微分几何与统计有关系吗？

我是统计学专业的硕士，建议我学习微分几何。我会很高兴听到有关微分几何的统计应用的信息，因为这会使我充满动力。有谁碰巧知道统计学中微分几何的应用？

关于该主题的两本规范书籍，带有评论，然后是另外两个参考文献：

• 微分几何与统计学，MK Murray，JW Rice

  自从Rao于1945年引入关于概率分布族的Fisher信息度量以来，统计学家一直对将微分几何应用于统计学感兴趣。在过去的几十年中，随着大量研究人员的工作，这种兴趣迅速增加。迄今为止，阻碍这些思想向更广泛的统计学家社区传播的一个障碍是缺乏合适的文本，以一种便于统计学家理解的方式介绍微分几何的现代自由坐标方法。本书旨在填补这一空白。作者将本书在微分几何及其在统计学中的应用方面的广泛研究经验带入了本书。本书从研究最简单的微分流形-仿射空间及其与指数族的相关性入手，并将其引入一般理论，Fisher信息度量，Amari联系和渐近性。它以向量束，原理束和射流的理论以及它们在弦论中的应用为最高点-目前是统计和微分几何研究领域的前沿课题。

• 信息几何方法，S.-I. 长冈H.Amari

  信息几何为数学科学提供了新的分析框架。它是通过对概率分布的流形上的自然微分几何结构的研究而出现的，该结构包括由Fisher信息定义的黎曼度量和一个称为 -connections 的仿射连接的单参数族。连接和之间的对偶$\alpha$$\alpha$$(-\alpha)$-连接和度量在此几何中起着至关重要的作用。这种二元性是从概率分布的多种形式中出现的，无处不在，出现在可能与概率论没有明确关系的各种问题中。通过二元性，可以从统一的角度分析各种基本问题。本书的前半部分专门介绍了信息几何的数学基础，包括有关微分几何，流形或概率分布的几何以及对偶仿射联系的一般理论的初步介绍。本文的后半部分概述了许多应用领域，例如统计，线性系统，信息论，量子力学，凸分析，神经网络，和仿射微分几何。这本书可以作为适合高级本科生和研究生的主题课程的合适教材。

• 统计推断中的微分几何，S.-I。IMS讲义Monogr的Amari，OE Barndorff-Nielsen，RE Kass，SL Lauritzen和CR Rao。老师 第10卷，1987年，240页。

• 微分几何在统计理论中的作用，OE Barndorff-Nielsen，DR Cox和N. Reid，《国际统计评论》 /《国家统计公报》，第1卷。54，No.1（1986年4月），第83-96页

黎曼几何用于随机场的研究（随机过程的一般化），其中过程不必是静止的。我正在研究的参考资料在下面有两篇评论。在海洋学，天体物理学和脑成像中有应用。

随机场和几何，阿德勒，RJ，泰勒，乔纳森E.

http://www.springer.com/us/book/9780387481128#otherversion=9781441923691

评论：

“开发良好界限对于高斯场的是最高的分布，即用于量，一直为一长期以来，这既是一个艰巨而又有趣的研究课题，正如作者在序言中所指出的那样，对这个问题的全面介绍是本书的主要目标，作者在光滑高斯场的背景下发展了他们的研究成果，其中参数间隔$f$$\Bbb{P}\{\sup_{t\in M}f(t)\ge u\}$$M$是黎曼分层流形，其方法具有几何性质。这本书分为三个部分。第一部分专门介绍高斯过程和领域的必要工具。第二部分简要介绍了积分和微分几何的必要先决条件。最后，在第三部分中，精确地建立了本书的核心，即了对偏移集的欧拉特征函数的期望及其对场最大值分布的近似公式。这本书以非正式的风格写成，读起来很愉快。每章都以要解决的问题的介绍开始，并且贯穿全文的脚注是必不可少的补充，并多次作为历史参考。

“本书介绍了偏移概率的现代理论和……在流形上定义的随机字段的偏移集的几何形状…………这本书对于学生而言是可以理解的……具有良好的分析背景。……本书的学科性质，所提出的数学理论的优美性和深度使其成为每个数学库中不可或缺的一部分，并且是对高斯过程，随机域及其统计应用感兴趣的所有概率论者的书架。” （Ilya S.Molchanov，Zentralblatt MATH，第1149卷，2008年）

统计的一个领域/应用，其中微分几何中的重要方式使用数学（连同很多数学等领域！）是模式理论。您可以看一看乌尔夫·格林纳德（Ulf Grenander）的这本书：https ://www.amazon.com/Pattern-Theory-Representation-Inference-European/dp/0199297061/ref=asap_bc ? ie = UTF8 或由戴维·芒福德（David Mumford）（还是田径冠军得主）：https : //www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Mathematics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_img_2?_encoding=UTF8&pd_rd_i=1568815794&pd_rd_r=Q40XYHd10&pd_rd_r=Q40ESHME10 = LIesY＆psc = 1＆refRID = Q40ESHME10ZPC7XYVT59

从上一篇文章的序言：

乌尔夫·格林纳德（Ulf Grenander）创造了“模式理论”一词，以将其对世界上的模式结构分析的方法与“模式识别”区分开来。在本书中，我们在相当广泛的意义上使用它来包括用于分析的统计方法。世界产生的所有“信号”，无论是图像，声音，文字，DNA还是蛋白质串，神经元中的尖峰序列，价格或天气的时间序列；所有这些例子都出现在格林纳德（Grenander）的《模式论要素》 [94]或我们的同事，合作者和学生关于模式论的著作中。

使用微分几何的一个示例是人脸模型。

试图回答@whuber的问题（用评论），请看Grenander的书的第16章，标题为“计算解剖学”。那里的歧管用于代表人体解剖结构的各个部分（如炉膛），而高等动力学用于表示这些解剖结构的变化，从而可以进行比较，生长建模，某些疾病的行动建模。这个想法可以追溯到1917年达西·汤普森（D'Arcy Thompson）撰写的具有里程碑意义的论文《关于成长与形式》！

Grenander继续从该论文中引用：

在形态学的很大一部分中，我们的基本任务是比较相关形式，而不是精确定义每种形式。复杂的图形的变形可能是一种易于理解的现象，尽管图形本身可能必须不加以分析和定义。这种比较过程，即以一种形式识别另一种形式的确定排列或变形，以及对原始“类型”或比较标准的精确而充分的理解，完全属于数学的直接领域，并在数学的直接解决方案中找到解决方案。基本使用数学家的某种方法。此方法是坐标方法，其基础是转换理论。

这种想法最著名的例子是三岁时某个孩子失踪了，一个人发布了一张他的脸部照片，变了脸（通常使用样条线），变成了今天的样子。