有条件分位数回归与无条件分位数回归有什么区别？

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Koenker和Basset（1978）针对分位数的条件分位数回归估计器定义为其中是重新加权功能（称为“检查”功能）残差。 $\tau^{th}$

{\hat{β}}_{Q R} = min_{b} \sum_{i = 1}^{n} ρ_{τ} (y_{i} - X_{i}^{'} b_{τ})

$\widehat{\beta}_{QR} = \min_{b} \sum^{n}_{i=1} \rho_\tau (y_i - X'_i b_\tau)$

ρ_{τ} = u_{i} \cdot (τ - 1 (u_{i} < 0))

$\rho_\tau = u_i\cdot (\tau - 1(u_i<0))$

u_{i}

$u_i$

在Firpo等人的论文中。（2009年），作者指出条件分位数回归不会产生有趣的效果。他们说，有条件的结果不能推广到总体（在OLS中，我们始终可以通过迭代期望定律从有条件变为无条件，但这不适用于分位数）。这是因为 $\tau^{th}$ 无条件分位数 $y_i$ 可能与 $\tau^{th}$ 有条件分位数 $y_i |X_i$ 。

如果我理解正确，那么问题的一部分就是中包含哪些协 $X_i$ 变量排名变量产生影响， $u_i$ 因为包含协变量会将误差分为观察到的分量和未观察到的分量。我只是不太明白为什么会引起问题。

这是我的问题：

是什么使有条件和无条件分位数效应彼此不同？
如何解释条件分位数回归的系数？
条件分位数回归是否有偏差？

参考文献：

Koenker，R。和Bassett，G。（1978）“回归分位数”，《计量经济学》，第1卷。46（1），第33-50页。
Firpo，S。等。（2009）“无条件分位数回归”，《计量经济学》，第1卷。77（3），第953-973页。

quantile-regression

— 亚历克斯
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我建议您查看Angrist和Pischke撰写的“最无害的计量经济学”的第7章。它具有分位数回归系数解释的一些示例，以及分位数对X的影响的示例。我同意您的观点，除非您希望隔离一个协变量的影响，否则这些隐含对于使用模型不会无效。我认为分位数回归也可能有偏差；例如，Angrist和Pischke探索了一些建议的方法来控制遗漏变量。

— 胡安C

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不是答案，而是一个线索-分位数回归可以解释为“丢失数据”问题，其中丢失的数据是加权OLS回归中使用的权重。例如，对逆权重使用指数分布可得到中位数回归（）。

τ = 50

$\tau=50$

— 概率

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设置
假设您具有以下形式的简单回归：，其中结果是人对数收入，是受教育的年数，而是错误项。不仅要查看通过OLS获得的教育对收入的平均影响，还希望看到结果分布的不同部分的影响。

\ln y_{i} = α + β S_{i} + ϵ_{i}

$\ln y_i = \alpha + \beta S_i + \epsilon_i$

i

$i$

S_{i}

$S_i$

ϵ_{i}

$\epsilon_i$

1）条件设置和无条件设置之间的区别是什么？
首先绘制对数收益，然后让我们选择两个人和，其中在无条件收益分布的下部，而在上部。 $A$ $B$ $A$ $B$ 在此处输入图片说明

它看起来不是很正常，但这是因为我在模拟中仅使用了200个观察值，所以不要介意。现在，如果我们将收入作为受教育年限，会发生什么？对于每个层次的教育，您将获得“有条件的”收入分配，即，您将得出上面的密度图，但对于每个层次的教育将分别得出。

在此处输入图片说明

两条深蓝色线是在中位数（下线）和第90个百分位数（上线）处通过线性分位数回归得出的预期收益。受过5年和15年教育的红色密度使您可以估算有条件的收入分配。如您所见，个人受过5年的教育，个人受过15年的教育。显然，个人在接受教育的5年时间里，在他的梨子中做得很好，因此，她处于第90个百分位。 $A$ $B$ $A$

