中心极限定理和大数定律

关于中央极限定理（CLT），我有一个非常初学者的问题：

我知道CLT指出iid随机变量的均值近似为正态分布（对于，其中是求和的索引）或标准化随机变量将具有标准正态分布。 $n \to \infty$ $n$

现在，《大数定律》粗略地说，iid随机变量的均值（概率或几乎确定地）收敛至其期望值。

我不明白的是：如果按照CLT的规定，均值大致呈正态分布，那么它又如何同时收敛到期望值呢？

对我而言，收敛将意味着，随着时间的推移，平均值取非预期值的概率几乎为零，因此，分布的确不是正态的，而是除预期值外，各处均几乎为零。

欢迎任何解释。

probability normal-distribution convergence central-limit-theorem law-of-large-numbers

— 佩加
source

答案的关键在于问题中出现“标准化”一词的地方。

— Whuber

对不起，但我不确定我是否理解。

— 佩加

提示：一个定理约为

已方差

，其他约

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_i X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

具有方差

\frac{1}{n} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{n}\sum_i X_i$

。

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

— Dilip Sarwate

中心极限定理与旅程有关，而强数定律与目的地有关。

— 红衣主教

此图显示（蓝色），（红色）和（金）的独立且均等分布（iid）正态分布（单位方差和均值）的均值分布： $n=1$ $10$ $100$ $\mu$

Three overlapping PDFs

$n$ $\mu$ $(a,b)$ $\mu$ $[a,b]$ $n$ $1$

$0$ $\mu$

$n$ $n$

— ub
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@whuber一个很好的答案，我将感谢您对弱大数定律所能理解的一些解释。

— Subhash C. Davar

@subhash参见en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers#Weak_law。

— ub