42

我很困惑。我不了解ARMA和GARCH流程的区别。

这是（G）ARCH（p，q）过程

σ_{t}^{2} = \underset{G A R C H}{\underset{⏟}{\underset{A R C H}{\underset{⏟}{α_{0} + \sum_{i = 1}^{q} α_{i} r_{t - i}^{2}}} + \sum_{i = 1}^{p} β_{i} σ_{t - i}^{2}}}

$\sigma_t^2 = \underbrace{ \underbrace{ \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ir_{t-i}^2} _{ARCH} + \sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-i}^2} _{GARCH}$

这是ARMA（）： $p, q$

X_{t} = c + ε_{t} + \sum_{i = 1}^{p} φ_{i} X_{t - i} + \sum_{i = 1}^{q} θ_{i} ε_{t - i} .

$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$

ARMA是否只是GARCH的扩展，GARCH仅用于收益，并且假设，其中遵循强白色过程？ $r = \sigma\varepsilon$ $\varepsilon$

arima garch finance

— 约翰
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1

除了fg nu的答案外，GARCH中的方差过程是随时间变化的。但是，这里有一个技巧，就是给定SP500的对数返回时间序列，那么要获得波动率过程，我们应该怎么做？有人说我们需要使用ARMA模型提取残差序列，然后将此残差序列插入GARCH模型中以获得条件方差过程？还是直接将对数返回插入SP500的对数返回过程插入GARCH模型以获得条件方差？

48

您正在将流程的功能与其表示相混淆。考虑（返回）过程。 $(Y_t)_{t=0}^\infty$

ARMA（p，q）模型将过程的条件均值指定为

\begin{aligned} E (Y_{t} ∣ I_{t}) & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j}+ \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k}\\ \end{align}$ 这里，是在时间设置的信息，它是由结果过程的滞后值生成的代数。。

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

的GARCH（R，S）model指定条件方差的方法的 $\begin{aligned} V (Y_{t} ∣ I_{t}) & = & V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) \\ \equiv & σ_{t}^{2} & = & δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{j} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{k} ϵ_{t - m}^{2} \end{aligned}$ $\begin{alignat}{2} & \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &{}={}& \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) \\ \equiv \,& \sigma^2_t&{}={}& \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_j \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_k \epsilon^2_{t-m} \end{alignat}$

特别注意第一个等价。 $\mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t)= \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t)$

另外：根据此表示，您可以编写，其中是强白噪声过程，但这是根据定义过程的方式得出的。

ϵ_{t} \equiv σ_{t} Z_{t}

$\epsilon_t \equiv \sigma_t Z_t$

Z_{t}

$Z_t$

这两个模型（用于条件均值和方差）彼此完全兼容，因为可以将过程均值建模为ARMA，将方差建模为GARCH。这导致了该过程的ARMA（p，q）-GARCH（r，s）模型的完整规范，如下所示 $\begin{aligned} Y_{t} & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} + ϵ_{t} \\ E (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = 0, \forall t \\ V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{l} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{m} ϵ_{t - m}^{2} \forall t \end{aligned}$ $\begin{align} Y_t &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j} + \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k} +\epsilon_t\\ \mathbb{E}(\epsilon_t\mid \mathcal{I}_t) &=0,\, \forall t \\ \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) &= \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_l \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_m \epsilon^2_{t-m}\, \forall t \end{align}$

— 查克拉法蒂
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如果所有回归变量都滞后，您是否不应该在时间限制信息？

t - 1

$t-1$

— 亚瑟（Jase）2012年

@Jase请注意定义，“是在时间设置的信息，它是由结果过程的滞后值生成的代数。” 也就是说，。一些作者将此写为但这与在时间设置的信息的概念背道而驰。

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

I_{t} = σ (Y_{t - 1}, Y_{t - 2} \dots,)

$\mathcal{I}_t = \sigma(Y_{t-1}, Y_{t-2}\ldots,)$

I_{t - 1}

$\mathcal{I}_{t-1}$ $t$

— tchakravarty

真好！您知道为什么我们使用西格玛代数而不是过滤吗？

— 亚瑟（Jase）2012年

1

@Jase，信息集的序列构成过滤。

(I_{t})_{t = 0}^{\infty}

$(\mathcal{I}_t)_{t=0}^\infty$

— tchakravarty

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编辑：我意识到答案是缺少的，因此提供了一个更准确的答案（请参阅下面-或上面）。我已经为事实错误编辑了此文件，并将其留作记录。

