傅里叶/三角插值

背景

在Epstein（1991）的一篇论文中：在从月均值获取每日气候值时，给出了用于计算周期值和偶数值的傅里叶插值的公式和算法。

在本文中，目标是通过插值从每月平均值中获取每日值。

简而言之，假设可以用谐波分量之和表示未知的每日值： 在论文中，（时间）以月表示。

$$y(t) = a_{0} + \sum_{j}\left[a_{j}\,\cos(2\pi jt/12)+b_{j}\,\sin(2\pi jt/12)\right]$$ $t$

经过一些推导，显示出这些项可以通过以下方式计算： 其中表示每月平均值，表示月份。

$$\begin{align} a_{0} &= \sum_{T}Y_{T}/12 \\ a_{j} &= \left[ (\pi j/12)/\sin(\pi j/12)\right] \times \sum_{T}\left[Y_{T}\,\cos(2\pi jT/12)/6 \right]~~~~~~~j=1,\ldots, 5 \\ b_{j} &= \left[ (\pi j/12)/\sin(\pi j/12)\right] \times \sum_{T}\left[Y_{T}\,\sin(2\pi jT/12)/6 \right]~~~~~~~j=1,\ldots, 5 \\ a_{6} &= \left[ (\pi j/12)/\sin(\pi j/12)\right]\times \sum_{T}\left[Y_{T}\cos(\pi T)/12\right] \\ b_{6} &= 0 \end{align}$$ $Y_{T}$$T$

Harzallah（1995）对此方法作了如下总结：“内插是通过对数据的频谱系数加零，并对所得扩展系数进行傅立叶逆变换来进行的。该方法等效于对傅立叶系数应用矩形滤波器。 ”。

---

问题

我的目标是使用上述方法对每周均值进行插值以获得每日数据（请参阅我的上一个问题）。总而言之，我每周有835次计数数据（请参阅问题底部的示例数据集）。在应用上述方法之前，有很多事情我不了解：

1. 对于我的情况，如何更改公式（每周而不是每月）？
2. 怎么可能时间来表达？我假设使用（或通常使用数据点的），对吗？$t$$t/835$$t/n$$n$
3. 作者为什么要计算7个项（即）？我需要考虑几个术语？$0\leq j \leq 6$
4. 我知道可以通过使用回归方法并使用插值预测来解决这个问题（感谢Nick）。不过，我仍然不清楚一些事情：回归中应包含多少个谐波项？我应该花什么时间？如何进行回归以确保保留每周均值（因为我不希望数据完全符合谐波）？

使用回归方法（也在本文中进行了说明），我设法获得了对数据的精确谐波拟合（示例中的将通过，因此拟合了417个项）。怎么能这种方法被修改- 如果可能的话 -实现了每周的养护？也许通过对每个回归项应用校正因子？$j$$1, \ldots, 417$$~$$~$

精确的谐波拟合图为：

编辑

使用信号包和interp1函数，这是我使用下面的示例数据集设法完成的工作（非常感谢@noumenal）。我使用q=7每周的数据：

# Set up the time scale

daily.ts <- seq(from=as.Date("1995-01-01"), to=as.Date("2010-12-31"), by="day")

# Set up data frame 

ts.frame <- data.frame(daily.ts=daily.ts, wdayno=as.POSIXlt(daily.ts)$wday,
                       yearday = 1:5844,
                       no.influ.cases=NA)

# Add the data from the example dataset called "my.dat"

ts.frame$no.influ.cases[ts.frame$wdayno==3] <- my.dat$case

# Interpolation

case.interp1 <- interp1(x=ts.frame$yearday[!is.na(ts.frame$no.influ.case)],y=(ts.frame$no.influ.cases[!is.na(ts.frame$no.influ.case)]),xi=ts.frame$yearday, method = c("cubic"))

# Plot subset for better interpretation
par(bg="white", cex=1.2, las=1)
plot((ts.frame$no.influ.cases)~ts.frame$yearday, pch=20,
     col=grey(0.4),
     cex=1, las=1,xlim=c(0,400), xlab="Day", ylab="Influenza cases")
lines(case.interp1, col="steelblue", lwd=1)

