但没有指出哪一个。

+++++

混血儿的前提是“没有新信息”。他们的推论顺序是空的-不需要。Pr（头|觉醒）＝ Pr（头）＝ 1/2。

第三者（特别是Elga）有两个前提-Pr（H1 |觉醒和星期一）= Pr（T1 |觉醒和星期一），而Pr（T1 |觉醒和尾巴）= Pr（T2 |觉醒和尾巴）。然后，不可推论的推论序列导致Pr（Heads | Awake）= 1/3。

请注意，当SB醒着时，第三方不会假设有新信息-他们的前提基于存在的任何信息-是否存在“新”信息。而且我从未见过有人为第三者前提为何错误而辩解，只是它违反了一半结果。因此，halfers没有提供我列出的任何有效参数。只是谬误之一。

但是，从“没有新信息”中可以得​​出其他推论，其推论序列以Pr（Heads | Awake）= 1/2开头。一种是Pr（Heads | Awake and Monday）= 2/3，Pr（Tails | Awake and Monday）= 1/3。这确实与第三者的前提相矛盾，但是就像我说的那样，对第三者的事业没有帮助，因为这仍然可能是他们的前提是错误的。具有讽刺意味的是，这个结果确实证明了一些事实-混和前提本身就是矛盾的。SB在周日说Pr（Heads | Monday）= Pr（Tails | Monday），因此添加“ Awake”信息使她可以更新这些概率。这是新信息。

因此，我证明了混混前提是不正确的。那并不意味着第三者是正确的，但是这确实意味着第三者没有提供任何相反的证据。

+++++

我发现还有另一个论点更具说服力。它不是完全原始的，但是我不确定适当的观点是否已经得到足够的重视。考虑不同的实验：SB总是在两天都唤醒；通常是在漆成蓝色的房间里，但是在赫兹之后的星期二，是在漆成红色的房间里。如果她发现自己在蓝色的房间里醒了，她应该说出现正面的概率是多少？

我认为没有人会认真地争论那只是1/3。可能有三种情况与她当前的情况相对应，所有情况都是一样的，只有一种情况包括元首。

重点是此版本与原始版本之间没有区别。她“知道”的-她的“新信息”-不是H2。不管如何，或者如果她知道，如果可以的话，她都知道可能是H2。如果她知道不适用，则她观察自己不适用的情况的能力就无关紧要。

我不敢相信混蛋的前提。它基于一个事实-她无法观察到H2-没关系，因为她可以并且确实观察到它不是H2。

因此，我希望我能提出令人信服的论点，说明为什么有一半条件是无效的。一路上，我知道我已经证明了第三者的结果必须是正确的。

可能的醒来的三分之一是元首醒来，而可能的醒来的三分之二是尾巴醒来。但是，公主（或其他任何人）的一半是元首公主，而另一半是尾巴公主。尾巴公主的醒悟次数分别是元首公主的两倍。

从公主的角度来看，有三种可能。她是第一次（也是唯一一次）唤醒的头公主（），第一次（）唤醒的Tails公主或第二次（）唤醒的尾巴公主。似乎没有理由假设这三个结果具有同等可能性。而是，和。$H1$$T1$$T2$$P[H1]=0.5$$P[T1]=0.25$$P[T2]=0.25$

我还没有读过Vineberg的推理，但我想我可以看到她是如何的合理下注的。假设每次公主醒来时，她都会下注表示自己是Heads公主，如果她确实是Heads公主，则获得$ 1，否则获得$ 0。然后，Heads公主将获得，而Tails公主将在每次播放时获得。由于Tails公主必须玩两次，并且一半公主是Heads公主，因此预期收益为，公允价格为。$ $\$1/3$$\$x$$ （- X ）$ （1 - 3 X ）/ 2 $ 1 /$\$(1-x)$$\$(-x)$$\$(1-3x)/2$$\$1/3$

通常，这是确凿的证据，证明概率为，但是在这种情况下，通常的推理并不成立：注定要输掉赌注的公主必须玩两次游戏，而注定要赢的公主将下注两次。只玩一次！这种不平衡使概率和公平下注之间的通常关系解耦。$1/3$

