维中两个随机单位向量的标量积的分布

如果和是中的两个独立的随机单位矢量（均匀分布在单位球面上），它们的标量积（点积）的分布是什么吗？$\mathbf{x}$$\mathbf{y}$$\mathbb{R}^D$$\mathbf x \cdot \mathbf y$

我猜想随着的分布迅速增长（？）成为均值为零的正态值，并且在较高维度方差减小但是对于\ sigma ^ 2（D）？$D$

$$\lim_{D\to\infty}\sigma^2(D) \to 0,$$ $\sigma^2(D)$

更新资料

我进行了一些快速模拟。首先，为D = 1000生成10000对随机单位向量，$D=1000$很容易看到它们的点积分布完全是高斯分布（实际上对于$D=100$，它已经是高斯分布了），请参见左侧的子图。其次，对于从1到10000的每个$D$（以递增的步长），我生成了1000对并计算了方差。对数-对数图显示在右侧，很明显公式很容易被1 / D近似$1/D$。请注意，对于$D=1$和$D=2$此公式甚至可以给出准确的结果（但我不确定以后会发生什么）。

因为（众所周知）通过对变量正态分布进行归一化而获得了单位球面上的均匀分布， 并且归一化向量的点积是它们的相关系数，所以这三个问题的答案问题是：$S^{D-1}$$D$$t$

1. $u= (t+1)/2$具有Beta分布。$((D-1)/2,(D-1)/2)$

2. 的方差等于（如问题所推测）。$t$$1/D$

3. 的标准化分布以的速率接近正态$t$$O\left(\frac{1}{D}\right).$

---

方法

容易从几何上轻松获得单位矢量点积的精确分布，因为这是第二个矢量在第一个方向上的分量。由于第二矢量与第一矢量无关，并且均匀地分布在单位球体上，因此它在第一方向上的分量与球体的任何坐标相同地分布。（请注意，第一个向量的分布无关紧要。）

求密度

因此，以该坐标为最后一个坐标，处的密度与单位球面上位于到之间的高度的表面积成比例。该比例出现在高度为且半径为这实际上是由半径为的构成的圆锥形截头锥体的高度和斜率。概率与$t \in [-1,1]$$t$$t+dt$$dt$$\sqrt{1-t^2},$$S^{D-2}$$\sqrt{1-t^2},$$dt$$1/\sqrt{1-t^2}$

$$\frac{\left(\sqrt{1 - t^2}\right)^{D-2}}{\sqrt{1 - t^2}}\,dt = (1 - t^2)^{(D-3)/2} dt.$$

令意味着。将其替换为前面的值将使概率元素达到归一化常数：$u=(t+1)/2 \in [0,1]$$t = 2u-1$

$$f_D(u)du \; \propto \; (1 - (2u-1)^2)^{(D-3)/2} d(2u-1) = 2^{D-2}(u-u^2)^{(D-3)/2}du.$$

立即具有Beta分布，因为（根据定义）其密度也与$u=(t+1)/2$$((D-1)/2, (D-1)/2)$

$$u^{(D-1)/2-1}\left(1-u\right)^{(D-1)/2-1} = (u-u^2)^{(D-3)/2} \; \propto \; f_D(u).$$

确定极限行为

使用基本技术可以很容易地从中获得有关极限行为的信息：可以集成以获得比例常数 ; 可以积分（例如，使用Beta函数的属性）以获得矩，从而表明方差为并缩小为（因此，根据切比雪夫定理，该概率变得集中于附近））; 然后通过考虑标准化分布的密度值（与成正比）来分布。$f_D$$\frac{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{D-1}{2}\right)}$$t^k f_D(t)$$1/D$$0$$t=0$$f_D(t/\sqrt{D}),$$t$：

$$\eqalign{ \log(f_D(t/\sqrt{D})) &= C(D) + \frac{D-3}{2}\log\left(1 - \frac{t^2}{D}\right) \\ &=C(D) -\left(1/2 + \frac{3}{2D}\right)t^2 + O\left(\frac{t^4}{D}\right) \\ &\to C -\frac{1}{2}t^2 }$$

