解决德国坦克问题

是否有一个正式的数学证明了解决德国坦克问题是的函数仅参数ķ（观察到的样本数）和米（观察到的样品中的最大值）？换句话说，可以证明该解决方案与最大值以外的其他样本值无关吗？

可能性

概率论中的常见问题是在给定特定模型并给定涉及参数（称为）的情况下，观察的概率。例如，纸牌游戏或骰子游戏中特定情况的概率通常非常简单。$x_1, x_2, ... , x_n$$\theta$

但是，在许多实际情况下，我们正在处理相反的情况（推论统计）。也就是说：给定了观测值，现在模型是未知的，或者至少我们不知道某些参数。$x_1, x_2, ... , x_k$$\theta$

在这些类型的问题中，我们通常将其称为参数的可能性，这是对给定观测值的特定参数的相信率。假设模型参数假设为真，则将该术语表示为与观测值的概率成比例。$\mathcal{L(\theta)}$$\theta$$x_1, x_2, .. x_k$$x_1, x_2, .. x_k$$\theta$

$$\mathcal{L}(\theta,x_1, x_2, .. x_k) \propto \text{probability observations $x_1, x_2, .. x_k$ given $\theta$ }$$

对于给定的参数值，某个观测值的可能性更大（相对于其他参数值的概率），观测值支持该特定参数（或假设该参数的理论/假设）越多。（相对）较高的可能性将加强我们对参数值的信念（对此有更多的哲学意义）。$\theta$$x_1, x_2, .. x_n$

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德国坦克问题的可能性

现在对于德国坦克问题，一组样本的似然函数为：$x_1, x_2, .. x_k$

$$\mathcal{L}(\theta,x_1, x_2, .. x_k ) = \Pr(x_1, x_2, .. x_k, \theta) = \begin{cases} 0 &\text{if } \max(x_1, x_2, .. x_k) > \theta \\ {{\theta}\choose{k}}^{-1} &\text{if } \max(x_1, x_2, .. x_k) \leq \theta, \end{cases}$$

从参数的均匀分布考虑样本时，无论观察样本{1、2、10}还是样本{8、9、10}都没有关系。这两个样本都具有的可能性，并且使用可能性的想法，一个样本比另一个样本没有更多地介绍参数。$\theta$${{\theta}\choose{3}}^{-1}$$\theta$

高值{8，9，10}可能会使您认为/相信应该更高。但是，只有值{10}确实为您提供了有关可能性的相关信息（值10告诉您将为10或更高，其他值8和9对此信息没有任何帮助）。$\theta$$\theta$$\theta$

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Fisher Neyman分解定理

该定理告诉您，某个统计量（即，观测值的某些函数，例如均值，中位数或德国坦克问题中的最大值）足以（包含所有信息）您可以在似然函数中排除依赖于其他观测值，以使该因子既不依赖于参数也不依赖于参数和（和将数据与假设参数值相关联的似然函数部分仅取决于统计信息，而不取决于整个数据/观察值。$T(x_1, x_2, … , x_k)$$x_1, x_2, … , x_k$$\theta$$x_1, x_2, … , x_k$

德国坦克问题的情况很简单。您可以在上面看到，上述“可能性”的整个表达式仅取决于统计，其余值无关紧要。$\max(x_1, x_2, .. x_k)$$x_1, x_2, .. x_k$

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以小游戏为例

假设我们反复玩以下游戏：本身是一个随机变量，并以100或110的相等概率绘制。然后绘制样本。$\theta$$x_1,x_2,...,x_k$

我们要根据观察到的选择一种猜测的策略，以最大程度地提高对的正确猜测的可能性。$\theta$$x_1,x_2,...,x_k$$\theta$

除非样本中的数字之一大于100，否则适当的策略是选择100。

当许多趋向于都是接近于100的高值（但没有正好超过100）时，我们可能会很想选择参数值110 ，但这是错误的。当真实参数值是100时，这样的观察的概率会比110时大。因此，如果我们在这种情况下猜测参数值为100，那么我们犯错误的可能性就较小（因为当真实值为100而不是真实值为110时，这些接近100的高值但仍然低于该值的情况更常发生。$x_1,x_2,...,x_k$

您尚未提供“问题”的精确表述，因此不清楚您要证明的内容。从贝叶斯角度来看，后验概率确实取决于所有数据。但是，每次观察特定的序列号将最支持该序列号。也就是说，给定任何观察值，假设“实际坦克数为 ” 的假设的后验概率与先验概率之比将大于“实际坦克数为[以外的数字]” 的假设。因此，如果我们从统一的先验开始，那么在看到该观察值之后，将具有最高的后验。$n$$n$$n$$n$

考虑一下我们有数据点并假设。显然，的后验为零。而我们的后验将比以前更大。原因是在贝叶斯推理中，缺乏证据就是缺乏证据。任何时候，我们有我们的机会可能已经作出的观察，将有我们的概率降低，但不这样做，概率增大。因为我们可以看到，这将使后验者设置为零，所以我们没有看到它的事实意味着我们应该为$13$$N=10,13,15$$N=10$$N=13,15$16 Ñ = 13 ，15 Ñ = 13 ，15 Ñ = 13 14 ，15 ，16 ，。。。N = 15 16 N = 13 N = 15 N = 13 N = 13 N = 15 N$16$$N=13,15$$N=13,15$。但是请注意，数字越小，我们可以看到的更多数字将排除该数字。对于，在看到之后，我们将拒绝该假设。但是对于，我们将需要至少来拒绝该假设。由于假设比更容易伪造，因此我们不伪造的事实更多地证明了，而不是不伪造的事实更证明了。$N=13$$14,15,16,...$$N=15$$16$$N=13$$N=15$$N=13$$N=13$$N=15$$N=15$

因此，每当我们看到一个数据点时，它会将位于其下方的所有元素的后验置零，并增加其他所有元素的后验，而较小的数字将获得最大的提升。因此，获得最大提升的数字将是后验未设置为零的最小数字，即观测值的最大值。

小于最大值的数字会影响最大值获得的提升幅度，但不会影响最大值获得最大提升的总体趋势。考虑上面的示例，我们已经看过。如果我们看到的下一个数字是，将会有什么效果？它可以帮助个大于，但是两个数字都已被拒绝，因此这无关紧要。它在以上帮助了，但是在以上已经帮助了，因此这并不影响哪个数字得到了最大的帮助。$13$$5$$5$$6$$13$$15$$13$$15$