（另一方面，被指派帮助唤醒过程的技术人员实际上只有三分之一的机会被指派给Heads公主。）

当您被唤醒时，您应该相信抛硬币的结果在多大程度上是正面？

“ 应该 ” 是什么意思？我的信念会带来什么后果？在这样的实验中，我什么也不会相信。这个问题被标记为decision-theory，但是，按照这个实验的构想，我没有动力做出决定。

我们可以用不同的方式修改实验，以便让我有一个答案。例如，我可能会因为是因为“ Heads”还是“ Tails”而被唤醒而感到guess测，每给出一个正确答案，我都会得到糖果。显然，在那种情况下，我会选择“尾巴”，因为在重复的实验中，每个实验平均可以赚到一个糖果：在50％的情况下，我会选择“尾巴”醒来两次，两次我都会赚到糖果。在其他50％（“正面”）中，我一无所获。如果我回答“正面”，那么每个实验只能赚到一半的糖果，因为我只有一次回答的机会，而且我会在50％的时间内正确。如果我自己给一个合理的答案扔硬币，我就是$3/4$

另一种可能性是，在我所有答案都正确的每个实验中赚一个糖果。在那种情况下，我给出哪个系统的答案都没有关系，因为平均而言，每个实验我将获得一半的糖果：如果我决定一直都回答“正面”，那我是正确的。 50％的情况，“尾巴”也是如此。只有当我自己扔硬币时，我才能赚到的糖果：在50％的情况下，研究人员会扔“ Heads”，在其中的50％的情况下，我也会扔“ Heads”，赚钱我糖 在其他50％的情况下，当研究抛弃“尾巴”时，我将不得不抛弃“尾巴”两次，$3/8$$1/4$$1/4$在这种情况下，这样我只能赚到的糖果。$1/8$

如何以统计学上严格的方式解决这个悖论？这有可能吗？

定义“ 统计上严格的方式 ”。关于信仰的问题没有任何实际意义。只有行动很重要。

这个问题是模棱两可的，因此似乎只有一个悖论。问题是这样提出的：

当您被唤醒时，您应该相信抛硬币的结果在多大程度上是正面？

与这个问题混淆：

当您被唤醒时，您应该相信Heads是您被唤醒的原因的程度？

在第一个问题中，概率为1/2。在第二个问题中，为1/3。

问题在于陈述了第一个问题，但是在实验的上下文中隐含了第二个问题。那些下意识地接受暗示的人说是1/3。从字面上看这个问题的人都说是1/2。

那些困惑的人不确定他们要问哪个问题！

我真的很喜欢这个例子，但我认为有一点要与一些令人讨厌的干扰混淆。

为避免造成干扰，一个争论者应尝试辨别该问题的抽象图解表示形式，该图解表示形式显然超出了合理的怀疑范围（作为适当的表示形式），并且可以进行验证性处理（由合格的其他人重新操纵）以证明权利要求。作为一个简单的示例，请考虑一个（抽象的数学）矩形，并声称可以将其制成两个三角形。

绘制一个自由手矩形作为数学矩形的表示形式（在您的图形中，四个角度将不完全相加180度，相邻的线将不完全相等或笔直，但是没有任何真正的疑问，它不能代表真正的矩形）。现在通过从另一角到另一角画一条线来操纵它，其他任何人都可以做，并且您得到两个三角形的表示，而这个三角形没有人会合理地怀疑。对此的任何质疑似乎都是胡说，只是。

我在这里要说明的一点是，如果您毫无疑问地将SB问题表示为联合概率分布，并且可以以此表示为条件进行实验中发生的事件，则可以声明是否学到了什么通过可验证的操作可以证明该事件的发生，并且不需要（哲学上的）讨论或质疑。

