两个独立随机变量的乘积

我有大约1000个值的样本。这些数据是从两个独立的随机变量的乘积获得的 $\xi \ast \psi$ 。所述第一随机变量具有均匀分布 $\xi \sim U(0,1)$ 。第二随机变量的分布未知。如何估算第二个（ $\psi$ ）随机变量的分布？

probability distributions mathematical-statistics

— 安迪
source

这是所谓的反卷积问题的一个版本：如果移至乘积的对数，则在您知道一个项的分布时，便得到了总和的估计分布。检查维基百科。

— 西安

另请参阅有关交叉验证的此相关问题：应用对数变换后，该问题是等效的。

— 西安

@西安：很好的联系。我当然希望

几乎肯定......虽然我们可以从一个看似致命违反这个条件通过分解追成

并分别考虑件。

ψ \geq 0

$\psi \geq 0$

ψ = ψ_{+} - ψ_{-}

$\psi = \psi_{+} - \psi_{-}$

— 主教

@cardinal我很好奇某些数据可能为负数时如何处理估计问题。如何确定分解？（分配数据小于所述的直观的方法

比一个部件和数据更大的

到另一个长相次优我，因为与所述指数的卷积将趋向于转离未来值

组分加入到相对大的正观测。）它看起来就像估算器必须同时处理混合物的识别和反卷积一样，这似乎很棘手。

1

$1$

1

$1$

ψ_{-}

$\psi_{-}$

— ub

@Cardinal感谢您的解释。不，不是噪音：因为我在考虑对数，所以我只是忘记了

为非负数。

ξ

$\xi$

— ub

我们假设在正实线上有支持 $\psi$ 其中和是数据的经验分布。取这个方程的对数，我们得到

ξ ψ = X

$\xi \,\psi = X$

X \sim F_{n}

$X \sim F_n$

F_{n}

$F_n$

L o g (ξ) + L o g (ψ) = L o g (X)

$Log(\xi) + Log(\psi) = Log(X)$

因此，根据列维的连续性定理，和独立性采用特征函数： $\xi$ $\psi$

Ψ_{L o g (ξ)} (t) Ψ_{L o g (ψ)} (t) = Ψ_{L o g (X)}

$\Psi_{Log(\xi)}(t)\Psi_{Log(\psi)}(t) = \Psi_{Log(X)}$

现在，因此， $\xi\sim Unif[0,1]$ $, therefore$ $-Log(\xi) \sim Exp(1)$

Ψ_{L o g (ξ)} (- t) = {(1 + i t)}^{- 1}

$\Psi_{Log(\xi)}(-t)= \left(1 + it\right)^{-1}\,$

鉴于 $\Psi_{ln(X)} =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(itX_k) ,$ $X_1 ... X_{1000}$ $\ln(X)$ 。

$Log(\psi)$

{(1 + i t)}^{- 1} Ψ_{L o g (ψ)} (t) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{1000} \exp (i t X_{k})

$\left(1 + it\right)^{-1}\,\Psi_{Log(\psi)}(t) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(itX_k)$

$\ln(\psi)$ $t<1$ 则可以用矩产生函数来写上等式：

M_{L o g (ψ)} (t) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{1000} \exp (- t X_{k}) (1 - t)

$M_{Log(\psi)}(t) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(-t\,X_k)\,\left(1 - t\right)\,$

$ln(\phi)$ $\phi$

— 歧管
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你可以用R中的例子来解释吗？

— 安迪

当然。我明天尝试发布。

— Drmanifold 2013年