其中代表积分的（对数）常数。显然，接近常态的速度（对数密度等于）的比率为$C$$-\frac{1}{2}t^2$$O\left(\frac{1}{D}\right).$

该图显示了标准化为单位方差的 4、6、10的点积的密度及其极限密度。处的值随增大（对于标准法线密度，从蓝色到红色，金色和绿色）。在此分辨率下，的密度与正常密度是无法区分的。$D=4, 6, 10$$0$$D$$D=1000$

让我们找到分布，然后方差跟随标准结果。考虑矢量乘积并将其写成余弦形式，即注意，我们有其中是和之间的夹角。在最后一步中，我将其用于所有事件和现在考虑项。显然，由于是相对于球体表面均匀选择的，因此无关紧要

$$P(x'y\leq t)=P(|x||y|\cos\theta\leq t)=P(\cos\theta\leq t)=\mathbb{E}P(\cos\theta\leq t\mid y),$$ $\theta$$x$$y$$A$$B$ $$\mathbb EP(A\mid B):=\mathbb{E}[\mathbb{E}[\chi_A\mid B]]=\mathbb{E}\chi_A=P(A).$$ $P(\cos\theta\leq t\mid y)$$x$$y$实际上，只有和之间的角度很重要。因此，期望中的项实际上是常数，我们可以wlog假设然后我们得到但由于是所述第一归一化高斯矢量中的坐标 我们有是高斯与方差通过调用的渐近结果本文。$x$$y$$y$$y=[1,0,0,\dots ]'.$ $$P(x'y\leq t)=P\left( x_1\leq t\right).$$ $x_1$$\mathbb{R}^n,$$x'y$$1/n$

对于方差的显式结果，请使用以下事实：点积的独立性为零，并且如上所示，其分布类似于的第一个坐标。根据这些结果，找到等于找到。现在，请注意每个构造，因此我们可以写为其中最后一个等式来自的坐标均相同分布。放在一起，我们发现$x$$\text{Var}(x'y)$$\mathbb{E}x_1^2$$x'x=1$

$$1=\mathbb{E}x'x=\mathbb{E}\sum_{i=1}^nx_i^2=\sum_{i=1}^n\mathbb{E}x_i^2=n\mathbb{E}x_1^2,$$ $x$$\text{Var}(x'y)=\mathbb{E}x_1^2=1/n$

要回答问题的第一部分，请表示。定义 元素 的乘积的和在此表示为将根据的联合分布分布和。 然后从， $Z = \langle X,Y \rangle = \sum X_i Y_i$

$$f_{Z_i}(z_i) = \int_{-\infty}^\infty f_{Z_1,\ldots,Z_D}(z_1,\ldots,z_D) \: d z_i$$ $i^{th}$$X$$Y$$Z_i$$X_i$$Y_i$ $$f_{Z_i}(z_i) = \int_{-\infty}^\infty f_{X_i,Y_i}(x,\frac{z_i}{x})\frac{1}{|x|}dx$$ $Z = \sum Z_i$ $$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty \ldots \int_{-\infty}^\infty f_{Z_1,\ldots,Z_D} (z_1,\ldots,z_d) \: \delta(z - \sum z_i)\: dz_1\ldots d z_d$$

对于第二部分，我认为，如果您想对的渐近行为说些有趣的话，则至少需要假定和独立性，然后应用CLT。$\sigma$$X$$Y$

例如，如果您愿意假设与和，则可以说和。$\{Z_1,\ldots,Z_D\}$$\mathbb{E}[Z_i] = \mu$$\mathbb{V}[Z_i] = \sigma^2$$\sigma^2(D) = \frac{\sigma^2}{D}$$\lim_{D\to\infty} \sigma^2(D) = 0$