这里有两个问题：

1. 曲线似乎“太好了”：遍及每个点
2. 每周均值不守恒

示例数据集

structure(list(date = structure(c(9134, 9141, 9148, 9155, 9162, 
9169, 9176, 9183, 9190, 9197, 9204, 9211, 9218, 9225, 9232, 9239, 
9246, 9253, 9260, 9267, 9274, 9281, 9288, 9295, 9302, 9309, 9316, 
9323, 9330, 9337, 9344, 9351, 9358, 9365, 9372, 9379, 9386, 9393, 
9400, 9407, 9414, 9421, 9428, 9435, 9442, 9449, 9456, 9463, 9470, 
9477, 9484, 9491, 9498, 9505, 9512, 9519, 9526, 9533, 9540, 9547, 
9554, 9561, 9568, 9575, 9582, 9589, 9596, 9603, 9610, 9617, 9624, 
9631, 9638, 9645, 9652, 9659, 9666, 9673, 9680, 9687, 9694, 9701, 
9708, 9715, 9722, 9729, 9736, 9743, 9750, 9757, 9764, 9771, 9778, 
9785, 9792, 9799, 9806, 9813, 9820, 9827, 9834, 9841, 9848, 9855, 
9862, 9869, 9876, 9883, 9890, 9897, 9904, 9911, 9918, 9925, 9932, 
9939, 9946, 9953, 9960, 9967, 9974, 9981, 9988, 9995, 10002, 
10009, 10016, 10023, 10030, 10037, 10044, 10051, 10058, 10065, 
10072, 10079, 10086, 10093, 10100, 10107, 10114, 10121, 10128, 
10135, 10142, 10149, 10156, 10163, 10170, 10177, 10184, 10191, 
10198, 10205, 10212, 10219, 10226, 10233, 10240, 10247, 10254, 
10261, 10268, 10275, 10282, 10289, 10296, 10303, 10310, 10317, 
10324, 10331, 10338, 10345, 10352, 10359, 10366, 10373, 10380, 
10387, 10394, 10401, 10408, 10415, 10422, 10429, 10436, 10443, 
10450, 10457, 10464, 10471, 10478, 10485, 10492, 10499, 10506, 
10513, 10520, 10527, 10534, 10541, 10548, 10555, 10562, 10569, 
10576, 10583, 10590, 10597, 10604, 10611, 10618, 10625, 10632, 
10639, 10646, 10653, 10660, 10667, 10674, 10681, 10688, 10695, 
10702, 10709, 10716, 10723, 10730, 10737, 10744, 10751, 10758, 
10765, 10772, 10779, 10786, 10793, 10800, 10807, 10814, 10821, 
10828, 10835, 10842, 10849, 10856, 10863, 10870, 10877, 10884, 
10891, 10898, 10905, 10912, 10919, 10926, 10933, 10940, 10947, 
10954, 10961, 10968, 10975, 10982, 10989, 10996, 11003, 11010, 
11017, 11024, 11031, 11038, 11045, 11052, 11059, 11066, 11073, 
11080, 11087, 11094, 11101, 11108, 11115, 11122, 11129, 11136, 
11143, 11150, 11157, 11164, 11171, 11178, 11185, 11192, 11199, 
11206, 11213, 11220, 11227, 11234, 11241, 11248, 11255, 11262, 
11269, 11276, 11283, 11290, 11297, 11304, 11311, 11318, 11325, 
11332, 11339, 11346, 11353, 11360, 11367, 11374, 11381, 11388, 
11395, 11402, 11409, 11416, 11423, 11430, 11437, 11444, 11451, 
11458, 11465, 11472, 11479, 11486, 11493, 11500, 11507, 11514, 
11521, 11528, 11535, 11542, 11549, 11556, 11563, 11570, 11577, 
11584, 11591, 11598, 11605, 11612, 11619, 11626, 11633, 11640, 
11647, 11654, 11661, 11668, 11675, 11682, 11689, 11696, 11703, 
11710, 11717, 11724, 11731, 11738, 11745, 11752, 11759, 11766, 
11773, 11780, 11787, 11794, 11801, 11808, 11815, 11822, 11829, 
