Wolfram Mathworld是否会错误地描述具有概率密度函数的离散概率分布？

通常，使用概率质量函数（PMF）描述离散变量的概率分布：

当使用连续随机变量时，我们使用概率密度函数（PDF）而不是概率质量函数来描述概率分布。

- 深度学习的古德费洛，Bengio和库维尔

但是，Wolfram Mathworld使用PDF来描述离散变量的概率分布：

这是一个错误吗？还是没关系？

— czlsws
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我认为这很草率，但不是很重要。如果他们从量度理论的角度看待概率，那甚至是有根据的，尽管对于介绍掷硬币来说似乎有点多。（奇怪的是，他们似乎没有关于PMF的文章。）

— Dave

pmf是相对于计数手段的密度

— 西安，

当您在由3个元素指定的度量空间级别上讨论概率论时，pdf和pmf没有什么不同，因此pmf被删除。可以通过pdf指定所有分布。wolfram是一个数学网站，因此他们使用高级数学谈论概率不足为奇。这里是不错的免费阅读。stat.washington.edu/~pdhoff/courses/581/LectureNotes/...

— user158565

Answers:

这不是一个错误：在对概率的形式化处理中，通过量度理论，概率密度函数是感兴趣的概率量度的衍生形式，是针对“主导量度”（也称为“参考量度”）采取的。对于整数的离散分布，概率质量函数是关于计数度量的密度函数。由于概率质量函数是概率密度函数的一种特殊类型，因此有时您会发现像这样的引用将其称为密度函数，以这种方式引用它们并不是错误的。

在关于概率和统计的普通论述中，通常会避免使用该术语，而是在“质量函数”（对于离散随机变量）和“密度函数”（对于连续随机变量）之间进行区分，以区分离散分布和连续分布。在其他情况下，当人们陈述概率的整体方面时，通常最好忽略这种区别，并将两者都称为“密度函数”。

— 恢复莫妮卡
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感谢您的回答。请问treatment“在概率的正规治疗”平均符号，角度，公约或其他什么东西？

— czlsws

当我在这里谈论“形式处理”时，我指的是概率论的现代基础，它是测量理论的子集。那是被视为概率形式形式基础的数学理论。

— 恢复莫妮卡

“概率密度函数是感兴趣的概率度量的导数”在我看来，从某种意义上讲，它比起导数更像是“反积分”。有不连续的PDF，例如均匀分布，离散分布可以视为Dirac delta函数之和。在这种情况下，必须将泛化的概念推广到远远超出一般理解的范围。

— 16:37处累计

@累积-均匀分布如何不连续？与测量理论相比，测量和理论是对积分和微分的更一般的处理。

— jbowman

@Accumulation：是的，这是一个公平的表征，实际上，这就是完成的工作。从技术上讲，密度是Radon-Nikodym衍生物，的确是您所描述类型的“反积分”类型。

— 恢复莫妮卡

除了从量度理论方面获得更多理论答案外，在统计编程中不区分pmfs和pdf也很方便。例如，R具有丰富的内置分布。对于每个发行版，它具有4个功能。例如，对于正态分布（来自帮助文件）：

dnorm gives the density, pnorm gives the distribution function, qnorm gives the quantile function, and rnorm generates random deviates.

R用户迅速使用d,p,q,r前缀。如果您必须执行诸如丢弃d和m用于二项式分布的操作，那将很烦人。相反，一切都与R用户期望的一样：

dbinom gives the density, pbinom gives the distribution function, qbinom gives the quantile function and rbinom generates random deviates.

— 约翰·科尔曼
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scipy.stats区别在于，某些对象具有pdf方法，而另一些具有pmf方法。这真的让我很烦！

— 马修·德鲁里