现在，我更好地表达自己的尝试，读者将需要辨别我是否成功。我将使用概率树来表示实验中一天睡眠的联合概率（DSIE），星期一的硬币翻转结果（CFOM）以及假设一个人在实验中睡眠而醒来的概率（WGSIE）。我将根据p（DSIE）* p（CFOM | DSIE）* p（WGSIE | DSIE，CFOM）绘制出来（实际上只是在此处写出）。

我想将DSIE和CFOM称为可能的未知数，将WGSIE称为可能的已知，那么p（DSIE，CFOM）是先验的，而p（WGSIE | DSIE，CFOM）是数据模型或似然性，而贝叶斯定理适用，而没有将此标记为在逻辑上是相同的条件概率。

现在我们知道p（DSIE = Mon）+ p（DSIE = Tues）= 1且p（DSIE = Tues）=½p（DSIE = Mon）

因此p（DSIE = Mon）= 2/3和p（DSIE = Tues）= 1/3。

现在P（CFOM = H | DSIE = Mon）= 1/2，P（CFOM = T | DSIE = Mon）= 1/2，P（CFOM = T | DSIE = Tues）= 1。

P（WGSIE | DSIE =。，CFOM =。）始终等于1。

先验等于

P（DSIE = Mon，CFOM = H）= 2/3 *½= 1/3

P（DSIE =星期一，CFOM = T）= 2/3 *½= 1/3

P（DSIE =周二，CFOM = T）= 1/3 * 1 = 1/3

因此，CFOM = 1/3 H和2/3 T的边际先验，以及在实验中睡觉时被唤醒的后验–是相同的（因为没有学习发生）–因此您的先验是2/3T。

好–我哪里出问题了？我需要复习概率论吗？

一个简单的解释就是，睡美人可以通过3种方式唤醒尾巴，其中两种是从尾巴折腾。因此，每次她醒来的机率必须是1/3的头脑。我已经在博客文章中概述了它

反对“ halfer”观点的主要观点如下：在贝叶斯意义上，SB一直在寻找自己拥有什么新信息。实际上，她决定参加实验的那一刻，她有了其他信息，当她醒来时可能会在几天之内。或者换句话说，缺乏信息（清除内存）是在这里巧妙地提供证据的原因。

与许多问题一样，这取决于问题的确切含义：

当您被唤醒时，您应该相信抛硬币的结果在多大程度上是正面？

如果您将其解释为“抛硬币的正面几率是多少”，那么答案显然是“一半比例”。

但是，您要问的不是（按照我的解释），而是“这是当前唤醒是由元首引起的机会吗？”。在那种情况下，显然只有三分之一的唤醒是由元首引起的，因此最可能的答案是“尾巴”。

这是一个非常有趣的问题。我会给出我的答案，就好像我要睡美人一样。我觉得关键要理解的是，我们100％信任实验者。

1）在星期天晚上，如果您问我硬币正面朝上的可能性，我会告诉您。$\frac{1}{2}$

2）每当您叫醒我并问我时，我都会告诉您。$\frac{1}{3}$

3）当您告诉我这是您最后一次唤醒我时，我将立即切换为告诉您概率为。$\frac{1}{2}$

显然（1）源自硬币是公平的事实。（2）是基于这样一个事实，当您被唤醒时，从您的角度来看，您处于3种可能的情况之一。它们每个都可能以概率发生。$\frac{1}{2}$

然后（3）按照相同的方式进行，除了一旦您被告知这是您最后一次被唤醒，您可能陷入的情况就减少到2（因为现在是尾巴，这是您第一次唤醒是不可能的）。

我将针对一般情况解决此问题，在一般情况下，SB 在“ Heads”之后被“ ”次唤醒，在“ Tails”之后被“ ”次唤醒，且。$m$$n$$m≤n$

具体来说，如果硬币是“元首”，她将在...上醒来。

第1
天第2天 day
$\cdots$
$\cdots$
$m$

...如果硬币是'尾巴'，她将被唤醒...

