假设,其中是独立的。X 我〜Ñ (0 ,σ 2)
我的问题是,什么分布
跟随?从这里我知道两个表示为卡方随机变量的比率遵循Beta分布。我认为这假设和之间具有独立性。但是在我的情况下,的分母包含平方的成分。 WYZX
我认为也必须遵循Beta分布的变化,但是我不确定。如果这个假设是正确的,我不知道如何证明它。
假设,其中是独立的。X 我〜Ñ (0 ,σ 2)
我的问题是,什么分布
跟随?从这里我知道两个表示为卡方随机变量的比率遵循Beta分布。我认为这假设和之间具有独立性。但是在我的情况下,的分母包含平方的成分。 WYZX
我认为也必须遵循Beta分布的变化,但是我不确定。如果这个假设是正确的,我不知道如何证明它。
Answers:
这篇文章详细阐述了问题评论中的答案。
令。修复任何ë 1 ∈ [R Ñ单位长度的。这样的向量可以总是在正交基础上完成(e 1,e 2,… ,e n)(例如借助Gram-Schmidt过程)。这种基础变化(与通常的变化)是正交的:它不会改变长度。因此,
不依赖于。取ë 1 = (1 ,0 ,0 ,... ,0 )示出了该具有分布相同
由于被IID正常,它们可被写为σ倍IID标准正常变量ÿ 1,... ,ÿ Ñ和它们的平方是σ 2倍Γ (1 / 2 )分布。由于的总和ñ - 1个独立Γ (1 / 2 )的分布是Γ ((ñ - 1 )/ 2 ),我们已经确定的分布是
其中和V = (X 2 2 + ⋯ + X 2 Ñ)/ σ 2〜Γ ((ñ - 1 )/ 2 )是独立的。据公知的,这比具有贝塔(1 / 2 ,(Ñ - 1分布。(另见密切相关的线程分配 X Ÿ如果 X 〜贝塔(1 ,ķ - 1 )和 ÿ 〜卡方与 2 ķ度。)
由于
为单位矢量,我们得出Z是( √倍一个测试(1/2,(Ñ-1)/2)变量。 对于它因此具有密度函数
在时间间隔(否则为零)。
作为检查,我模拟的独立的实现ž为σ = 1和Ñ = 2 ,3 ,10,其绘制直方图,和叠加在相应的β密度的曲线图(红色)。协议很棒。
这是R
代码。它通过Z的公式sum(x)^2 / sum(x^2)
进行仿真,其中是由生成的长度向量。其余的只是循环(,)和绘制(,)。x
n
rnorm
for
apply
hist
curve
for (n in c(2, 3, 10)) {
z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}