两个参数乘积的置信区间

让我们假设我们有两个参数和。我们还具有两个最大似然估计量和以及这些参数的两个置信区间。有没有办法建立的置信区间？ $p_1$ $p_2$ $\hat{p_1}$ $\hat{p_2}$ $p_1p_2$

confidence-interval

— 客人
source

您可以使用Delta方法计算的标准误差。增量法指出，函数的方差近似为：另一方面，的期望近似值由以下公式给出：因此期望只是函数。您的函数为：。的期望将仅仅是： $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $g(t)$

V a r (g (t)) \approx \sum_{i = 1}^{k} g_{i}^{'} (θ)^{2} V a r (t_{i}) + 2 \sum_{i > j} g_{i}^{'} (θ) g_{j}^{'} (θ) C o v (t_{i}, t_{j})

$\mathrm{Var}(g(t))\approx \sum_{i=1}^{k}g'_{i}(\theta)^{2}\mathrm{Var}(t_{i})+2\sum_{i>j}g'_{i}(\theta)g'_{j}(\theta)\mathrm{Cov}(t_{i},t_{j})$

g (t)

$g(t)$

E (g (t)) \approx g (θ)

$\mathrm{\mathbf{E}}(g(t))\approx g(\theta)$

g (t)

$g(t)$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

p_{1} p_{2}

$p_{1}p_{2}$ 。对于方差，我们需要的偏导数：

g (p_{1}, p_{2})

$g(p_{1}, p_{2})$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial p_{1}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial p_{1}}g(p_{1}p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}}g(p_{1}p_{2}) &= p_{1} \\ \end{align}$

使用上述变化的函数，我们得到：

V a r (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}) = {\hat{p_{2}}}^{2} V a r (\hat{p_{1}}) + {\hat{p_{1}}}^{2} V a r (\hat{p_{2}}) + 2 \cdot \hat{p_{1}} \hat{p_{2}} C o v (\hat{p_{1}}, \hat{p_{2}})

$\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})=\hat{p_{2}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) + \hat{p_{1}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{2}})+2\cdot \hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\mathrm{Cov}(\hat{p_{1}},\hat{p_{2}})$

然后，标准错误将只是上述表达式的平方根。一旦出现标准错误，就可以直接为计算95％的置信区间：

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}} \pm 1.96 \cdot \hat{S E} (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}})

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\pm 1.96\cdot \widehat{\mathrm{SE}}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})$

要计算的标准误差，您需要通常可以得到的和的方差由方差-协方差矩阵，在您的情况下为2x2矩阵，因为您有两个估算值。方差-协方差矩阵中的对角元素是和的方差，而非对角元素是和（矩阵是对称的）。正如@gung在评论中提到的那样，大多数统计软件都可以提取方差-协方差矩阵。有时，估算算法会提供 $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\Sigma$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ Hessian矩阵（在此不再赘述），方差-协方差矩阵可以通过负Hessian的逆来估计（但前提是要最大化对数似然性！；请参阅本文）。同样，请查阅统计软件和/或Web的文档，以获取有关如何提取Hessian以及如何计算矩阵逆的信息。

或者，您可以通过以下方式从置信区间中获得和的方差（这对于95％-CI有效）：。对于 CI，估计的标准误差为：，其中是标准正态分布的分位数（对于，）。然后， $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/3.92$ $100(1-\alpha)\%$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/(2\cdot z_{1-\alpha/2})$ $z_{1-\alpha/2}$ $(1-\alpha/2)$ $\alpha=0.05$ $z_{0.975}\approx 1.96$ $\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) = \mathrm{SE}(\hat{p_{1}})^{2}$ 。的方差也是如此。我们还需要和协方差（请参见上面的段落）。如果和是独立的，则协方差为零，我们可以删除该项。 $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$

本文可能会提供其他信息。

— 酷色
source

+1。通过检查大多数统计软件可以提供的的方差-协方差矩阵，可以找到参数的方差及其协方差。例如，在R中，它是？vcov；＆在SAS中，作为选项添加到PROC REG中的模型语句中。

β

$\boldsymbol\beta$ covb

— gung-恢复莫妮卡

@gung关于脚手架，可能值得指出（因为我知道这使某些人感到困惑），它实际上是而不是的方差-协方差矩阵（实际上，甚至不是，因为必须从样本中估算标准差，所以它实际上是估算的方差-协方差矩阵。）

\hat{β}

$\hat \beta$

β

$\beta$

— Silverfish

@银鱼，被适当地惩戒。下次，我将说“的估计方差-协方差矩阵”。

\hat{β}

$\boldsymbol{\hat\beta}$

— gung-恢复莫妮卡

您可以尝试构造轮廓似然函数！并据此建立置信区间。

— kjetil b halvorsen

是不是，因为它是一个参数？

v a r (p_{1}) = 0

$var(p_1)=0$

— user0

我发现了一个用于计算产品方差的不同方程式。

如果x和y独立分布，则乘积的方差相对简单：V（x * y）= V（y）* E（x）^ 2 + V（x）* E（y）^ 2 + V（ x）* V（y）这些结果也可以推广到涉及三个或更多变量的情况（Goodman 1960）。资料来源：《管制农药》（1980年），附录F

Coolserdash：您的方程式中缺少最后一个分量V（x）* V（y）。参考的书（《农药管理》）是否错误？

同样，两个方程可能都不完美。“ ……我们证明了三个独立正态变量的乘积分布不是正态的。” （来源）。我希望即使在两个正态分布变量的乘积中也会出现正偏斜。

— MarekČierny
source

CI的长度/ 2 / 1.96 = se，即A或B的标准误差
se ^ 2 = var，即估算值A或B的方差
使用估计的A或B作为A或B的均值，即E（A）或E（B）
跟随此页面http://falkenblog.blogspot.se/2008/07/formula-for-varxy.html获取var（A * B），即var（C）
var（C）的平方根是C的se
（C-1.96 * se（C），C + 1.96 * se（C））是C的95％CI

请注意，如果您的A和B相关，则还需要考虑它们的协方差。

— 冰咖啡
source