测试某些对比：这是否确实是一个难题？

我将其发布到mathoverflow上，没有人回答：

Scheffé的用于识别统计上显着差异的方法是众所周知的。甲对比度的装置中，的种群是线性组合其中 $\mu_i$ $i=1,\ldots,r$ $r$ $\sum_{i=1}^r c_i \mu_i$ $\sum_{i=1}^r c_i=0$ ，并且对比度的标量倍数本质上是相同的对比度，因此可以说这组对比度是一个投影空间。Scheffé的方法测试了一个零假设，该假设表示这总体之间的所有对比均为，并且在给定显着性水平，假设零假设为真，则以概率拒绝该零假设。而且，如果否定原假设被拒绝，Scheffé指出，他的测试告诉我们哪些对比与明显不同（我不确定我链接到的Wikipedia文章指出了这一点）。 $r$ $0$ $\alpha$ $\alpha$ $0$

我想知道在不同情况下是否可以做类似的事情。考虑一个简单的线性回归模型，其中 $Y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$ ，。 $\varepsilon_i\sim\operatorname{i.i.d.}N(0,\sigma^2)$ $i=1,\ldots,n$

我要考虑的零假设涉及另一种对比。它说，没有子集使得为和为，其中 $A\subseteq\lbrace 1,\ldots,n\rbrace$ $E(Y_i) = \alpha_1 + \beta x_i$ $i\in A$ $E(Y_i) = \alpha_2 + \beta x_i$ $i\not\in A$ $\alpha_1\ne\alpha_2$ 。如果预先指定了子集，则可以进行普通的两样本检验，但是我们需要一种考虑所有子集并抑制拒绝真实零假设的可能性的东西。 $A$ $t$

如果不考虑效率，则可以弄清楚这一点：找到一种测试涵盖所有可能性。即使那样，还是有问题的；两种对比不会是独立的。我问了一个异常检测专家，他只是说这是一个组合梦night。然后我问是否可以证明没有有效的方法，也许可以通过减少NP难题来解决。他只是说他远离NP难题。 $2^{n-1}-1$

因此：可以证明这个问题是“困难的”还是不是？

— 迈克尔·哈迪
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（+1）复制澄清从评论MO版本：只是一个小点澄清：我读它，

的零假设下符合条件，但

和

(α_{1}, α_{2}, α_{3}) = (1, 2, 3)

$(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (1,2,3)$

(1, 2, 2)

$(1,2,2)$

不（不管

）。那是你想要的吗？（这似乎与问题中提出的其他一些暗示不符。）

(1, 1, 1)

$(1,1,1)$

β

$\beta$

— 2013年

如上所述，原假设是我们只需要一个

，替代假设是我们需要两个

。我不知道你为什么有第三个。人们还可以考虑只有一个

的零假设与几个假设的替代假设，也许那是我应该做的。

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— 迈克尔·哈迪

谢谢。也许我被模型中作为的原始语句揭去

，其中我把

是一个潜在的错字

（因为它随后允许改变）。

Y_{i} = α + β x_{i} + ε_{i}

$Y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$

α

$\alpha$

α_{i}

$\alpha_i$

— 红衣主教

好吧，当然，如果那个

取决于

α

$\alpha$

i

$i$ 那将是一个参数化过高的模型，根本不像通常所说的“简单线性回归模型”那样。

— Michael Hardy 2013年

注意到到目前为止，还没有人回答这个问题。

$Z$

y_{i} = α + β x_{i} + γ z_{i} + ϵ_{i}

$y_i = \alpha + \beta x_i + \gamma z_i + \epsilon_i$

y_{i} = α + β x_{i} + ϵ_{i} .

$y_i = \alpha + \beta x_i + \epsilon_i.$

f (z) \geq t .

$f(z) \ge t.$ 这是集合划分问题的一种变体，已知它是NP困难的。

— 用户名
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集划分问题实际上可以减少到这个问题吗？如果是这样，那将证明这是一个难题。

${}\qquad{}$

— Michael Hardy

此问题至少与经典集分区问题（SPP）一样困难。SPP采用权重的线性组合，并尝试将它们乘以+/- 1，以得到一个总和为0的表达式。在这里，您要满足不等式。如果这对于任意输入在多项式时间内都是可解决的，则二等分参数表明您也可以在多项式时间内求解SPP。这并不是完全减少，但是已经接近了。

— user3697176