不相关性对哪些分布表示独立？

统计由来已久的提醒是“uncorrelatedness并不能意味着独立”。通常，这种提醒是在心理上舒缓的（并且在科学上正确的）陈述中进行补充的：“尽管如此，这两个变量共同正态分布，但不相关的确意味着独立”。

我可以将快乐异常的数量从一增加到两个：当两个变量是伯努利分布时，那么不相关又意味着独立。如果和是两个Bermoulli rv，则，其中我们有，类似地对于，它们的协方差为 $X$ $Y$ $X \sim B(q_x),\; Y \sim B(q_y)$ $P(X=1) = E(X) = q_x$ $Y$

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = \sum_{S_{X Y}} p (x, y) x y - q_{x} q_{y}

$\operatorname{Cov}(X,Y)= E(XY) - E(X)E(Y) = \sum_{S_{XY}}p(x,y)xy - q_xq_y$

= P (X = 1, Y = 1) - q_{x} q_{y} = P (X = 1 ∣ Y = 1) P (Y = 1) - q_{x} q_{y}

$= P(X=1,Y=1) - q_xq_y = P(X=1\mid Y=1)P(Y=1)-q_xq_y$

= (P (X = 1 ∣ Y = 1) - q_{x}) q_{y}

$= \Big(P(X=1\mid Y=1)-q_x\Big)q_y$

对于不相关性，我们要求协方差为零，因此

Cov (X, Y) = 0 \Rightarrow P (X = 1 ∣ Y = 1) = P (X = 1)

$\operatorname{Cov}(X,Y) = 0 \Rightarrow P(X=1\mid Y=1) = P(X=1)$

\Rightarrow P (X = 1, Y = 1) = P (X = 1) P (Y = 1)

$\Rightarrow P(X=1,Y=1) = P(X=1)P(Y=1)$

这也是变量独立所需要的条件。

所以我的问题是：您是否知道其他任何分布（连续或离散）的不相关性意味着独立性？

含义：假设两个随机变量具有边际属于相同的分布（或许与所涉及的分布参数不同的值）的分布，但让我们用同样支持如说。两个指数，两个三角形等。方程所有解是否都由于所涉及的分布函数的形式/性质而隐含着独立性？正态边际（也假定它们具有二元正态分布）和伯努利边际都是这种情况-还有其他情况吗？ $X,Y$ $\operatorname{Cov}(X,Y) = 0$

这样做的动机是，与检查独立性是否成立相比，通常更容易检查协方差是否为零。因此，如果在给定理论分布的情况下，通过检查协方差，您还在检查独立性（例如伯努利或正态情况），那么这将是一件有用的事情。
如果从两个具有正常边际的rv中得到两个样本，我们就会知道，如果我们可以从这些样本统计得出它们的协方差为零，那么我们也可以说它们是独立的（但仅因为它们具有正常的边际）。知道我们是否可以在两个rv具有属于其他分布的边际的情况下同样得出结论将很有用。

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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从逻辑上讲，这里没有问题：采用任意一对自变量作为分布。无论它们是否相关，它们都由法令独立！您确实需要更精确地了解“分发”的含义以及发现有用的答案。

— Whuber

@whuber我不明白您的评论。我先从不相关性开始，然后问：“我是否可以证明它们不相关，何时暗示它们也独立”？由于问题中陈述的两个结果取决于rv具有特定的分布（正态分布或伯努利分布），因此我问“是否存在其他任何已知分布，如果两个变量都遵循该分布，则该结果成立”？

— Alecos Papadopoulos

取任意两个自变量并让为它们的分布。是您问题的有效答案。请注意，您要证明一个条件，根据定义，只要结果为真，无论其前身的真值是多少，该条件就成立。因此，根据逻辑的基本规则，自变量的所有分布都是您问题的答案。

X, Y

$X,Y$

F

$F$

F

$F$

— ub

@Whuber，你显然是对的。我添加了一些与此动机相关的文字，希望借此阐明我的动机。

— Alecos Papadopoulos

做出此决定时，您将从什么信息开始？从示例的表述来看，似乎给您每个变量的边际pdf以及每对变量不相关的信息。然后，您可以确定它们是否也是独立的。这个准确吗？

— 概率

“尽管两个变量都是正态分布的，但是不相关确实意味着独立” 是一个非常普遍的谬误。

仅当它们共同正态分布时才适用。

我最经常看到的反例是正常和独立的Rademacher（所以它是1或-1，概率分别为0.5）；那么也是正常的（从考虑其分布函数来看是很显然的），（此处的问题是例如通过对以下内容进行迭代期望来显示，并注意到是或，每个概率为0.5），很明显变量是相关的（例如，如果我知道则或，因此有关 $X \sim N(0,1)$ $Y$ $Z=XY$ $\operatorname{Cov}(X,Z)=0$ $\mathbb{E}(XZ)=0$ $Y$ $XZ$ $X^2$ $-X^2$ $X>2$ $Z>2$ $Z<-2$ $X$ 给我有关信息。 $Z$

还应该记住，边际分布并不能唯一地确定联合分布。任取两个真正的房车和边际的CDF和。然后对于任何函数： $X$ $Y$ $F_X(x)$ $G_Y(y)$ $\alpha<1$

H_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) G_{Y} (y) (1 + α (1 - F_{X} (x)) (1 - F_{Y} (y)))

$H_{X,Y}(x,y)=F_X(x)G_Y(y)\left(1+\alpha\big(1-F_X(x)\big)\big(1-F_Y(y)\big)\right)$

将是一个双变量CDF。（要获取边际从作为取极限趋于无穷大，其中。反之亦然为。）很明显，通过选择不同的值的，你可以得到不同的联合分布！ $F_X(x)$ $H_{X,Y}(x,y)$ $y$ $F_Y(y)=1$ $Y$ $\alpha$

— 蠹虫
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确实。我忘记了“联合”。

— Alecos Papadopoulos

@Alecos既然边际分布通常不能确定联合分布（只是编辑了我的答案以使这一点变得清楚），这在哪里留下您的问题？

— Silverfish

@Alecos我想我现在对这个问题的实质有了更好的理解：给定两个边际分布，存在无限可能的联合分布。在什么情况下，施加零协方差的条件会使我们仍然只有那些联合分布之一，即随机变量是独立的那个联合分布？

— 银鱼

如果我坚持双变量的情况，则联合MGF和边际MGF和，问题变成：表示吗？

M_{X, Y} (s, t)

$M_{X,Y}(s,t)$

M_{X} (s) = M_{X, Y} (s, 0)

$M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$

M_{Y} (t) = M_{X, Y} (0, t)

$M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$

\frac{\partial^{2}}{\partial s \partial t} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0} = \frac{\partial}{\partial s} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0} \cdot \frac{\partial}{\partial t} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0}

$\frac{\partial^2}{\partial s \partial t}M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0} = \frac{\partial}{\partial s} M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0} \cdot \frac{\partial}{\partial t} M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0}$

M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0) \cdot M_{X,Y}(0,t)$

— 银鱼

@Silverman我会检查的概念subindependence，en.wikipedia.org/wiki/Subindependence，看有无这个问题可以在瞬间生成功能方面制定。

— Alecos Papadopoulos