逆向傅里叶变换进行Fisher分布

Fisher 分布的特征函数为：其中是合流超几何函数。我试图解决傅立叶逆变换所述的 -convolution恢复可变的密度，那就是：的目的是获得之和的分布 $\mathcal{F}(1,\alpha)$

C （ Ť ） = \frac{Γ （ \frac{α + 1个}{2} ） ü （ \frac{1个}{2} ， 1个 - \frac{α}{2} ， - 一世 Ť α ）}{Γ （ \frac{α}{2} ）}

$C(t)=\frac{\Gamma \left(\frac{\alpha +1}{2}\right) U\left(\frac{1}{2},1-\frac{\alpha }{2},-i t \alpha \right)}{\Gamma \left(\frac{\alpha }{2}\right)}$

U

$U$

F_{t, x}^{- 1}

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1}$

n

$n$

x

$x$

F_{Ť ， X}^{- 1个} （ C （ Ť ）^{ñ} ）

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1} \left(C(t)^n\right)$

n

$n$ Fisher分配的随机变量。我想知道有人是否有任何想法，因为这似乎很难解决。我尝试和值无济于事。注意：对于通过卷积），我得到平均值的pdf（而不是总和）：

α = 3

$\alpha=3$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

\frac{3 （ 12 （ X^{2} + 3 ） （ 5 X^{2} - 3 ） X^{2} + 9 （ 20 X^{4} + 27 X^{2} + 9 ） 日志 （ \frac{4 X^{2}}{3} + 1个 ） + 2 \sqrt{3} （ X^{2} + 15 ） （ 4 X^{2} + 3 ） X^{3} {棕褐色}^{- 1个} （ \frac{2 X}{\sqrt{3}} ） ）}{π^{2} X^{3} {（ X^{2} + 3 ）}^{3} （ 4 X^{2} + 3 ）}

$\frac{3 \left(12 \left(x^2+3\right) \left(5 x^2-3\right) x^2+9 \left(20 x^4+27 x^2+9\right) \log \left(\frac{4 x^2}{3}+1\right)+2 \sqrt{3} \left(x^2+15\right) \left(4 x^2+3\right) x^3 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{\sqrt{3}}\right)\right)}{\pi ^2 x^3 \left(x^2+3\right)^3 \left(4 x^2+3\right)}$ ，

其中是2个变量的平均值。我知道这很麻烦，但是很想了解盆地分布的近似值。 $x$

— 尼禄
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这个问题还存在吗？

— Brethlosze 2015年

是的，它仍然是开放的。

— Nero

我假设您处于某种象征意义下，对吗？

— Brethlosze

（？）相关阅读： mathoverflow.net/questions/184367/... jstor.org/stable/2287787?seq=1#page_scan_tab_contents sciencedirect.com/science/article/pii/016771529190098C

— 的Kjetil b HALVORSEN

对于F统计量的卷积，没有闭合形式的密度，因此，尝试通过分析求逆特征函数的方法不太可能产生任何有用的结果。

在数学统计中，倾斜的Edgeworth展开（也称为鞍点逼近）是一种著名的且经常使用的技术，用于在给定特征函数的情况下逼近密度函数。鞍点近似值通常非常准确。Ole Barndorff-Nielsen和David Cox编写了一本教科书，解释了这种数学技术。

$aF(n,k)$ $n$ $a$ $k$

$\alpha$ $n$ $a=n$ $k=\infty$ $\alpha$

— 戈登·史密斯
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