11836, 11843, 11850, 11857, 11864, 11871, 11878, 11885, 11892, 
11899, 11906, 11913, 11920, 11927, 11934, 11941, 11948, 11955, 
11962, 11969, 11976, 11983, 11990, 11997, 12004, 12011, 12018, 
12025, 12032, 12039, 12046, 12053, 12060, 12067, 12074, 12081, 
12088, 12095, 12102, 12109, 12116, 12123, 12130, 12137, 12144, 
12151, 12158, 12165, 12172, 12179, 12186, 12193, 12200, 12207, 
12214, 12221, 12228, 12235, 12242, 12249, 12256, 12263, 12270, 
12277, 12284, 12291, 12298, 12305, 12312, 12319, 12326, 12333, 
12340, 12347, 12354, 12361, 12368, 12375, 12382, 12389, 12396, 
12403, 12410, 12417, 12424, 12431, 12438, 12445, 12452, 12459, 
12466, 12473, 12480, 12487, 12494, 12501, 12508, 12515, 12522, 
12529, 12536, 12543, 12550, 12557, 12564, 12571, 12578, 12585, 
12592, 12599, 12606, 12613, 12620, 12627, 12634, 12641, 12648, 
12655, 12662, 12669, 12676, 12683, 12690, 12697, 12704, 12711, 
12718, 12725, 12732, 12739, 12746, 12753, 12760, 12767, 12774, 
12781, 12788, 12795, 12802, 12809, 12816, 12823, 12830, 12837, 
12844, 12851, 12858, 12865, 12872, 12879, 12886, 12893, 12900, 
12907, 12914, 12921, 12928, 12935, 12942, 12949, 12956, 12963, 
12970, 12977, 12984, 12991, 12998, 13005, 13012, 13019, 13026, 
13033, 13040, 13047, 13054, 13061, 13068, 13075, 13082, 13089, 
13096, 13103, 13110, 13117, 13124, 13131, 13138, 13145, 13152, 
13159, 13166, 13173, 13180, 13187, 13194, 13201, 13208, 13215, 
13222, 13229, 13236, 13243, 13250, 13257, 13264, 13271, 13278, 
13285, 13292, 13299, 13306, 13313, 13320, 13327, 13334, 13341, 
13348, 13355, 13362, 13369, 13376, 13383, 13390, 13397, 13404, 
13411, 13418, 13425, 13432, 13439, 13446, 13453, 13460, 13467, 
13474, 13481, 13488, 13495, 13502, 13509, 13516, 13523, 13530, 
13537, 13544, 13551, 13558, 13565, 13572, 13579, 13586, 13593, 
13600, 13607, 13614, 13621, 13628, 13635, 13642, 13649, 13656, 
13663, 13670, 13677, 13684, 13691, 13698, 13705, 13712, 13719, 
13726, 13733, 13740, 13747, 13754, 13761, 13768, 13775, 13782, 
13789, 13796, 13803, 13810, 13817, 13824, 13831, 13838, 13845, 
13852, 13859, 13866, 13873, 13880, 13887, 13894, 13901, 13908, 
13915, 13922, 13929, 13936, 13943, 13950, 13957, 13964, 13971, 
13978, 13985, 13992, 13999, 14006, 14013, 14020, 14027, 14034, 
14041, 14048, 14055, 14062, 14069, 14076, 14083, 14090, 14097, 
14104, 14111, 14118, 14125, 14132, 14139, 14146, 14153, 14160, 
14167, 14174, 14181, 14188, 14195, 14202, 14209, 14216, 14223, 
14230, 14237, 14244, 14251, 14258, 14265, 14272, 14279, 14286, 
14293, 14300, 14307, 14314, 14321, 14328, 14335, 14342, 14349, 
14356, 14363, 14370, 14377, 14384, 14391, 14398, 14405, 14412, 
