非中心卡方随机变量之和

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我需要找到随机变量的分布

Y = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$ ，其中

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$ 和所有

X_{i}

$X_i$ s为独立的。我知道有可能首先找到

X_{i}

$X_i$ s 的所有矩生成函数的乘积，然后变换回以获得

Y

$Y$ 的分布。但是，我想知道

是否有通用形式

Y

$Y$ 类似于高斯案例：我们知道独立高斯的和仍然是高斯，因此我们只需要知道求和的平均值和求和的方差即可。

如何对所有？这种情况是否可以解决？ $\sigma^2_i=\sigma^2$

— 陷阱
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1

综观下第一段这里，明确了最终条件产生通过缩放非中心卡方（除以

（你把比例因子出前），使

中

）。你开始看起来像一个线性组合或更一般的形式按比例加权平均，用系数

，而不是按比例平方的普通总和......我相信，一般不会有所需的分布。

σ^{2}

$\sigma^2$

σ_{i} = 1

$\sigma_i=1$

\sum_{i = 1}^{k} (X_{i} / σ_{i})^{2}

$\sum_{i=1}^k (X_i/\sigma_i)^2$

σ_{i}^{2}

$\sigma^2_i$

— Glen_b-恢复莫妮卡

根据您的需要，在特定情况下，您可以进行数值卷积或仿真。

— Glen_b-恢复莫妮卡

这可以通过“对数卡方对幂的加权总和”分布来概括。我的R包sadists为

提供了近似的'dpqr'函数；cf github.com/shabbychef/sadists

Y

$Y$

— shabbychef 2015年

17

正如Glen_b在评论中指出的那样，如果方差都相同，则最终会产生缩放的非中心卡方。

如果没有，有一个的概念一般化卡方分布，即为和固定。在这种情况下，你有对角的特殊情况（），和。 $x^T A x$ $x \sim N(\mu, \Sigma)$ $A$ $\Sigma$ $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ $A = I$

使用这种发行版已经进行了一些计算工作的工作：

Imhof（1961）和Davies（1980）对特征函数进行了数值反演。
Sheil和O'Muircheartaigh（1977）将分布写为中心卡方变量的无穷大。
Kuonen（1999）给出了pdf / cdf的鞍点近似值。
Liu，Tang和Zhang（2009）使用基于累积量匹配的非中心卡方分布对其进行了近似。

还可以将其写为独立非中心卡方变量的线性组合，在这种情况下： $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$

Castaño-Martínez和López-Blázquez（2005）给出了pdf / cdf的Laguerre扩展。

Bausch（2013）为中心卡方的线性组合提供了一种计算效率更高的算法。他的工作可能会扩展到非中心卡方，并且您可能会在相关工作部分找到一些有趣的指针。

— 杜加尔
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2

Duchesne等人发现了近似方法的比较。2010。计算统计与数据分析，54，858–862。作者维护R包CompQuadForm及其实现。

— caracal 2015年

-10

这将是自由度为n的卡方。

— 艾哈迈德
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6

我相信你忽略了

可能为零。对问题的评论以及现有的答案很有参考价值。

μ_{i}

$\mu_i$

— ub