第1
天第2天 第天
$\cdots$
$\cdots$
$n$

$m≤n$

那么对于这个特定问题，将是和。我不会做任何假设，将仅使用给定的信息来表示硬币是公平的，因此在唤醒之前，它是 SB唤醒后，她不知道今天是星期几，或者之前是否被唤醒。她只知道一个公平的硬币被扔了可能的结果“正面”和“反面”。她还知道唤醒发生在“第1天”或“第2天”或或“第天”。对于可能的结果“ Heads”，有“ ”个可能的结果，我将其命名为，，，。$m=1$$n=2$

$$P(Heads)=P(Tails)=1/2.$$ $\ldots$$n$$m$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$D_1$：该觉醒是在“1天”发生：该觉醒是发生在“第2天”：该觉醒是发生在“3天”：该觉醒是发生在“日 ”
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_m$$m$

对于可能的结果“尾巴”，存在“ ”个可能的结果，包括上述“ ”个可能的结果。$n$$m$

$D_1$：该觉醒是在“1天”发生：该觉醒是发生在“第2天”：该觉醒是发生在“3天”：该觉醒是发生在“日 ”
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_n$$n$

因此有可能的结果。现在，假设硬币已 “正面”，则事件，，，的可能性相同。因此... 此外，鉴于硬币已 “尾巴”，事件，，，同样可能。因此... 现在，对于任何可能的事件，其中为整数且$m+n$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$$P(D_1|H)=P(D_2|H)=\ldots=P(D_m|H) = \frac{1}{m}$$ $D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$ $$P(D_1|T)=P(D_2|T)=\ldots=P(D_n|T) = \frac{1}{n}$$ $D_i$$i$$1≤i≤m$ $$P(D_i\cap H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{m} = \frac {1}{2m}$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$ 对于，显然是... $m<i≤n$ $$P(D_i∩H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times0=0$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$

现在让我们计算可能发生的事件，，，的概率$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

对于 对于$1≤i≤m$

$$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T) = \frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T)=0+\frac {1}{2n} = \frac {1}{2n}$$

现在我们可以计算出在SB醒着的情况下“正面”的概率。如上所述，唤醒时可能的事件是，，，。因此，概率是...$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$$\begin{align}P(H|awake)&=P(H|(D_1∪D_2∪...∪D_n))\\ &\\ &=\frac {P(H∩(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac {P((H∩D_1)∪(H∩D_2)∪\ldots∪(H∩D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_m)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_m)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2m}\times m + 0\times(n-m)}{(\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n})\times m + \frac {1}{2n}\times(n-m)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2}+0}{\frac {1}{2}+\frac{m}{2n}+\frac {1}{2}-\frac{m}{2n}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac {1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \end{align}$$

我们已经有了答案，但让我们还计算出在特定日期发生唤醒的情况下“头部”或“尾巴”的可能性

对于$1≤i≤m$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2m}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{n}{m+n}$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2n}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{m}{m+n}$$

对于$m<i≤n$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{0}{P(D_i)}=0$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}=1$$

我知道对于那些相信“ 1/3”答案的人来说，这不是答案。这只是条件概率的简单使用。因此，我不认为这个问题是模棱两可的，因此是自相矛盾的。通过弄清哪些是随机实验以及哪些实验的可能事件，会使读者感到困惑。

由于睡美人不记得她之前已经醒过多少次，鉴于她已经醒了一次，所以我们不是在考虑Heads的机率，而是考虑到她至少醒过一次的Heads机率：

因此我们有：而不是$P(Heads\mid x\geq1) = 1/2$ $P(Heads\mid x=1) = 1/3$

因此，答案是50％（正确的答案是正确的），并且没有悖论。

人们似乎把这项工作远，远远要复杂得多它确实是！

非统计地

睡美人尽其善良的天分，可以在她的睡眠中进行假设性的实验，这将使她的信念得到塑造：

import numpy as np

# Take clones of our Sleeping Beauties.
# One type of clones is persistently heads guessing,
# the other persistently guesses tails.