14419, 14426, 14433, 14440, 14447, 14454, 14461, 14468, 14475, 
14482, 14489, 14496, 14503, 14510, 14517, 14524, 14531, 14538, 
14545, 14552, 14559, 14566, 14573, 14580, 14587, 14594, 14601, 
14608, 14615, 14622, 14629, 14636, 14643, 14650, 14657, 14664, 
14671, 14678, 14685, 14692, 14699, 14706, 14713, 14720, 14727, 
14734, 14741, 14748, 14755, 14762, 14769, 14776, 14783, 14790, 
14797, 14804, 14811, 14818, 14825, 14832, 14839, 14846, 14853, 
14860, 14867, 14874, 14881, 14888, 14895, 14902, 14909, 14916, 
14923, 14930, 14937, 14944, 14951, 14958, 14965, 14972), class = "Date"), 
    cases = c(168L, 199L, 214L, 230L, 267L, 373L, 387L, 443L, 
    579L, 821L, 1229L, 1014L, 831L, 648L, 257L, 203L, 137L, 78L, 
    82L, 69L, 45L, 51L, 45L, 63L, 55L, 54L, 52L, 27L, 24L, 12L, 
    10L, 22L, 42L, 32L, 52L, 82L, 95L, 91L, 104L, 143L, 114L, 
    100L, 83L, 113L, 145L, 175L, 222L, 258L, 384L, 755L, 976L, 
    879L, 846L, 1004L, 801L, 799L, 680L, 530L, 410L, 302L, 288L, 
    234L, 269L, 245L, 240L, 176L, 188L, 128L, 96L, 59L, 63L, 
    44L, 52L, 39L, 50L, 36L, 40L, 48L, 32L, 39L, 28L, 29L, 16L, 
    20L, 25L, 25L, 48L, 57L, 76L, 117L, 107L, 91L, 90L, 83L, 
    76L, 86L, 104L, 101L, 116L, 120L, 185L, 290L, 537L, 485L, 
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    620L, 396L, 280L, 214L, 148L, 148L, 94L, 107L, 69L, 55L, 
    69L, 47L, 43L, 49L, 30L, 42L, 51L, 41L, 39L, 40L, 38L, 22L, 
    37L, 26L, 40L, 56L, 54L, 74L, 99L, 114L, 114L, 120L, 114L, 
    123L, 131L, 170L, 147L, 163L, 163L, 160L, 158L, 163L, 124L, 
    115L, 176L, 171L, 214L, 320L, 507L, 902L, 1190L, 1272L, 1282L, 
    1146L, 896L, 597L, 434L, 216L, 141L, 101L, 86L, 65L, 55L, 
    35L, 49L, 29L, 55L, 53L, 57L, 34L, 43L, 42L, 13L, 17L, 20L, 
    27L, 36L, 47L, 64L, 77L, 82L, 82L, 95L, 107L, 96L, 106L, 
    93L, 114L, 102L, 116L, 128L, 123L, 212L, 203L, 165L, 267L, 
    550L, 761L, 998L, 1308L, 1613L, 1704L, 1669L, 1296L, 975L, 
    600L, 337L, 259L, 145L, 91L, 70L, 79L, 63L, 58L, 51L, 53L, 
    39L, 49L, 33L, 47L, 56L, 32L, 43L, 47L, 19L, 32L, 18L, 34L, 
    39L, 63L, 57L, 55L, 69L, 76L, 103L, 99L, 108L, 131L, 113L, 
    106L, 122L, 138L, 136L, 175L, 207L, 324L, 499L, 985L, 1674L, 
    1753L, 1419L, 1105L, 821L, 466L, 274L, 180L, 143L, 82L, 101L, 
    72L, 55L, 71L, 50L, 33L, 26L, 25L, 27L, 21L, 24L, 24L, 20L, 
    18L, 18L, 25L, 23L, 13L, 10L, 16L, 9L, 12L, 16L, 25L, 31L, 
    36L, 40L, 36L, 47L, 32L, 46L, 75L, 63L, 49L, 90L, 83L, 101L, 
    78L, 79L, 98L, 131L, 83L, 122L, 179L, 334L, 544L, 656L, 718L, 
    570L, 323L, 220L, 194L, 125L, 95L, 77L, 46L, 42L, 29L, 35L, 
    21L, 29L, 16L, 14L, 19L, 15L, 19L, 18L, 21L, 10L, 14L, 7L, 
    7L, 5L, 9L, 14L, 11L, 18L, 22L, 39L, 36L, 46L, 44L, 37L, 
