ARMA(2,1)过程的自协方差


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我需要为ARMA(2,1)进程的自协方差函数导出解析表达式,γ(k)表示为:

yt=ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt

因此,我知道:

γ(k)=E[yt,ytk]

所以我可以写:

γ(k)=ϕ1E[yt1ytk]+ϕ2E[yt2ytk]+θ1E[ϵt1ytk]+E[ϵtytk]

然后,要导出自协方差函数的解析版本,我需要替换k -0、1、2 ...的值,直到获得对大于某个整数的所有有效的递归k

因此,我将k=0并通过计算得出:

γ(0)=E[yt,yt]=ϕ1E[yt1yt]+ϕ2E[yt2yt]+θ1E[ϵt1yt]+E[ϵtyt]

现在,我可以简化这些术语的前两个,然后像以前一样替换yt

γ(0)=ϕ1γ(1)+ϕ2γ(2)+θ1E[ϵt1(ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt)]+E[ϵt(ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt)]

然后我将八个项相乘:

+θ1ϕ1E[ϵt1yt1]+θ1ϕ2E[ϵt1yt2]+θ12E[(ϵt1)2]=θ12σϵ2+θ1E[ϵt1ϵt]=θ1E[ϵt1]E[ϵt]=0+ϕ1E[ϵtyt1]+ϕ2E[ϵtyt2]+θ1E[ϵtϵt1]=θ1E[ϵt]E[ϵt1]=0+E[(ϵt)2]=σϵ2

因此,我需要解决其余四个条款。我想对行1、2、5和6使用与第4和7行相同的逻辑-例如,对于第1行:

,因为 ë [ ε - 1 ] = 0θ1ϕ1E[ϵt1yt1]=θ1ϕ1E[ϵt1]E[yt1]=0E[ϵt1]=0

对于第2、5和6行,类似。但是我有一个模型解决方案,建议的表达式简化为:γ(0)

γ(0)=ϕ1γ(1)+ϕ2γ(2)+θ1(ϕ1+θ1)σϵ2+σϵ2

这表明如上所述,我的简化将忽略系数为 -在我的逻辑下应为0。我的逻辑有误吗?还是我发现模型解决方案不正确?ϕ1

可行的解决方案还建议“类似地” 可以找到γ(1)

γ(1)=ϕ1γ(0)+ϕ2γ(1)+θ1σϵ2

并且对于k>1

γ(k)=ϕ1γ(k1)+ϕ2(k2)

我希望问题清楚。任何帮助将不胜感激。先感谢您。

这是与我的研究相关的问题,并不准备进行任何考试或课程作业。

Answers:


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如果ARMA过程是因果关系,则可以使用一个通用公式来提供自协方差系数。

考虑因果过程 Ŷ = p Σ= 1 φ ý - 1 + q Σ Ĵ = 1 θ Ĵ ε - Ĵ + ε 其中ε 是白噪声均值为零和方差σ 2 ε。由因果属性,所述方法可以被写为 Ŷ = ΣARMA(p,q)

yt=i=1pϕiyt1+j=1qθjϵtj+ϵt,
ϵtσϵ2 其中ψĴ表示ψ-weights。
yt=j=0ψjϵtj,
ψjψ

为因果的自协方差系数一般齐次方程的过程是 γ ķ - φ 1个 γ ķ - 1 - - φ p γ ķ - p = 0 ARMA(p,q)

γ(k)ϕ1γ(k1)ϕpγ(kp)=0,kmax(p,q+1),
γ(k)j=1pϕjγ(kj)=σϵ2j=kqθjψjk,0k<max(p,q+1).

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您原始问题中的计算错误在于

θ1ϕ1E[ϵt1yt1]=θ1ϕ1E[ϵt1]E[yt1]=0(mistaken)

E[ϵt1yt1]ϵt1yt1


从下面的更新中可以看出,我在完成发布后很快意识到了这一点-但非常感谢您的帮助!
水文学家

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好。因此,撰写帖子的过程实际上使我找到了解决方案。

考虑一下我认为应该为0的期望项1、2、5和6。

E[ϵtyt1]E[ϵtyt2]yt1yt2ϵtE[ϵt]=0

yt1yt2

yt1=ϕ1yt2+ϕ2yt3+θ1ϵt2+ϵt1yt2=ϕ1yt3+ϕ2yt4+θ1ϵt3+ϵt2

ϕ1θ1E[ϵt1yt1]yt1ϵt1yt2yt3ϵt2ϵt1E[ϵt1]=0

E[ϵt1yt1]=E[(ϵt1)2]=σϵ2

+ϕ1θ1σϵ2

因此,原始模型答案是正确的。

但是,如果有人可以建议其他方法来获得一般的解决方案(即使是凌乱的解决方案),我也将非常高兴听到它!

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