当变量表现出完美的同时依赖时，多元中心极限定理（CLT）是否成立？

标题总结了我的问题，但为清楚起见，请考虑以下简单示例。令，。定义：和 我的问题：即使当时和完全相关，和收敛变为的联合正态分布？ $X_i \overset{iid}{\backsim} \mathcal{N}(0, 1)$ $i = 1, ..., n$

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\begin{equation} S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{equation}$

T_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i}^{2} - 1)

$\begin{equation} T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 1) \end{equation}$

S_{n}

$S_n$

T_{n}

$T_n$

n = 1

$n = 1$

\sqrt{n} S_{n}

$\sqrt{n} S_n$

\sqrt{n} T_{n}

$\sqrt{n} T_n$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

动机：我对这个问题的动机是基于这样一个事实，即当时 $S_n$ 和 $T_n$ 完全依赖于感到奇怪（但妙极了），但多元CLT的含义是它们以接近独立性（这是因为和对于所有不相关，因此，如果它们渐近联合法线，则它们也必须渐近独立）。 $n = 1$ $n \rightarrow \infty$ $S_n$ $T_n$ $n$

在此先感谢您的任何回答或评论！

ps，如果您可以提供任何参考资料等等，那就更好了！

— 科林·T·鲍尔斯
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没有答案，但有评论。我觉得这并不奇怪。您注意到的对n = 1的依赖性随n的增加而迅速降低。

— Erik

@egbutter提供了一个很好的答案。如果您仍在寻找其他选择或其他直觉，请ping我，我将看到编写一些不同的内容。

— 主教

@cardinal非常感谢您的报价，但在这一点上我还是很高兴-我将赏金授予了egbutter。我想我有直觉。我发帖的主要目的是看是否有人跳了进来，然后说：“不，不，不，您是因为...而错了所有。” :-)干杯。

— 科林·T·鲍尔斯

Answers:

据我了解，您的q的简短答案是“是，但是...”在S，T和其他任何时刻的收敛速度不一定相同-请查看确定Berry-Esseen定理的界限。

万一我误解了您的q，Sn和Tn甚至在弱依赖（混合）条件下坚持使用CLT：请查看Wikipedia的CLT中的依赖过程。

CLT是这样一个普遍定理-基本证据要求不外乎特征函数锡和Tn收敛于标准正态分布的特征函数，然后利维连续性定理说的特征函数的收敛意味着分布的收敛。

John Cook 在这里为CLT错误提供了很好的解释。

— 黄油
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感谢您的回答。就这个问题而言，我真的并不担心收敛速度，也不会担心CLT是否会在更一般的条件下（例如依赖关系）成立。我真正希望的是当每个和的第i个成分表现出完美的同时依赖性时，证明使用多元 CLT的理由是正确的。随后，我在戴维森（Davidson）的“随机极限理论”中找到了一个参考，指出在任意同时代依赖的情况下，多元CLT成立，但仍在对该声明进行一些严谨的规定。

— 科林·T·鲍尔斯

听起来您想得太多了。您在[1，n]中的i是您所指的“同期”组件吗？如果是这样，那么重要的一点是您的Sn和Tn仍将收敛（您可以使用与上述“老派” CLT证明相同的方法来证明自己），但是对于给定的i，它们的误差会不一样这不会改变CLT成立的事实。多/单变量区分并不重要。

— egbutter 2012年

是的，i是同期组件。关于通过示例运行示例的好建议。我实际上已经做到了，却没有发现任何问题，这使我更加紧张。也许这时我想得太多了：-)再次感谢您的答复。如果在一天结束之前没有其他人对答案有任何疑问，我会在您的回答中标记为答案。干杯。

— Colin T Bowers

我当然可以同感-我经常做同样的事情！:)

— egbutter 2012年

当然，这并不能证明任何事情，但是我总是发现进行模拟和绘制图形对于理解理论结果非常方便。

这是一个特别简单的情况。我们生成随机正态变量，并计算和；重复次。绘制了 1、10、100 和。很容易看到随着增加，依赖性减弱。在该图几乎与独立性没有区别。 $n$ $S_n$ $T_n$ $m$ $n = 1, 10, 100$ $1000$ $n$ $n = 100$

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))

在此处输入图片说明

— 洪大井
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