我怎样才能计算


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假设Φ 是密度函数和标准正态分布的分布函数。ϕ()Φ()

如何计算积分:

Φ(wab)ϕ(w)dw

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一切都很好。Ellison(1964,J.Am.Stat.Assoc,59,89-95)较早地提到了包括这一结果在内的更一般的结果; 见推论1定理2的

Answers:


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一个更常规的表示法是

y(μ,σ)=Φ(xμσ)ϕ(x)dx=Φ(μ1+σ2).

这可以通过对σ求积分来产生,产生可以用闭合形式表示的基本积分:μσ

yμ(μ,σ)=12πσ2+1e12μ2σ2+1,

yσ(μ,σ)=μσ2π(σ2+1)3/2e12μ2σ2+1.

该系统可以被集成,与初始状态开始 = ∫ Φ X φ X d X = 1 / 2,以获得给定的溶液(这是很容易通过分化选中)。y(0,1)Φ(x)ϕ(x)dx1/2


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我双重检查通过数值积分的答案和轮廓的比率0 < σ 2:协议是11个显著附图在这个范围内。2μ20<σ2
ub

哇,聪明的解决方案。
Cam.Davidson.Pilon

2
我认为这几乎可以通过检查来完成。积分下的第一项是uniform [0,1]随机变量。由于法线pdf是对称的,因此积分应为12
Soakley13年

1
@soakley你的方法也适用于,但目前还不清楚它将如何适用于其他参数ÿy(0,1)y
ub

1
@whuber对不起,您还不了解,但是一旦有了导数和初始条件的两种封闭形式,我们如何从那里转到最终解决方案?换句话说,您对导数和初始条件的封闭形式表达式做了什么?
user106860 '18

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ÿ与独立正常随机变量X Ñ 一个b 2ÿ标准正态随机变量。然后,P { X Ŷ | Ŷ = 瓦特} = P { X 瓦特} = Φ 瓦特- 一个XYXN(a,b2)Y因此,使用全概率的规律,我们得到了 P{Xÿ}=- P{Xÿ|ÿ=w ^}φw ^

P{XYY=w}=P{Xw}=Φ(wab).
现在, P { X Ŷ } = P { X - ý 0 }可在来表示 Φ 通过注意到 X - Ý Ñ 一个b 2 + 1 ,因此,我们得到 &Integral; - Φ 瓦特- 一个
P{XY}=P{XYY=w}ϕ(w)dw=Φ(wab)ϕ(w)dw.
P{XY}=P{XY0}Φ()XYN(a,b2+1) ,其是相同的,结果在whuber的回答。
Φ(wab)ϕ(w)dw=Φ(ab2+1)

2

这是另一种解决方案:我们定义

I(γ)=Φ(ξx+γ)N(x|0,σ2)dx,
γ=ξμI(γ)I(0)=0γ
dIdγ=N((ξx+γ)|0,1)N(x|0,σ2)dx=12πexp(12(ξx+γ)2)12πσ2exp(x22σ2)dx.
(ξx+γ)2+x2σ2=(ξ2+σ2)=ax2+2γξ=bx+γ2=c=a(xb2a)2+(cb24a)(cb24a)=γ24γ2ξ24(ξ2+σ2)=γ2(1ξ2ξ2+σ2)=γ2(11+ξ2σ2)
dIdγ=12πσexp(12(cb24a))2πaa2πexp(12a(xb2a)2)dx=12πσexp(12(cb24a))2πa=12πσ2aexp(12(cb24a))=12π(1+σ2ξ2)exp(12γ21+ξ2σ2)

I(γ)=γ12π(1+σ2ξ2)exp(12z21+ξ2σ2)dz=Φ(γ1+ξ2σ2)

这意味着

Φ(ξx)N(x|μ,σ2)dx=I(ξμ)=Φ(ξμ1+ξ2σ2).

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