# Keeping score for heads guessing Sleeping Beauty ...
guessed_heads_right = 0

# ... and also for the tails guessing Sleeping Beauty
guessed_tails_right = 0

# Coding the toss outcomes
HEADS = 0
TAILS = 1


# Function to wake up heads guessing Sleeping Beauty
def heads_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == HEADS


# Function to wake up tails guessing Sleeping Beauty
def tails_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == TAILS


# Repeating the tossing and awakenings many times
for i in range(1000):

    # Toss fair coin, result is either HEADS or TAILS
    toss = np.random.randint(0, 2)

    # Waking SBs up first time and count successful guesses
    if heads_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_heads_right += 1
    if tails_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_tails_right += 1

    # If toss was TAILS, wake SBs up second time ...
    if toss == TAILS:

        # ... and counts successful guesses
        if heads_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_heads_right += 1
        if tails_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_tails_right += 1

# Print the raw statistics
print('Guessed HEADS right: {}'.format(guessed_heads_right))
print('Guessed TAILS right: {}'.format(guessed_tails_right))

输出：

Guessed HEADS right: 498
Guessed TAILS right: 1004

因此，我们的《睡美人》相信会更好地猜测尾巴。

从统计上来说呢？

上面的算法不是a statistically rigorous way要确定要猜测的内容。但是，这确实使我们清楚地知道，在出现尾巴的情况下，她会猜测两次，因此猜测尾巴的概率是正确猜测的两倍。这是根据实验的操作步骤进行的。

概率论

频繁概率是基于Fisher，Neyman和（Egon）Pearson理论的统计概念。

惯常概率的基本概念是，实验中的操作可以重复（至少假设是无限次）。每个这样的操作导致结果。$n$$E_{n}$

结果的频率概率定义为：$E$$Pr(E)\equiv\texttt{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{E_{n}}{N}\right)$

这正是“睡美人”在她的头上所做的：如果是在猜对HEADS时是对的事件，则收敛到。$E$$Pr(E)$$\frac{1}{3}$

她相信吗？

因此，当她最终以自己的推理到达这里时，她在统计学上有严格的依据可以相信。但是她如何最终塑造它们，实际上取决于她的心理。

我只是想出一种新的方式来解释我的观点，以及1/2答案有什么问题。使用同一个硬币盖同时运行两个版本的实验。一个版本与原始版本相同。另外，需要三个（或四个-没关系）志愿者。每个人都分配有不同的首长或尾巴和星期一或星期二的组合（如果只使用三个志愿者，则省略首长+星期二的组合）。将它们分别标记为HM，HT，TM和TT（可能省略HT）。

如果以这种方式唤醒第二个版本的志愿者，则她知道自己同样可能被标记为HM，TM或TT。换句话说，假设她醒着，被标记为HM的概率是1/3。由于硬币翻转和日期对应于此任务，因此她可以轻松推断出P（Heads | Awake）= 1/3。

第一版中的志愿者可以被唤醒多次。但是由于“今天”只是这两个可能的日子之一，所以当她醒着时，她获得的信息与第二版中醒着的志愿者完全相同。她知道自己目前的情况可以对应于其他志愿者（只有一名）的标签。也就是说，她可以对自己说：“标有HM或HT或TT的志愿者也都醒着。由于每个人都有同等的可能性，因此有1/3的机会是HM，所以有1/3的机会降落了硬币尾巴。”

人们会犯错误的原因是，他们将“实验期间的某个时间醒了”与“现在醒了”混为一谈。1/2的答案来自于原来的SB对自己说：“无论是HM是唯一的其他志愿者清醒NOW，或TM与TT是BOTH清醒。有时在实验过程中，由于各人情况同样有可能，有机会的1/2是HM，所以硬币有1/2的机会落在尾巴上。” 这是一个错误，因为现在只有另一个志愿者醒了。

我不想给出一个统计上严格的答案，而是想以一种可以说服直觉使他们成为半信半疑的人的方式稍微修改问题。

一些研究人员想让您入睡。根据公平硬币的秘密抛掷，它们会唤醒您一次（正面），或唤醒九百九十九次（尾巴）。每次唤醒后，它们都会使您使用一种使您忘记这种唤醒的药物而入睡。

