对数的期望值和方差（a）

我有一个随机变量 $X(a) = \log(a)$ 其中，a是正态分布 $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ 。关于 $E(X)$ 和我能说什么 $Var(X)$ ？近似也将有所帮助。

— Rocksportrocker
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我认为问题在于对数正态的“逆”，即，当正常rv A导致对数正态X = exp（A）时，发问者正在询问X = log（A）的分布是未定义的（由于有时需要记录负数）。截断的法线可能会有一些结果，但是它们可能很杂乱。

— Martin O'Leary 2013年

正如@Martin O'Leary所指出的，rocksportrocker在数学上不可能有这样的变量

X

$X$ ，因为

\log (a)

$\log(a)$ 没有为负值定义。您至少需要截断

a

$a$ 在一些非负值。您能告诉我们为什么您相信

a

$a$ 可能是正常的吗？

— whuber

如果从一般意义上考虑“近似”，我们可以找到一个地方。

我们不必假设我们具有实际的正态分布，而是近似于正态的东西，除了密度不能在0附近为非零。

因此，让我们说，是“大约正常”（并集中在靠近平均值*）在一定意义上，我们可以handwave酒店约有关注即将接近0（及其上的时刻，后续影响，因为没有按't'下降到0附近'），但是具有与指定正态分布相同的低阶矩，那么我们可以使用泰勒级数来近似转换后的随机变量的矩。 $a$ $a$ $\log(a)$ $a$

对于一些变换，这涉及扩大为泰勒级数（认为其中正在采取的'角色 '和取的“角色 ”），然后采取的期望，然后或者计算方差或膨胀（可从其获得的方差）的平方的期望。 $g(X)$ $g(\mu_X + X-\mu_X)$ $g(x+h)$ $\mu_X$ $x$ $X-\mu_X$ $h$

所得的近似期望和方差为：

$\text{E}\left[g(X)\right]\approx g(\mu_X) +\frac{g''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

$\text{Var}\left[g(X)\right]\approx \left(g'(\mu_X)\right)^2\sigma^2_X$

等等（如果我没有犯任何错误），当： $g() = \log()$

E [\log (a)] \approx l o g (μ_{a}) - \frac{σ_{a}^{2}}{2 μ_{a}^{2}}

$\text{E}\left[\log(a)\right]\approx log(\mu_a) -\frac{\sigma_a^2}{2\mu_a^2}$

Var [\log (a)] \approx σ_{a}^{2} / μ_{a}^{2}

$\text{Var}\left[\log(a)\right]\approx \sigma^2_a/\mu_a^2$

*对于这是一般希望的标准偏差的良好近似比平均（变异系数低）是相当小的。 $a$

— Glen_b-恢复莫妮卡
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由于对数的泰勒级数的收敛半径较小，因此在应用这些近似值时应谨慎。

— ub

@whuber周围的平均扩张，我认为这将对应的建议是，“标准偏差我的回答结束与应比平均是相当小的” -如果我错过了一些进一步的问题是他的意见不涵盖我应该解决的问题。

a

$a$

— Glen_b-恢复莫妮卡

对于，均值的近似效果很好，而对于左右的方差，效果很好。

μ / σ > 1.5

$\mu/\sigma \gt 1.5$

μ / σ > 2.5

$\mu/\sigma \gt 2.5$

— ub

在任何情况下，我们都应间接依赖的收敛性（因为）。也感谢您建议的显式值；如果有什么用的话，也许我有点谨慎。两个宝贵的意见。

\ln (1 + x)

$\ln(1+x)$

\ln (μ + y - μ) = \ln [μ {1 + (y - μ) / μ}] = \ln (μ) + \ln [1 + (y - μ) / μ]

$\ln(\mu + y-\mu) = \ln[\mu\{1 + (y - \mu)/\mu\}] = \ln(\mu) + \ln[1 + (y - \mu)/\mu]$

— Glen_b-恢复莫妮卡