因此，一旦您对另一个变量进行条件确定，现在就会发生一个人现在处于条件分布的顶部，而那个人则处于无条件分布的下部的情况，这改变了分位数回归系数的解释。。为什么？

您已经说过，使用OLS，我们可以通过应用迭代期望定律从进行转换，但是，这是期望运算符的一个属性，不适用于分位数（不幸的是！）。因此，通常在任何分位数，。这可以通过首先执行条件分位数回归，然后对条件变量进行积分以获得可在OLS中解释的边际效应（无条件效应）来解决。Powell（2014）提供了这种方法的示例。 $E[y_i|S_i] = E[y_i]$ $Q_{\tau}(y_i|S_i) \neq Q_{\tau}(y_i)$ $\tau$

2）如何解释分位数回归系数？
这是棘手的部分，我并不声称拥有世界上有关此方面的所有知识，因此也许有人会对此提出更好的解释。如您所见，无论您考虑条件分配还是无条件分配，个人在收入分配中的排名都可能有很大不同。

对于条件分位数回归
由于您无法确定治疗前后个体在结果分布中的位置，因此只能对整个分布进行声明。例如，在上面的示例中，意味着接受额外的一年教育可以使有条件收入分配的90％的收入增加（但是您不知道谁仍在该分位数中分配给人们一年的教育时间）。这就是为什么通常不将条件分位数估计或条件分位数处理效果视为“有趣”的原因。通常，我们想知道一种治疗如何影响我们身边的人，而不仅仅是分布。 $\beta_{90} = 0.13$

对于无条件分位数回归
这些就像您用来解释的OLS系数。这里的困难不是解释，而是如何获取并不总是那么容易的那些系数（例如，对于非常稀疏的数据，积分可能不起作用）。边缘化分位数回归系数的其他方法也可以使用，例如使用最近影响函数的Firpo（2009）方法。评论中提到的Angrist和Pischke（2009）的书指出，分位数回归系数的边缘化仍然是计量经济学的活跃研究领域-尽管据我所知，当今大多数人都愿意采用积分方法（例如Melly和Santangelo（2015）将其应用于变更中的变更模型）。

3）条件分位数回归系数是否有偏差？ 不（假设您使用正确指定的模型），它们只是衡量您可能感兴趣或可能不感兴趣的某些东西。在大多数情况下，对分布而不是对个人的影响估计并不是很有趣。举一个反例：考虑一个制定额外一年义务教育的政策制定者，他们想知道这是否能减少人口中的收入不平等。

前两个面板显示了纯位置偏移，其中在所有分位数上都是常数，即不变的分位数处理效果，这意味着如果，则需要再增加一年在整个收入分配中，教育程度的收入将增加8％。 $\beta_{\tau}$ $\beta_{10} = \beta_{90} = 0.8$

当分位数处理效果不是恒定的时（如下面两个面板所示），除位置效果外，您还将具有缩放效果。在此示例中，收入分配的底部向上偏移的幅度大于顶部，因此90-10的差异（收入不平等的标准度量）在人口中减少了。在此处输入图片说明

您不知道哪个人会从中受益，也不知道从底部开始的人是在分配的哪一部分（要回答这个问题，您需要无条件的分位数回归系数）。也许这项政策会伤害他们，并使他们相对于其他人处于更低的地位，但是如果目的是要知道额外一年的义务教育是否会减少收入差距，那么这将是有益的。Brunello等人就是这种方法的一个例子。（2009）。

如果由于内生性的原因仍然对分位数回归的偏倚感兴趣，请看Angrist等人（2006），他们为分位数上下文导出了省略的变量偏倚公式。

— 安迪
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当前是否有此技术的R实现？

— 钱德勒

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除了@Andy提供的出色答案。您可能要签出：

Borah，BJ，＆Basu，A.（2013年）。“通过评估药物依从性的应用，有条件和无条件分位数回归方法之间的突出差异。” 卫生经济学，22（9），1052-1070。http://doi.org/10.1002/hec.2927

— JustGettin开始
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