当您醒来时，您应该相信抛硬币的结果是正面吗？

按照与以前相同的逻辑，可能会有两个阵营-

• Halfers-掷硬币很公平，SB知道这一点，因此她应该相信有一半的正面机会。
• 千人 -如果重复进行多次实验，抛硬币的概率只有千分之一，所以她应该相信有正负的几率是千分之一。

我认为，最初提出的问题引起的一些混淆仅仅是因为两者之间没有太大的区别。人们自然会将概率视为模糊的概念（尤其是当概率是置信度而不是频率时），并且很难将置信度的一半和三分之一相加。

但是，千分之二和千分之一之间的差异更明显。我声称，对更多人来说，直观上显而易见的是，这个问题的答案是千分之一，而不是一半。我希望看到“ halfer”使用此版本的问题来捍卫他们的论点。

如果睡美人不得不说头或尾-她将通过选择尾巴将预期的0-1损失函数（每天评估）最小化。但是，如果仅在每次试验中评估0-1损失函数，则正面或反面都将同样好。

第三人获胜

让我们假设一个公平的骰子，而不是硬币：

on friday, the sleeping beauty will sleep:
if the dice == 1 , they will awake her on saturday;
if the dice == 2 , they will awake her on saturday and sunday;
if the dice == 3 , they will awake her on saturday, sunday and monday;
if the dice == 4 , they will awake her on saturday, sunday, monday and tuesday;
if the dice == 5 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday and wednesday;
if the dice == 6 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday, wednesday and thursday;

每当他们问她“你认为骰子的结果在多大程度上是1？”

半身人将说骰子= 1的概率是1/6 ，三分者将说骰子= 1的概率是1/21

但是模拟显然可以解决问题：

days <- c("saturday", "sunday", "monday", "tuesday", "wednesday", "thursday")

#she will answer the dice was 1 every time 
#the trick here is that this is not absolutely random because every day implies the days before it. 


number_of_correct_answer <- 0
number_of_days <- 0
for (i in 1:1000){
dice <- sample(1:6,1)
for (item in days[1:dice]){
        number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (dice == 1)
        number_of_days <- number_of_days + 1
}
}
number_of_correct_answer/number_of_days
#equals 1/21
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment has more than one day we will get 1/6
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/6

我们也可以模拟折腾问题

days <- c("monday", "tuesday")
number_of_correct_answer <- 0
number_of_tosses <- 0
for (i in 1:1000){
        toss <- sample(1:2,1)
        for (item in days[1:toss]){
                number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (toss == 1)
                number_of_tosses <- number_of_tosses + 1
        }
}
number_of_correct_answer/number_of_tosses
#equals 1/3
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment can has more than one toss we will get 1/2
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/2

明显的悖论源于错误的前提，即概率是绝对的。实际上，概率与所计数事件的定义有关。

这是了解机器学习的重点。我们可能希望通过将某事物分解为由以下模型建模的因子（各个时间中字母的概率，）分解来计算某物（例如，给定音频的转录正确）的概率。而不是看整个音频，而是看它的瞬间（它计算）。可以等于因为P的定义不同。不能将不同的P放入同一方程式，但是仔细的分析可以使我们在两个域之间转换。$P(Letter,Time|Audio)$$P(Letter|Time,Audio)$$P(Letter,Time)$$P(Letter|Time)$

P（Heads）= 1/2 wrt世界（或出生）和P（Heads = 1/3 wrt）瞬间（或觉醒）都是正确的，但是入睡后，Sleeping Beauty只能计算瞬间的概率因为她知道自己的记忆会被抹去。（在睡觉之前，她会针对世界进行计算。）

我认为错误来自“第三者”，而我的原因是“唤醒”的可能性不一样-如果您被唤醒，则更有可能是“第一次”被唤醒-75实际上有％的机会。

这意味着您不能相等地计算“ 3个结果”（heads1，tails1，tails2）。

我认为这也似乎是的情况，其中是SB被唤醒的命题。说两次是对的，就等于说一次。SB尚未提供新数据，因为根据先前的预测为。把它的其他方式的和。这意味着$AA=A$$A$$Pr(A|I)=1$$I\implies A$$IA=I$$p(H|AI)=p(H|I)=0.5$

