我如何找到统计表中未给出的值？

人们通常使用程序来获取p值，但有时出于某种原因（可能出于某种原因）可能需要从一组表中获取临界值。

给定具有有限数量的显着性水平和有限数量的自由度的统计表，我如何在其他显着性水平或自由度下获得近似临界值（例如使用，卡方或表） ？$t$$F$

也就是说，如何在表中的值之间找到“值”？

这个答案分为两个主要部分：首先，使用线性插值，其次，使用变换以获得更准确的插值。当可用表有限时，此处讨论的方法适用于手动计算，但是如果要实现计算机例程以生成p值，则应该使用更好的方法（如果手动完成则很繁琐）。

如果您知道z检验的10％（加尾）临界值是1.28，而20％临界值是0.84，则粗略猜测15％临界值将介于-（1.28 + 0.84）之间/ 2 = 1.06（实际值为1.0364），可以在该值与10％的值（1.28 + 1.06）的一半之间猜到12.5％的值（实际值为1.15+）。这正是线性插值的作用-而不是“中间距离”，它看起来是两个值之间的任意距离。

单变量线性插值

让我们看一下简单线性插值的情况。

因此，我们有一些函数（例如$x$），我们认为它接近我们想要近似的值是线性的，并且我们想要的值的两侧都有函数的值，例如，像这样：

$$\begin{array}{ c c } x & y\\ 8 & 9.3\\ 16 & y_{16}\\ 20 & 15.6\\ \end{array}$$

我们知道y的两个值相隔12（20-8）。看看x值（我们想要一个近似y值的值）如何以8：4的比率（16-8和20-16）将12的差异除以？也就是说，它是第一个x值到最后一个x值的距离的2/3 。如果关系是线性的，则y值的相应范围将具有相同的比率。$x$$y$$x$$y$$x$

所以应该与16−8大致相同$\frac{y_{16} - 9.3}{15.6 - 9.3}$。$\frac{16-8}{20-8}$

那是$\frac{y_{16} - 9.3}{15.6 - 9.3} \approx \frac{16-8}{20-8}$

重新排列：

$y_{16} \approx 9.3 + (15.6 - 9.3) \frac{16-8}{20-8} = 13.5$

统计表的示例：如果我们有一个t表，其中12df的临界值如下：

$$\begin{array}{ c c } (2\text{-tail})& \\ α & t\\ 0.01 & 3.05\\ 0.02 & 2.68\\ 0.05 & 2.18\\ 0.10 & 1.78 \end{array}$$

我们希望t的临界值为12 df，且两尾alpha为0.025。也就是说，我们在该表的0.02行和0.05行之间进行插值：

$$\begin{array}{ c c } α & t\\ 0.02 & 2.68\\ 0.025 & \text{?}\\ 0.05 & 2.18\\ \end{array}$$

“ ”处的值是我们希望使用线性插值法近似的t 0.025值。（通过吨0.025我实际上指的是1 - 0.025 / 2点的逆CDF的吨12分布。）$\text{?}$$t_{0.025}$$t_{0.025}$$1-0.025/2$$t_{12}$

和以前一样，将来自间隔0.02至0.05的比率（0.025 - 0.02 ）至（0.05 - 0.025 ）（即1 ：5）和未知吨 -值应除以吨范围2.68到2.18以相同的比例; 等同地，0.025发生（0.025 - 0.02 ）/（0.05 - 0.02 ）= 1 $0.025$$0.02$$0.05$$(0.025-0.02)$$(0.05-0.025)$$1:5$$t$$t$$2.68$$2.18$$0.025$个的沿道路 X -range，所以未知吨 -值应该发生 1 / 6个的沿道路吨 -range。$(0.025-0.02)/(0.05-0.02) = 1/6$$x$$t$$1/6$$t$

即或等效$\frac{t_{0.025}-2.68}{2.18-2.68} \approx \frac{0.025-0.02}{0.05-0.02}$

$t_{0.025} \approx 2.68 + (2.18-2.68) \frac{0.025-0.02}{0.05-0.02} = 2.68 - 0.5 \frac{1}{6} \approx 2.60$

实际答案是 ...并不是特别接近，因为我们要近似的函数在该范围内不是非常接近线性（接近α = 0.5）。$2.56$$\alpha = 0.5$

通过变换更好地近似

我们可以用其他函数形式代替线性插值；实际上，我们转换为线性插值效果更好的比例。在这种情况下，在表尾，许多列表式临界值与有效水平的对几乎成线性关系。在取log s之后，我们像以前一样简单地应用线性插值。让我们在上面的示例中尝试一下：$\log$$\log$

$$\begin{array}{ c c } α & \log(α)& t\\ 0.02 & -3.912 & 2.68\\ 0.025& -3.689 & t_{0.025}\\ 0.05 & -2.996 & 2.18\\ \end{array}$$

现在

$$\begin{eqnarray} \frac{t_{0.025}-2.68}{2.18-2.68} &\approx& \frac{\log(0.025)-\log(0.02)}{\log(0.05)-\log(0.02)} \\ &=& \frac{-3.689 - -3.912}{-2.996 - -3.912}\\ \end{eqnarray}$$

或同等

$$\begin{eqnarray} t_{0.025} &\approx& 2.68 + (2.18-2.68) \frac{-3.689 - -3.912}{-2.996 - -3.912}\\ &=& 2.68 - 0.5 \cdot 0.243 \approx 2.56 \end{eqnarray}$$

引用的数字正确。这是因为-当我们对数刻度进行对数转换时，该关系几乎是线性的：

确实，在视觉上，曲线（灰色）整齐地位于直线（蓝色）的顶部。

$\text{logit}(\alpha)=\log(\frac{α}{1-α})=\log(\frac{1}{1-α}-1)$$\alpha$$\log$

跨不同自由度的插值

$t$$F$$\nu$$^\dagger$$1/\nu$

$120/\nu$$120/\nu$

$F_{4,\nu}$$\nu = 60$$120$$1/\nu$$\nu=80$$F$

$$F_{4,80,.95} \approx F_{4,60,.95} + \frac{1/80 - 1/60}{1/120 - 1/60} \cdot (F_{4,120,.95}-F_{4,60,.95})$$

（图与比较这里）

---

$^\dagger$

这是一张卡方桌

            Probability less than the critical value
 df           0.90      0.95     0.975      0.99     0.999
______   __________________________________________________

 40         51.805    55.758    59.342    63.691    73.402
 50         63.167    67.505    71.420    76.154    86.661
 60         74.397    79.082    83.298    88.379    99.607
 70         85.527    90.531    95.023   100.425   112.317

想象一下，我们希望找到57个自由度的5％临界值（95％百分数）。

仔细观察，我们发现表中5％的临界值在这里几乎呈线性增长：

（绿线连接了50和60 df的值；您可以看到它触摸了40和70的点）

因此线性插值会做得很好。但是我们当然没有时间画图了。如何决定何时使用线性插值以及何时尝试更复杂的方法？

$(x_{50,0.95}+x_{70,0.95})/2$$x_{60,0.95}$

$(67.505+90.531)/2 = 79.018$

$\frac{x-67.505}{79.082-67.505} \approx {57-50}{60-50}$

$x\approx 67.505+(79.082-67.505)\cdot {57-50}{60-50}\approx 75.61$

实际值为75.62375，因此我们确实获得了3个数字的准确性，在第四个数字中仅差了1个。

通过使用有限差分的方法（尤其是通过划分的差分），仍可以实现更精确的插值，但这对于大多数假设检验问题而言可能是过大的了。

如果您的自由度超出了表格的范围，则此问题将讨论该问题。