在状态空间模型中解释卡尔曼滤波器

在状态空间模型中使用卡尔曼滤波器的步骤涉及什么？

我看到了几种不同的表述，但是我不确定细节。例如，Cowpertwait从以下等式开始：

θ吨=g ^吨θ吨-1+瓦特

$$y_{t} = F^{'}_{t}\theta_{t}+v_{t}$$ $$\theta_{t} = G_{t}\theta_{t-1}+w_{t}$$

其中和 ，是我们未知的估计，而是观测值。瓦特吨〜Ñ （0 ，w ^ 吨）θ 吨 ÿ $\theta_{0} \sim N(m_{0}, C_{0}), v_{t} \sim N(0,V_{t})$$w_{t} \sim N(0, W_{t})$$\theta_{t}$$y_{t}$

Cowpertwait定义了所涉及的分布（分别为先验，似然和后验分布）：

ÿ 吨 | θ 吨〜Ñ （

$$\theta_{t}|D_{t-1} \sim N(a_{t}, R_{t})$$ θ吨| d吨〜Ñ（米吨，Ç吨 $$y_{t}|\theta_{t} \sim N(F^{'}_{t}\theta_{t}, V_{t})$$ $$\theta_{t}|D_{t} \sim N(m_{t}, C_{t})$$

与

$$\begin{eqnarray} a_{t}&= G_{t}m_{t-1}, \qquad R_{t} &= G_{t}C_{t-1}G^{'}_{t} + W_{t} \\ e_{t}&=y_{t}-f_{t}, \qquad m_{t}&=a_{t}+A_{t}e_{t} \\ f_{t}&=F^{'}_{t}a_{t}, \qquad Q_{t}&=F^{'}_{t}R_{t}F_{t}+V_{t} \\ A_{t}&=R_{t}F_{t}Q^{-1}_{t}, \qquad C_{t}&=R_{t}-A_{t}Q_{t}A^{'}_{t} \end{eqnarray}$$

顺便说一句，表示给定直到的观测值的分布。一个更简单的表示法是但我会坚持使用Cowpertwait的表示法。$\theta_{t}|D_{t-1}$$\theta_{t}$$y$$t-1$$\theta_{t|t-1}$

作者还根据期望描述了的预测：$y_{t+1}|D_{t}$

$$E[y_{t+1}|D_{t}] = E[F^{'}_{t+1}\theta_{t+1} + v_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}E[\theta_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}a_{t+1} = f_{t+1}$$

据我了解，以下是这些步骤，但是，如果有错误或不确切之处，请告诉我：

1. 我们从，，也就是说，我们猜测估计值。$m_{0}$$C_{0}$$\theta_{0}$
2. 我们预测。那应该等于，它是。，因为已知。$y_{1}|D_{0}$$f_{1}$$F^{'}_{1}a_{1}$$a_{1}$$a_{1} = G_{1}m_{0}$
3. 一旦我们有了的预测，就可以计算出误差。$y_{1}|D_{0}$$e_{1} = y_{1} - f_{1}$
4. 误差用于计算需要和的后验分布。作为先验平均值和误差的加权和给出：。 θ 1 | D 1 m 1 C 1 m 1 a 1 + A 1 e $e_{1}$$\theta_{1}|D_{1}$$m_{1}$$C_{1}$$m1$$a_{1} + A_{1}e_{1}$
5. 在下面的迭代中，我们从步骤1中预测。在这种情况下，。由于并且是我们在上一步中已经计算过的的期望值，因此我们可以继续计算误差和后验分布的平均值。 f 2 = $y_{2}|D_{1}$一2=G ^2米1米1θ1| d1Ë2θ2| 第$f_{2} = F^{'}_{2}a_{2}$$a_{2} = G_{2}m_{1}$$m1$$\theta_{1}|D_{1}$$e_{2}$$\theta_{2}|D_{2}$

我认为后验分布是某些人所说的更新步骤，而使用的期望值是预测步骤。 y t + 1 | d $\theta_{t}|D_{t}$$y_{t+1}|D_{t}$

为了简洁起见，我省略了计算协方差矩阵的步骤。

我有想念吗？您知道更好的方法来解释这一点吗？我认为这仍然有些混乱，因此也许有一个更清晰的方法。

我认为您说的是正确的，而且我认为这不是一团糟。措辞的一种说法是，卡尔曼滤波器是一种纠错算法，可以根据当前观测值的差异修改预测。在您的步骤4）中使用增益矩阵进行此校正。$A_t$