    30L, 39L, 37L, 45L, 71L, 59L, 57L, 80L, 68L, 88L, 72L, 74L, 
    208L, 357L, 621L, 839L, 964L, 835L, 735L, 651L, 400L, 292L, 
    198L, 85L, 64L, 41L, 40L, 23L, 18L, 14L, 22L, 9L, 19L, 8L, 
    14L, 12L, 15L, 14L, 4L, 6L, 7L, 7L, 8L, 13L, 10L, 19L, 17L, 
    20L, 22L, 40L, 37L, 45L, 34L, 26L, 35L, 67L, 49L, 77L, 82L, 
    80L, 104L, 88L, 49L, 73L, 113L, 142L, 152L, 206L, 293L, 513L, 
    657L, 919L, 930L, 793L, 603L, 323L, 202L, 112L, 55L, 31L, 
    27L, 15L, 15L, 6L, 13L, 21L, 10L, 11L, 9L, 8L, 11L, 7L, 5L, 
    1L, 4L, 7L, 2L, 6L, 12L, 14L, 21L, 29L, 32L, 26L, 22L, 44L, 
    39L, 47L, 44L, 93L, 145L, 289L, 456L, 685L, 548L, 687L, 773L, 
    575L, 355L, 248L, 179L, 129L, 122L, 103L, 72L, 72L, 36L, 
    26L, 31L, 12L, 14L, 14L, 14L, 7L, 8L, 2L, 7L, 8L, 9L, 26L, 
    10L, 13L, 13L, 5L, 5L, 3L, 6L, 1L, 10L, 6L, 7L, 17L, 12L, 
    21L, 32L, 29L, 18L, 22L, 24L, 38L, 52L, 53L, 73L, 49L, 52L, 
    70L, 77L, 95L, 135L, 163L, 303L, 473L, 823L, 1126L, 1052L, 
    794L, 459L, 314L, 252L, 111L, 55L, 35L, 14L, 30L, 21L, 16L, 
    9L, 11L, 6L, 6L, 8L, 9L, 9L, 10L, 15L, 15L, 11L, 6L, 3L, 
    8L, 4L, 7L, 7L, 13L, 10L, 23L, 24L, 36L, 25L, 34L, 37L, 46L, 
    39L, 37L, 55L, 65L, 54L, 60L, 82L, 55L, 53L, 61L, 52L, 75L, 
    92L, 121L, 170L, 199L, 231L, 259L, 331L, 357L, 262L, 154L, 
    77L, 34L, 41L, 21L, 17L, 16L, 7L, 15L, 11L, 7L, 5L, 6L, 13L, 
    7L, 6L, 8L, 7L, 1L, 11L, 9L, 3L, 9L, 9L, 8L, 15L, 19L, 16L, 
    10L, 12L, 26L, 35L, 35L, 41L, 34L, 30L, 36L, 43L, 23L, 55L, 
    107L, 141L, 217L, 381L, 736L, 782L, 663L, 398L, 182L, 137L, 
    79L, 28L, 26L, 16L, 14L, 8L, 4L, 4L, 6L, 6L, 11L, 4L, 5L, 
    7L, 7L, 6L, 8L, 2L, 3L, 3L, 1L, 1L, 3L, 3L, 2L, 8L, 8L, 11L, 
    10L, 11L, 8L, 24L, 25L, 25L, 33L, 36L, 51L, 61L, 74L, 92L, 
    89L, 123L, 402L, 602L, 524L, 494L, 406L, 344L, 329L, 225L, 
    136L, 136L, 84L, 55L, 55L, 42L, 19L, 28L, 8L, 7L, 2L, 7L, 
    6L, 4L, 3L, 5L, 3L, 3L, 0L, 1L, 2L, 3L, 2L, 1L, 2L, 2L, 9L, 
    4L, 9L, 10L, 18L, 15L, 13L, 12L, 10L, 19L, 15L, 22L, 23L, 
    34L, 43L, 53L, 47L, 57L, 328L, 552L, 787L, 736L, 578L, 374L, 
    228L, 161L, 121L, 96L, 58L, 50L, 37L, 14L, 9L, 6L, 15L, 12L, 
    9L, 1L, 6L, 4L, 7L, 7L, 3L, 6L, 9L, 15L, 22L, 28L, 34L, 62L, 
    54L, 75L, 65L, 58L, 57L, 60L, 37L, 47L, 60L, 89L, 90L, 193L, 
    364L, 553L, 543L, 676L, 550L, 403L, 252L, 140L, 125L, 99L, 
    63L, 63L, 76L, 85L, 68L, 67L, 38L, 25L, 24L, 11L, 9L, 9L, 
    4L, 8L, 4L, 6L, 5L, 2L, 6L, 4L, 4L, 1L, 5L, 4L, 1L, 2L, 2L, 
    2L, 2L, 3L, 4L, 4L, 7L, 5L, 2L, 10L, 11L, 17L, 11L, 16L, 
    15L, 11L, 12L, 21L, 20L, 25L, 46L, 51L, 90L, 123L)), .Names = c("date", 
"cases"), row.names = c(NA, -835L), class = "data.frame")