不同的焦点参数：

ARMA是用于实现随机过程的模型，其中强加了过程条件均值的特定结构。
GARCH是用于实现随机过程的模型，其中强加了过程条件方差的特定结构。

~~随机与确定性模型：~~

~~从因变量-随机过程的实现-指定为滞后因变量和滞后模型误差（条件均值）的确定性函数与随机误差项之和的意义上讲，ARMA是一种随机模型。~~
~~GARCH是确定性模型，因为从变量（过程的条件方差）是滞后变量的纯粹确定性函数。~~

— 理查德·哈迪
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1

在您定义的意义上，GARCH过程的条件方差是确定性的，但GARCH过程不是，因为，而与的滞后无关。

r_{t} = σ_{t} ε_{t}

$r_t=\sigma_t\varepsilon_t$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

t

$t$

— mpiktas 2015年

1

@mpiktas，是的。如果GARCH模型包含两个方程式，一个方程式用于条件均值（您在上面编写了一个示例），另一个方程式用于条件方差（在直观上，尽管从数学上来说，不是模型的“主要方程式”），但我的论证仅适用对后一个方程式。

— 理查德·哈迪

10

阿玛

考虑遵循ARMA（）过程的。为了简单起见，它的均值为零且方差恒定。有条件地根据信息，可分为已知的（预定）部分（给定的的条件均值）和随机部分： $y_t$ $p,q$ $I_{t-1}$ $y_t$ $\mu_t$ $y_t$ $I_{t-1}$ $u_t$

\begin{aligned} y_{t} & = μ_{t} + u_{t}; \\ μ_{t} & = φ_{1} y_{t - 1} + \dots + φ_{p} y_{t - p} + θ_{1} u_{t - 1} + \dots + θ_{q} u_{t - q} (known, predetermined); \\ u_{t} | I_{t - 1} & \sim D (0, σ^{2}) (random) \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &= \mu_t + u_t; \\ \mu_t &= \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \theta_1 u_{t-1} + \dotsc + \theta_q u_{t-q} \ \ \text{(known, predetermined)}; \\ u_t | I_{t-1} &~\sim D(0,\sigma^2) \ \ \text{(random)} \\ \end{aligned}$

其中是一些密度。 $D$

的条件均值 本身遵循类似于ARMA（一个过程），但没有随机同期误差项：其中 ; 对于 ; 并且表示。请注意，此过程的顺序为（）而不是（），如。 $\mu_t$ $p,q$

μ_{t} = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m},

$\mu_t = \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m},$

m := max (p, q)

$m:=\max(p,q)$

φ_{i} = 0

$\varphi_i=0$

i > p

$i>p$

θ_{j} = 0

$\theta_j=0$

j > q

$j>q$

p, m

$p,m$

p, q

$p,q$

y_{t}

$y_t$

我们还可以根据过去的条件均值（而不是过去的实现值）和模型参数来写的条件分布为 $y_t$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = σ^{2}, \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \sigma^2, \end{aligned}$

后一种表示法使ARMA与GARCH和ARMA-GARCH的比较更加容易。

GARCH

考虑遵循GARCH（）过程的。为简单起见，假设它的常数为常数。然后 $y_t$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = μ; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \mu; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

其中并且是某个密度。 $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$

的条件方差 如下类似于ARMA（进程），但没有随机同期误差项。 $\sigma_t^2$ $s,r$

阿玛·格奇

考虑具有无条件均值为零，如下的ARMA（）-GARCH（）的过程。然后 $y_t$ $p,q$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

其中 ; 是某种密度，例如“正常”；对于 ; 并且表示。 $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$ $\varphi_i=0$ $i>p$ $\theta_j=0$ $j>q$

的条件均值过程中由于ARMA基本上具有相同的形状条件方差过程中由于GARCH，只是滞后阶数可以是不同的（允许的非零无条件均值不应显著改变此结果）。重要的是，随机误差项都不以，因此两者都是预先确定的。 $y_t$ $I_{t-1}$

— 理查德·哈迪
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3

ARMA和GARCH流程的介绍非常相似。两者之间的分界线很细，因为当假设ARMA流程用于误差方差时，我们得到GARCH。

— 用户名
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GARCH和ARMA有什么区别？

阿玛

GARCH

阿玛·格奇