三角形分布的MLE？

是否可以将常规的MLE程序应用于三角形分布？-我正在尝试，但是在数学上似乎一步一步被定义分布的方式所阻塞。我试图利用一个事实，即我知道c上下的样本数量（不知道c）：如果n是样本总数，则这两个数字是cn和（1-c）n。但是，这似乎无助于推导。此刻的时刻给出了c的估计量，没有太大的问题。这里的MLE阻塞的确切性质是什么（如果确实存在）？

更多细节：

让我们考虑在，并在规定的分配由： [ 0 ，1 ] [ 0 ，1 $c$$[0,1]$$[0,1]$

$f(x;c) = \frac{2x}{c}$如果x <c如果c <= x，则
$f(x;c) = \frac{2(1-x)}{(1-c)}$

让我们从这个分布中取 iid样本，以给定该样本的c的对数似然性为例：{ x i$n$$\{x_{i}\}$

$\hat{l}(c | \{x_{i}\}) = \sum_{i=1}^{n}ln(f(x_{i}|c))$

然后，我尝试利用以下事实：给定的形式，我们知道样本将落在（未知），而将落在以上。恕我直言，这允许分解对数似然表达式的总和，从而：c n c （1 − c ）n $f$$cn$$c$$(1-c)n$$c$

$\hat{l}(c | \{x_{i}\}) = \sum_{i=1}^{cn}ln\frac{2 x_{i}}{c} + \sum_{i=1}^{(1-c)n}ln\frac{2(1-x_{i})}{1-c}$

在这里，我不确定如何进行。MLE将涉及对数似然的导数wrt，但是我将作为求和的上限，这似乎阻止了这一点。我可以使用指标函数尝试另一种形式的对数可能性：$c$$c$

$\hat{l}(c | \{x_{i}\}) = \sum_{i=1}^{n}\{x_{i}<c\}ln\frac{2 x_{i}}{c} + \sum_{i=1}^{n}\{c<=x_{i}\}ln\frac{2(1-x_{i})}{1-c}$

但是，尽管狄拉克（Dirac）三角洲可以允许继续（尽管仍然有指标，因为我们需要推导产品），但得出指标也不容易。

因此，在这里我被限制在MLE中。任何的想法？

是否可以将常规的MLE程序应用于三角形分布？

当然！尽管有一些奇怪的地方要处理，但在这种情况下可以计算MLE。

但是，如果通过“通常的过程”表示“取对数似然的导数并将其设置为零”，则可能不这样。

这里的MLE阻塞的确切性质是什么（如果确实存在）？

您是否尝试过绘制可能性？

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澄清问题后的后续行动：

关于得出可能性的问题不是闲聊，而是问题的核心。

MLE将涉及衍生产品

不会。MLE涉及找到函数的argmax。那只涉及在某些条件下找到导数的零点……在这里不成立。充其量，如果您设法做到这一点，您将确定一些局部最小值。

正如我前面的问题所建议的那样，请看一下可能性。

这是一个样本，其中10个观测值中的个来自（0,1）上的三角形分布：$y$

0.5067705 0.2345473 0.4121822 0.3780912 0.3085981 0.3867052 0.4177924
0.5009028 0.8420312 0.2588613

这是该数据上的似然和对数似然函数： $c$

灰线标记数据值（我可能应该已经生成了一个新样本来更好地分离这些值）。黑点表示这些值的似然度/对数似然度。

这是最大可能性附近的放大图，以查看更多详细信息：

从可能性中可以看到，在许多阶数统计中，可能性函数具有尖锐的“角”-不存在导数的点（这并不奇怪-原始pdf有一个角，我们采用pdf的产品）。三角形分布就是这种情况（在订单统计处有尖点），并且最大值始终出现在订单统计之一处。（这种尖点发生在阶次统计中并不是三角形分布所独有的；例如，拉普拉斯密度具有一个角，因此在每个阶次统计中其中心的可能性都为一个。）

在我的样本中，最大值出现在四阶统计量0.3780912

$c$$c$

有用的参考书是Johan van Dorp和Samuel Kotz撰写的“ 超越Beta ”的第一章。碰巧的是，第1章是该书的免费“样本”章节-您可以在此处下载。

我想在美国统计学家杂志上，埃迪·奥利弗（Eddie Oliver）有一篇关于三角形分布的可爱小论文（我的观点基本上是相同的；我认为它在教师角）。如果可以找到它，我将作为参考。

编辑：这是：

EH奥利弗（1972），《最大似然率》，
《美国统计学家》，第26卷，第3期，6月，第43-44页

（发布者链接）

如果您可以轻松掌握它，那么值得一看，但是Dorp和Kotz章节涵盖了大多数相关问题，因此并不重要。

通过对评论中的问题进行后续处理-即使您可以找到某种“平滑”角落的方法，您仍然必须处理这样一个事实，即您可以获得多个局部最大值：

但是，可能会找到具有非常好的属性（比矩量法更好）的估计量，您可以轻松地写下这些估计量。但是（0,1）上的三角形上的ML是几行代码。

如果涉及大量数据，也可以处理，但我认为这将是另一个问题。例如，并非每个数据点都可以达到最大值，这可以减少工作量，并且还可以节省一些其他费用。