我不是傅立叶变换的专家，但是...

爱泼斯坦的总抽样范围为24个月，每月抽样率为：1/12年。您的样本范围是835周。如果您的目标是根据每日数据使用〜16年的数据估算一年的平均值，则需要1/365年的采样率。因此，用52代替12，但首先要标准化单位，将835周扩展为835 * 7 = 5845天。但是，如果您只有每周的数据点，我建议使用52的采样率，峰深度为16或17进行峰分析，或者选择32或33进行偶/奇比较。因此，默认输入选项包括：1）使用每周平均值（或中值绝对偏差，MAD或某种程度的平均值），或2）使用每日值，以提供更高的分辨率。

Liebman等。选择截止点jmax =2。因此，与图2相比，图3包含更少的部分，因此在正弦波的顶部更加对称。（在基频处的单个部分会产生纯正弦波。 ）如果爱泼斯坦会选择一个更高的分辨率（例如jmax = 12），则该变换可能只对附加组件产生较小的波动，或者他可能缺乏计算能力。

通过目视检查数据，您似乎可以看到16-17个峰值。我建议您将jmax或“位深度”设置为6、11、16或17（见图），然后比较输出。峰值越高，它们对原始复杂波形的贡献就越大。因此，与第6个峰值相比，假定第17个部分的分辨率或位深度为第17个部分，对原始波形模式的贡献最小。但是，在34频段的分辨率下，您会检测到相当恒定的谷值所建议的偶数和奇数峰之间的差异。比特深度取决于你的研究问题，你是否有兴趣只或两个波峰和波谷的峰，却怎么也正是你想近似原始系列。

傅立叶分析减少了您的数据点。如果要使用傅立叶变换在某个位深度处对函数求逆，则可以交叉检查新的均值估计是否与原始均值相对应。因此，要回答您的第四个问题：您提到的回归参数取决于所需的灵敏度和分辨率。如果您不希望精确拟合，则一定要在转换中输入每周均值。但是，请注意，较低的位深度也会减少数据。例如，请注意，图3中的12月，爱泼斯坦在Lieberman及其同事的分析中的谐波叠加如何错过了阶跃函数的中点，偏斜曲线稍微偏右（即温度估计过高）。