@ pit847给出的答案中清楚地显示了数学，所以我不会在我重复。

但是，就投注美元来猜测每次唤醒时的结果而言，如果您是正确的，则会得到美元。在这种情况下，您应该总是猜到尾巴，因为此结果是“加权的”。如果硬币是尾巴，那么您将下注两次。因此，如果您猜测正面为 ，则您的预期获利（称为） 用于猜测尾巴 $1$$g$$U$

$$E(U|h)=0.5\times (g-1) + 0.5\times (-2) = \frac{g - 3}{2}$$ $$E(U|t)=0.5\times (-1) + 0.5 \times (2g-2)=\frac{2g - 3}{2}$$

因此您平均猜测尾巴会额外获得。“合理下注”金额为$\frac{g}{2}$$g=\frac{3}{2}=1.5$

现在，如果我们重复上述操作，但使用第三个而不是一半，则会得到和。因此，我们仍然认为猜测是更好的策略。此外，“合理下注”金额为$E(U|h)=\frac{g-5}{3}$$E(U|t)=\frac{4g-5}{3}$$g=\frac{5}{4}=1.25$

现在我们可以说，“第三者”应该在的情况下下注。但是“ halfers”不会下注。@Ytsen de Boer有一个可以测试的模拟。我们有和，因此下注赔率将为您带来的获胜赌注。但是......你不得不玩次得到这个-这是净亏损 -这样的“thirders”输！还请注意，这实际上是对押尾的稍微有利的结果。$g=1.4$$498$$502$$1004 \times 1.4 = 1405.6$$1502$$97.6$

当《睡美人》醒来时，她知道：

扔了一枚公平的硬币得出结果 ; 如果则这是随后的唯一唤醒；如果则这是随后的两次唤醒之一。$r$$r = \mathrm{H}$$r = \mathrm{T}$

将此信息。与她的问题无关的是：$\mathcal{I}$

什么是$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I})?$

这是分配概率的问题，而不是推断概率的问题。如果是唤醒次数，则等于 $w$$\mathcal{I}$

$$(r = \mathrm{H} \vee r = \mathrm{T}) \wedge (r = \mathrm{H} \implies w = 1) \wedge (r = \mathrm{T} \implies (w = 1 \vee w = 2))$$

在逻辑上等效于

$$(r = \mathrm{H} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 2)$$

《睡美人》没有更多信息。根据理由不足的原则，她必须为每个析取项分配的概率。因此，。$\frac{1}{3}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{3}$

---

聚苯乙烯

稍加思考，当“公平硬币”被解释为仅意味着硬币翻转结果有两种可能性时，适用上述答案：或。但是，对“公平硬币”一词的更忠实的解释是，它直接指定，于是答案在问题陈述中给出。$\mathrm{H}$$\mathrm{T}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{2}$

在我看来，不过，这样的语句在技术上均不予受理，因为概率的东西必须制定出从前提和后果的命题。短语“抛掷公平硬币的秘密”提出了一个问题：《睡美人》如何知道它是公平的？她有什么信息可以证明这一点？通常，理想的硬币的公平性是根据存在两种在信息上等效的可能性这一事实得出的。当硬币翻转与唤醒因素混合在一起时，我们得到三种在信息上等效的可能性。它本质上是一个三面理想的硬币，因此我们得出了上面的解决方案。

晚会晚了，我知道。

这个问题与Monty Hall问题非常相似，要求您在3个门中的哪一个后面猜测。假设您选择1号门。然后，主持人（知道奖金在哪里）将3号门从游戏中删除，并询问您是否要将猜测从1号门切换到2号门，还是坚持最初的猜测。故事是，您应该始终切换，因为奖品出现在2号门的可能性更高。人们通常会在这一点上感到困惑，并指出奖品出现在任一扇门中的概率仍然是1/3。但这不是重点。问题不是最初的概率是多少，真正的问题是，您的第一个猜测正确的机会是什么，而您弄错的机会是什么？在这种情况下，您应该进行切换，因为错误的机会是2/3。

