我需要为ARMA(2,1)进程的自协方差函数导出解析表达式,γ(k)表示为:
yt=ϕ1yt−1+ϕ2yt−2+θ1ϵt−1+ϵt
因此,我知道:
γ(k)=E[yt,yt−k]
所以我可以写:
γ(k)=ϕ1E[yt−1yt−k]+ϕ2E[yt−2yt−k]+θ1E[ϵt−1yt−k]+E[ϵtyt−k]
然后,要导出自协方差函数的解析版本,我需要替换k -0、1、2 ...的值,直到获得对大于某个整数的所有有效的递归k。
因此,我将k=0并通过计算得出:
γ(0)=E[yt,yt]=ϕ1E[yt−1yt]+ϕ2E[yt−2yt]+θ1E[ϵt−1yt]+E[ϵtyt]
现在,我可以简化这些术语的前两个,然后像以前一样替换:yt
γ(0)=ϕ1γ(1)+ϕ2γ(2)+θ1E[ϵt−1(ϕ1yt−1+ϕ2yt−2+θ1ϵt−1+ϵt)]+E[ϵt(ϕ1yt−1+ϕ2yt−2+θ1ϵt−1+ϵt)]
然后我将八个项相乘:
+θ1ϕ1E[ϵt−1yt−1]+θ1ϕ2E[ϵt−1yt−2]+θ21E[(ϵt−1)2]=θ21σ2ϵ+θ1E[ϵt−1ϵt]=θ1E[ϵt−1]E[ϵt]=0+ϕ1E[ϵtyt−1]+ϕ2E[ϵtyt−2]+θ1E[ϵtϵt−1]=θ1E[ϵt]E[ϵt−1]=0+E[(ϵt)2]=σ2ϵ
因此,我需要解决其余四个条款。我想对行1、2、5和6使用与第4和7行相同的逻辑-例如,对于第1行:
,因为 ë [ ε 吨- 1 ] = 0。θ1ϕ1E[ϵt−1yt−1]=θ1ϕ1E[ϵt−1]E[yt−1]=0E[ϵt−1]=0
对于第2、5和6行,类似。但是我有一个模型解决方案,建议的表达式简化为:γ(0)
γ(0)=ϕ1γ(1)+ϕ2γ(2)+θ1(ϕ1+θ1)σ2ϵ+σ2ϵ
这表明如上所述,我的简化将忽略系数为 -在我的逻辑下应为0。我的逻辑有误吗?还是我发现模型解决方案不正确?ϕ1
可行的解决方案还建议“类似地” 可以找到:γ(1)
γ(1 ) = ϕ1个γ(0 ) + ϕ2γ(1 ) + θ1个σ2ϵ
并且对于:k > 1
γ(k ) = ϕ1个γ(k − 1 ) + ϕ2(k − 2 )
我希望问题清楚。任何帮助将不胜感激。先感谢您。
这是与我的研究相关的问题,并不准备进行任何考试或课程作业。