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利勃曼和同事的参数：

• 位深度：2

爱泼斯坦的参数：

• 采样率：12 [每月]
• 样本范围：24个月
• 位深：6

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您的参数：

• 采样率：365 [每天]

• 样本范围：5845天

精确位深度法

基于目视检查的精确配合。（如果您有能力，请看看与较低的位深度相比会发生什么。）

• 全谱（峰值）：17
• 全频（偶/奇）：34

可变位深度方法

这可能是您希望执行的操作：

• 仅比较峰：6、11、16、17
• 比较偶/奇：12、22、32、34
• 重新合成和比较手段

如果您再次逆变换，即将部分合成为原始时间序列的近似值，则此方法将产生类似于Epstein中的数字比较的结果。您还可以将重新合成的曲线的离散点与平均值进行比较，甚至可以测试显着差异以表明您选择位深度的敏感性。

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更新1：

位深度

一个位-二进制数字的缩写-为0或1。位010101将描述一个方波。位深度为1位。要描述锯齿波，您将需要更多的位：0123210.波形越复杂，所需的位就越多：

这是一个稍微简化的解释，但是时间序列越复杂，对其进行建模就需要越多的位。实际上，“ 1”是正弦波分量，而不是方波（方波更像3 2 1 0-参见附图）。0位将是一条平线。信息随着位深度的减少而丢失。例如，CD质量的音频通常为16位，而固定电话质量的音频通常为8位左右。

请从左到右阅读此图片，重点关注图表：

您实际上刚刚完成了功率谱分析（尽管在图中分辨率很高）。您的下一个目标是弄清楚：为了准确地捕获时间序列的均值，我需要在功率谱中有多少个成分？

更新2

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过滤或不过滤

我不完全确定您将如何在回归中引入约束，因为我仅熟悉间隔约束，但也许DSP是您的解决方案。这是我到目前为止的想法：

• 步骤1.通过完整数据集上的傅立叶函数将序列分解为窦性成分（以天为单位）

• 步骤2。通过逆傅立叶变换重新创建时间序列，同时将附加的均值约束与原始数据耦合：插值与原始均值的偏差应相互抵消（Harzallah，1995）。

我最好的猜测是，如果我正确理解Harzallah（1995，图2），就必须引入自回归。因此，这可能对应于无限响应滤波器（IIR）？

IIR http://paulbourke.net/miscellaneous/ar/

综上所述：

1. 从原始数据推导均值
2. 傅立叶变换原始数据
3. 傅立叶逆变换转换后的数据。
4. 使用IIR过滤结果

也许您可以不经过傅立叶分析就使用IIR滤波器？我所看到的傅里叶分析的唯一优点是，可以隔离并确定哪些模式具有影响力，以及它们发生的频率（即振荡）。然后，您可以决定滤除影响较小的那些，例如在影响最小的峰值处使用窄陷波滤波器（或根据您自己的标准进行过滤）。对于初学者，您可以过滤出影响较小的奇谷，这些谷在“信号”中看起来更像噪声。噪声的特征在于很少的情况且没有模式。奇数频率分量处的梳状滤波器可以降低噪声-除非在那里找到模式。

这是一些任意的装箱-仅出于说明目的：

糟糕-有R函数！

在搜索IIR滤波器时，我偶然发现在信号包中插入了R函数。忘记我到目前为止所说的一切。插值应该像哈扎拉的一样工作：http ://cran.r-project.org/web/packages/signal/signal.pdf

试玩这些功能。应该做到的。

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更新3

interp1不是interp

case.interp1 <- interp1(x=(ts.frame$no.influ.cases[!is.na(ts.frame$no.influ.case)]),y=ts.frame$yearday[!is.na(ts.frame$no.influ.case)],xi=mean(WEEKLYMEANSTABLE),method = c("cubic"))

将xi设置为原始的每周均值。