与Monty Hall问题一样，如果将3个门变成一百万个门，情况将变得更加清晰。如果有一百万个门，并且您选择了1号门，而演示者将3个门关闭到100万个门，只剩下1号门和2号门在起作用，您会切换吗？当然可以！首先，您正确选择1号门的机会是百万分之一。您可能没有。

换句话说，推理的错误来自于当两者之间的上下文没有使它们等同的陈述时，认为执行一个动作的可能性等于已经执行一个动作的可能性。换个说法，根据问题的背景和情况，“正确选择”的概率可能与“正确选择”的概率不同。

睡美人问题同样如此。如果您没有被尾巴唤醒2次，而是被唤醒一百万次，那么您说“我现在正在经历的这次唤醒很可能是在从尾巴掷出的数百万次醒来，比我刚好碰到了元首造成的那一次觉醒还好。” 这是一个公平的硬币的论点与这里的任何事情都没有关系。公平的硬币只会告诉您“扔”头的几率，即第一次扔硬币时必须醒一遍而不是一百万次的概率。因此，如果您在实验前要求SB选择在每次掷球前睡一次还是一百万次，那么她“正确选择”的机率确实为50％。

但是从那时起，假设进行了连续实验，并且没有告知SB当前正在进行哪个实验，在她被唤醒的任何时候，“抛出”头部的可能性要小得多，因为她更有可能是从一百万次唤醒中唤醒的，而不是一次。

请注意，根据问题的措辞，这意味着要进行连续的实验。如果从实验开始就让SB保证只有一个实验（即只有一个toin coss），那么她的信念就会回到50％，因为在任何时间点，她可能都已经醒了现在很多次都变得无关紧要了。换句话说，在这种情况下，“正确选择”和“正确选择”的可能性再次相等。

还要注意，任何使用“博彩”的表述也是完全改变上下文的不同问题。例如，即使在一个实验中，如果每次正确猜对都能够赚钱，那么显然您会费尽心机；但这是因为期望的报酬更高，而不是因为出现尾巴的概率与人头不同。因此，任何引入下注的“解决方案”仅在将问题分解成非常特殊的解释的范围内才有效。

在SB睡觉之前，她认为下一次掷硬币的机会是1/2。唤醒后，她认为最近一次掷硬币的机会是正面的1/3。这些事件不是一回事，因为唤醒和掷硬币之间没有一对一的对应关系。

如何解决以下问题：

问题是评估硬币“正面”出现的可能性。因此，如果“睡美人”在周一醒来并知道是哪一天，她确实必须相信“头部”出现的可能性是50％。

但是，如果她在星期二醒来并且知道今天是哪一天，那么硬币正面朝上的可能性将为零。

因此，知道哪一天是增加了改变“头脑”概率的关键信息。

但是，《睡美人》不知道她醒来的那一天。因此，我们需要确定分别在星期一或星期二醒来的可能性。

首先，让我们考虑星期二的可能性。当实验者掷硬币时，结果将决定他将遵循哪种实验方案。如果是积极的话，SB只会在星期一醒来。如果是尾巴，那么她在星期一和星期二都被醒来。采用这些路径之一的实验概率显然为50/50。现在，如果我们处于“两次唤醒”分支，则在SB唤醒时是星期二或星期一的概率均为50％。因此，我们可以计算出当SB醒来时它是星期二的总概率为0.5 * 0.5 = 0.25。显然，她醒来时是星期一的机率是1-0.25 = 0.75

如果SB知道她在星期二醒来，那么硬币出现“正面”的可能性将为零。

但是，如果她知道自己星期一醒来，那么硬币冒出“正面”的可能性将是50％。但我们知道星期一为机率是0.75。因此，要找出硬币出现“正面”的总概率，我们需要乘以0.75 * 0.5 = 0.375

因此，答案是硬币“正面”出现的概率为37.5％

以上仅是一个建议。请指出，如果您发现我的推理存在缺陷。