ARMA（2,1）过程的自协方差

我需要为ARMA（2,1）进程的自协方差函数导出解析表达式，$\gamma\left(k\right)$表示为：

$y_t=\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+\theta_1\epsilon_{t-1}+\epsilon_t$

因此，我知道：

$\gamma\left(k\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_{t-k}\right]$

所以我可以写：

$\gamma\left(k\right) = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_{t-k}\right]+\phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_{t-k}\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-k}\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-k}\right]$

然后，要导出自协方差函数的解析版本，我需要替换$k$ -0、1、2 ...的值，直到获得对大于某个整数的所有有效的递归$k$。

因此，我将$k=0$并通过计算得出：

$$\gamma \left(0\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_t\right] = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_t\right] + \phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_t\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_t\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_t\right]\\ $$

现在，我可以简化这些术语的前两个，然后像以前一样替换：$y_t$

$$\gamma\left(0\right) = \phi_1 \gamma\left(1\right) + \phi_2 \gamma\left(2\right)\\ + \theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1} \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]\\ + \mathrm{E}\left[\epsilon_t \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]$$

然后我将八个项相乘：

$$+\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]\\ +\theta_1\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1^2\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right]=\theta_1^2\sigma_{\epsilon}^2\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\epsilon_{t}\right]=\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]=0\\ +\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-1}\right]\\ +\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_t\epsilon_{t-1}\right] = \theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0 \\ +\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_t\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

因此，我需要解决其余四个条款。我想对行1、2、5和6使用与第4和7行相同的逻辑-例如，对于第1行：

，因为 ë [ ε 吨- 1 ] = 0。$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

对于第2、5和6行，类似。但是我有一个模型解决方案，建议的表达式简化为：$\gamma\left(0\right)$

$\gamma\left(0\right) = \phi_1\gamma\left(1\right)+\phi_2\gamma\left(2\right) +\theta_1\left(\phi_1+\theta_1\right)\sigma_{\epsilon}^2+\sigma_{\epsilon}^2$

这表明如上所述，我的简化将忽略系数为 -在我的逻辑下应为0。我的逻辑有误吗？还是我发现模型解决方案不正确？$\phi_1$

可行的解决方案还建议“类似地” 可以找到：$\gamma\left(1\right)$

$\gamma\left(1\right) = \phi_1\gamma\left(0\right)+\phi_2\gamma\left(1\right) + \theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

并且对于：$k>1$

$\gamma\left(k\right) = \phi_1\gamma\left(k-1\right)+\phi_2\left(k-2\right)$

我希望问题清楚。任何帮助将不胜感激。先感谢您。

这是与我的研究相关的问题，并不准备进行任何考试或课程作业。

如果ARMA过程是因果关系，则可以使用一个通用公式来提供自协方差系数。

考虑因果过程 Ŷ 吨 = p Σ我= 1 φ 我ý 吨- 1 + q Σ Ĵ = 1 θ Ĵ ε 吨- Ĵ + ε 吨， 其中ε 吨是白噪声均值为零和方差σ 2 ε。由因果属性，所述方法可以被写为 Ŷ 吨 = ∞ $\text{ARMA}(p,q)$

$$y_t = \sum_{i = 1}^p \phi_i y_{t-1} + \sum_{j = 1}^q \theta_j \epsilon_{t - j} + \epsilon_t,$$ $\epsilon_t$$\sigma_\epsilon^2$ 其中ψĴ表示ψ-weights。 $$y_t = \sum_{j = 0}^\infty \psi_j \epsilon_{t - j},$$ $\psi_j$$\psi$

为因果的自协方差系数一般齐次方程的过程是 γ （ķ ）- φ 1个 γ （ķ - 1 ）- ⋯ - φ p γ （ķ - p ）= 0 $\text{ARMA}(p,q)$

$$\gamma (k) - \phi_1 \gamma (k-1) - \cdots - \phi_p \gamma (k-p) = 0, \quad k \geq \max (p, q+1),$$ $$\gamma (k) - \sum_{j = 1}^p \phi_j \gamma (k-j) = \sigma_\epsilon^2 \sum_{j = k}^q \theta_j \psi_{j - k}, \quad 0 \leq k < \max (p, q+1).$$

您原始问题中的计算错误在于

$$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0 \qquad \text{(mistaken)}$$

$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-1}$

好。因此，撰写帖子的过程实际上使我找到了解决方案。

考虑一下我认为应该为0的期望项1、2、5和6。

$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-1}\right]$$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-2}\right]$$y_{t-1}$$y_{t-2}$$\epsilon_t$$\mathrm{E}\left[\epsilon_t\right] = 0$

$y_{t-1}$$y_{t-2}$

$$y_{t-1} = \phi_1y_{t-2}+\phi_2y_{t-3}+\theta_1\epsilon_{t-2}+\epsilon_{t-1}\\ y_{t-2} = \phi_1y_{t-3}+\phi_2y_{t-4}+\theta_1\epsilon_{t-3}+\epsilon_{t-2}$$

$\phi_1\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$y_{t-1}$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-2}$$y_{t-3}$$\epsilon_{t-2}$$\epsilon_{t-1}$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

$+\phi_1\theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

因此，原始模型答案是正确的。

但是，如果有人可以建议其他方法来获得一般的解决方案（即使是凌乱的解决方案），我也将非常高兴听到它！