直观了解协方差，互协方差，自相关/互相关和功率谱密度

我目前正在为我的ECE学士学位学习基础统计学的决赛。

虽然我认为我的数学大部分都处于下降状态，但我缺乏直觉上的理解数字的实际含义。

我知道E [X]是X的所有结果按其概率加权的“加权平均值”。

Var [X]给出与E [X]平方的期望方差，因此告诉我们有关分布“模糊性”的一些信息。

我知道公式的其他属性，但缺乏任何直觉。有人有很好的解释/资源来帮助您吗？

协方差，因为你可能会从名称猜测，表示两个变量的趋势共同改变或“移动”起来。如果cov（，）为正，则的较大值与较大值关联，而的较小值与较小值关联。如果协方差为负，则相反：小 s与大 s 相关，反之亦然。例如，我们期望薪水与工作年限之间存在较高的协方差，而体重与最高跑步速度之间存在较低或负的协方差。$X$$Y$$X$$Y$$X$$Y$$X$$Y$

协方差与比例有关（例如，如果重量以千克或磅为单位，您将获得不同的协方差），并且单位有点奇怪（在我们的两个示例中，美元-年和千克-米/秒），所以我们通常通过除以来标准化协方差以获得相关性。相关性是无单位的，范围为-1至1，这使得它很容易测量线性关联。（该线性位是非常重要的警告！）$\sigma_x \cdot \sigma_y$

现在，假设我们有一系列以某种方式排序的值；这些通常是（但并非总是）时间序列。该自相关函数是在位置/时间值之间的相关性是与在其它位置的值，$t$$(t-1)$$(t-2)$高自相关性可能表示该序列变化缓慢，或者等效地，当前值是可以从以前的值预测的。尽管方差和协方差是标量（即单个值），但是自相关是一个向量-您可以为每个“滞后”或“差距”获得一个自相关值。由于白噪声是随机的，因此它具有非常平坦的自相关函数。由于附近的像素通常具有相似的颜色和亮度，因此自然图像通常具有广泛的空间自相关性。回波可能在中心附近有一个峰值（因为声音是自相似的），在静音期间是一个平坦的区域，然后是另一个构成回波本身的峰值。

互相关通过将一个序列相对于另一个序列进行移位来比较两个序列。像自相关一样，它产生一个向量。向量的中间就是和之间的相关性。在此之前的条目是的副本和Y的偏移量之间的相关性。中间后面的项是的副本与的关系，的副本略有偏移。（如果您熟悉卷积，则非常相似）。如果和是彼此的副本（可能是延迟的），则它们将具有互相关函数，某个位置的峰值为1.0，峰值的位置由延迟确定。$X$$Y$$X$$X$$Y$$X$$Y$

所述自协方差和互协方差函数是像他们的相关的等同物，但是未缩放; 与协方差和相关之间的差异相同。

甲功率谱密度告诉你的信号的功率是如何被分布在不同的频率。纯音（即正弦波）的PSD除了音的频率外是平坦的。自然信号和声音具有更加复杂的PSD，具有谐波，泛音，共鸣等。这与其他概念有关，因为自相关函数的傅立叶变换是PSD。